נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · כיתה יא׳ · 4 יח״ל 4 יחידות
מבחן רבעוני · רבעון א׳ · מתמטיקה · 4 יח״ל

מבחן רבעוני רבעון א׳

המבחן מכסה את חומר הרבעון הראשון במתמטיקה לכיתה יא׳ במסלול 4 יחידות לימוד - אשכול גאומטריית המעגל וחקירת פונקציה (בלי חשבון דיפרנציאלי): זוויות במעגל (היקפית = ½ · מרכזית, זווית הנשענת על קוטר = 90°), מיתרים ומשיקים (המשיק מאונך לרדיוס, אורך משיק t = d² - r² וחילוץ הרדיוס r = d² - t², אנך ממרכז חוצה מיתר), המעגל האנליטי ((x - a)² + (y - b)² = r², מרכז, רדיוס, שייכות נקודה ומשיק), מרובעים חסומים (סכום זוויות נגדיות 180°, טרפז חסום שווה-שוקיים), וחקירת פונקציה רציונלית ושורש (תחום הגדרה, אסימפטוטות וחיתוכים). מבחן רבעוני · רבעון א׳ · מתמטיקה · כיתה יא׳ · 4 יח״ל · זמן 90 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה והקלדה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). פרק א נבדק אוטומטית במחשב; בפרק ב פתרו על דף ואז גלו את הפתרון המלא.

מבחן רבעוני רבעון א׳ מתמטיקה · כיתה יא׳ 4 יחידות לימוד 90 דקות 100 נקודות פרק א · אוטומטי · 60 נק׳ פרק ב · שאלות פתוחות · 40 נק׳

חימום למבחן בחרו בכל שורה את התוצאה הנכונה, ואז בדקו

חימום לפני המבחן הרבעוני: בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה - מזווית היקפית ומרכזית, דרך אורך משיק בפיתגורס וקריאת מרכז ורדיוס של מעגל, ועד זווית נגדית במרובע חסום ותחום הגדרה של פונקציה. השורה הראשונה - דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". זוויות במעגל · משיקים ומיתרים · המעגל האנליטי · מרובע חסום · תחום הגדרה.

כל הרבעון בשורה אחת. במבחן נמיר זווית מרכזית להיקפית (מרכזית 80° ⟵ היקפית 40°) ונשתמש בזווית שעל קוטר (= 90°), נחשב אורך משיק בפיתגורס (d = 13, r = 5 ⟵ t = 169 - 25 = 12), נקרא מרכז ורדיוס של מעגל אנליטי ((x - 2)² + (y + 1)² = 25 ⟵ מרכז (2, -1), רדיוס 5) ונבדוק שייכות נקודה ((5, 3) ⟵ 3² + 4² = 25), נשלים זווית נגדית במרובע חסום (180° - 70° = 110°), ונחקור תחום ואסימפטוטות (1/(x - 2) ⟵ x ≠ 2, אסימפטוטה x = 2). כל אלה נבדקים במבחן הרבעוני של 4 יח״ל.

לפני שמתחילים

הוראות המבחן ומבנהו

לפניכם מבחן רבעוני על חומר הרבעון הראשון במתמטיקה לכיתה יא׳, במסלול 4 יחידות לימוד. מבנה המבחן: מבחן רבעוני · רבעון א׳ · מתמטיקה · כיתה יא׳ · 4 יח״ל · זמן 90 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה והקלדה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). בפרק א 24 שאלות בארבעה סטים, מהקל אל הקשה (2.5 נק׳ לשאלה) - חשבו, סמנו או הקלידו את התשובה, בדקו והמשיכו. בפרק ב חמש שאלות פתוחות (8 נק׳ כל אחת, סך 40 נק׳) - פתרו צעד אחר צעד על דף, ואז לחצו כדי לגלות את הפתרון המלא. בכל שלב מותר להיעזר במחשבון של נדב כץ, כולל לשונית פותר המשוואה הריבועית. לפניכם תזכורת קצרה מנושאי הרבעון, ובמרכזה מפת הזוויות במעגל - מרכזית 80° נותנת היקפית 40° על אותה קשת:

הזוויות במעגל - זווית מרכזית ∠AOB = 80° נותנת זווית היקפית ∠ACB = 40° על אותה קשת
היקפית = ½ · מרכזית O A B הקשת AB שעליה נשענות שתי הזוויות C ∠AOB = 80° זווית מרכזית ∠ACB = 40° זווית היקפית
דף תזכורת

שש כרטיסיות תזכורת לפני המבחן

תזכורת קצרה לנושאי הרבעון של 4 יח״ל - זוויות במעגל, מיתרים ומשיקים, המעגל האנליטי, מרובעים חסומים וחקירת פונקציה רציונלית ושורש - לפי דפי הלימוד של כיתה יא׳ (4 יח״ל), לפני שניגשים לפרקי המבחן.

1

זוויות במעגל

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת: היקפית = ½ · מרכזית. זוויות היקפיות על אותה קשת שוות זו לזו, וזווית הנשענת על קוטר היא 90° - ולכן משולש החסום שאחת מצלעותיו קוטר הוא ישר-זווית.

2

מיתרים ומשיקים

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, ולכן אורכו מפיתגורס: t = d² - r² (d יתר, r ו-t ניצבים). מאותו משולש אפשר גם לחלץ את הרדיוס: r = d² - t². אנך ממרכז אל מיתר חוצה אותו.

3

המעגל האנליטי

מעגל שמרכזו (a, b) ורדיוסו r: (x - a)² + (y - b)² = r². קוראים מרכז ורדיוס ישירות (שימו לב לסימנים: (y + 1)² ⟵ b = -1). נקודה על המעגל מקיימת את המשוואה, והמשיק בה ניצב לרדיוס.

4

מרובעים חסומים

מרובע חסום במעגל אם ורק אם סכום כל זוג זוויות נגדיות הוא 180° - למשל 70° והנגדית 110°. סכום כל ארבע הזוויות 360°, וטרפז החסום במעגל הוא תמיד שווה-שוקיים.

5

חקירת פונקציה רציונלית

תחום ההגדרה פוסל x שמאפס את המכנה (Q(x) ≠ 0), ושם יש אסימפטוטה אנכית. אסימפטוטה אופקית נקבעת לפי מעלות: מעלת מכנה גדולה יותר ⟵ y = 0, מעלות שוות ⟵ יחס המקדמים המובילים. חיתוכים: x = 0 לציר y, מונה = 0 לציר x.

6

חקירת פונקציית שורש

תחום ההגדרה של פונקציית שורש נקבע מהדרישה שהביטוי שתחת השורש אי-שלילי: רדיקנד ≥ 0. למשל ל-g(x) = x - 4 התחום הוא x ≥ 4, ול-x + 5 התחום הוא x ≥ -5.

מרכזית
קודקוד במרכז
זווית מרכזית - קודקוד במרכז, נשענת על הקשת
היקפית
קודקוד על ההיקף
זווית היקפית - קודקוד על ההיקף, מחצית המרכזית
פרק ב · שאלות פתוחות

פרק ב - שאלות פתוחות (40 נקודות)

ענו על חמש השאלות. בכל שאלה פתרו בעצמכם על דף - צעד אחר צעד, בדיוק כמו במבחן - ורק אז לחצו על "לחצו לפתרון המלא" כדי לבדוק. כל המספרים והכללים מבוססים על דפי הלימוד של הרבעון בכיתה יא׳ (4 יח״ל).

שאלה 1 · זוויות במעגל8 נקודות

(א) במעגל שמרכזו O, הזווית המרכזית ∠AOB = 110° נשענת על קשת AB. מצאו את הזווית ההיקפית ∠ACB. (ב) נקודה D נוספת על הקשת הגדולה, כך ש-∠ADB נשענת גם היא על AB. מצאו את ∠ADB. (ג) במעגל אחר MN קוטר ו-P על ההיקף, ונתון ∠M = 62°. מצאו את ∠MPN ואת ∠N.

לחצו לפתרון המלא
(א) הזווית ההיקפית היא מחצית המרכזית הנשענת על אותה קשת: ∠ACB = ½ · ∠AOB = ½ · 110° = 55°.
(ב) זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו, ולכן ∠ADB = ∠ACB = 55°.
(ג) MN קוטר, ולכן הזווית ההיקפית ∠MPN הנשענת עליו היא 90°. במשולש MPN סכום הזוויות 180°, ולכן ∠N = 180° - 90° - 62° = 28°.
(א) ∠ACB = 55° · (ב) ∠ADB = 55° · (ג) ∠MPN = 90°, ∠N = 28°.
שאלה 2 · משיק ומיתר8 נקודות

(א) מנקודה P במרחק 13 מהמרכז נמתח משיק למעגל שרדיוסו 5. מצאו את אורך המשיק, ונמקו מדוע המשולש ישר-זווית. (ב) מנקודה Q נמתח משיק שאורכו 24 למעגל אחר, והמרחק מ-Q אל המרכז הוא 25. מהו רדיוס המעגל? (ג) במעגל שרדיוסו 10 מיתר באורך 16. מהו מרחק המרכז מהמיתר?

לחצו לפתרון המלא
(א) המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, ולכן המשולש מרכז-נקודת השקה-P ישר-זווית: הרדיוס r = 5 והמשיק t ניצבים, והמרחק d = 13 יתר. מפיתגורס t = d² - r² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144 = 12.
(ב) גם כאן המשיק מאונך לרדיוס, ולכן r ניצב במשולש ישר-זווית שיתרו d = 25 והניצב השני הוא המשיק t = 24. מפיתגורס r = d² - t² = 25² - 24² = 625 - 576 = 49 = 7.
(ג) האנך מהמרכז חוצה את המיתר, ולכן חצי המיתר = 8. נוצר משולש ישר-זווית עם יתר r = 10: h = 10² - 8² = 100 - 64 = 36 = 6.
(א) t = 12 · (ב) r = 7 · (ג) המרחק 6.
שאלה 3 · המעגל האנליטי8 נקודות

נתון המעגל (x - 2)² + (y + 1)² = 25. (א) מצאו את המרכז ואת הרדיוס. (ב) בדקו אם הנקודה (5, 3) נמצאת על המעגל. (ג) מעגל אחר שמרכזו בראשית (0, 0) עובר בנקודה (3, 4). מצאו את רדיוסו ואת משוואתו.

לחצו לפתרון המלא
(א) משווים לתבנית (x - a)² + (y - b)² = r²: a = 2, ו-(y + 1)² = (y - (-1))² נותן b = -1. r² = 25, ולכן r = 5. המרכז הוא (2, -1) והרדיוס 5.
(ב) מציבים את שיעורי הנקודה באגף שמאל: (5 - 2)² + (3 + 1)² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, וזה שווה ל-r² = 25, ולכן הנקודה על המעגל.
(ג) הרדיוס הוא המרחק מהמרכז לנקודה: r = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5. מרכז בראשית ורדיוס 5 נותנים x² + y² = 25.
(א) מרכז (2, -1), רדיוס 5 · (ב) 3² + 4² = 25 - על המעגל · (ג) r = 5, המשוואה x² + y² = 25.
שאלה 4 · מרובע חסום במעגל8 נקודות

(א) במרובע ABCD החסום במעגל ∠A = 70°. מהי הזווית הנגדית ∠C? (ב) במרובע חסום נתונות ∠A = 80°, ∠B = 85°, ∠C = 100°. מצאו את ∠D ואמתו בעזרת הזוג הנגדי השני. (ג) טרפז חסום במעגל שזווית בסיס שלו 65°. מצאו את זווית הבסיס השנייה ואת זוויות הראש.

לחצו לפתרון המלא
(א) במרובע חסום סכום זוויות נגדיות הוא 180°, ולכן ∠C = 180° - 70° = 110°.
(ב) ∠D נגדית ל-∠B, ולכן ∠D = 180° - 85° = 95°. אימות בזוג הנגדי השני: ∠A + ∠C = 80° + 100° = 180° ✓, וגם ∠B + ∠D = 85° + 95° = 180° ✓; סכום כל הזוויות 360°.
(ג) טרפז החסום במעגל הוא שווה-שוקיים, ולכן שתי זוויות הבסיס שוות - שתיהן 65°. זווית הראש נגדית לזווית הבסיס: 180° - 65° = 115° (ושתי זוויות הראש 115°).
(א) ∠C = 110° · (ב) ∠D = 95° · (ג) זוויות בסיס 65°, זוויות ראש 115°.
שאלה 5 · חקירת פונקציה רציונלית8 נקודות

נתונה f(x) = 3x/(x - 1). (א) מהו תחום ההגדרה? (ב) מצאו את האסימפטוטה האנכית ואת האסימפטוטה האופקית. (ג) מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים.

לחצו לפתרון המלא
(א) מותר להציב כל x חוץ מזה שמאפס את המכנה: x - 1 = 0 נותן x = 1, ולכן התחום הוא x ≠ 1.
(ב) אסימפטוטה אנכית ב-x שמאפס את המכנה: x = 1. מעלת המונה ומעלת המכנה שוות (שתיהן 1), ולכן האסימפטוטה האופקית היא יחס המקדמים המובילים: y = 31 = 3.
(ג) חיתוך עם ציר y: מציבים x = 0 ומקבלים f(0) = 0/(0 - 1) = 0, כלומר (0, 0). חיתוך עם ציר x: המונה מתאפס, 3x = 0 ⟵ x = 0, כלומר גם (0, 0). שני החיתוכים בראשית.
(א) x ≠ 1 · (ב) אסימפטוטה אנכית x = 1, אופקית y = 3 · (ג) הגרף חותך את הצירים בראשית (0, 0).

דוגמה 1
    דוגמה 2
      דוגמה 3
        פרק א · רב-ברירה והקלדה

        פרק א - שאלות אוטומטיות (60 נקודות)

        ניקוד: 0 / 0

        24 שאלות בארבעה סטים, מהקל אל הקשה, על כל נושאי הרבעון של 4 יח״ל - זוויות במעגל, מיתרים ומשיקים, המעגל האנליטי, מרובעים חסומים, וחקירת פונקציה רציונלית ושורש (2.5 נק׳ לשאלה). בשאלות הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית פותר המשוואה הריבועית. בחרו או הקלידו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.

        לוח המשחק

        דרכים לתרגל את הדף הזה

        המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

        0%
        שליטה
        0חדש
        0בלימוד
        0בחזרה
        0שולט

        נקודות לבדיקה עצמית

        • 1זוויות במעגל: היקפית = ½ · מרכזית על אותה קשת; זווית על קוטר 90°.
        • 2מיתרים ומשיקים: משיק ⊥ רדיוס; אורך משיק t = d² - r²; אנך ממרכז חוצה מיתר.
        • 3המעגל האנליטי: (x - a)² + (y - b)² = r² - מרכז (a, b), רדיוס r; נקודה על המעגל מקיימת את המשוואה.
        • 4מרובע חסום: סכום זוויות נגדיות 180°; טרפז חסום שווה-שוקיים.
        • 5חקירה בלי נגזרת: תחום (מכנה ≠ 0, רדיקנד ≥ 0), אסימפטוטות לפי מעלות, וחיתוכים עם הצירים.
        אשכול הרבעון של 4 יח״ל במבט אחד
        הנושאהכללדוגמה
        זוויות במעגלהיקפית = מחצית המרכזית; על קוטר 90°מרכזית 80° ⟵ היקפית 40°
        מיתרים ומשיקיםמשיק ⊥ רדיוס; t = d² - r²d = 13, r = 5 ⟵ t = 12
        המעגל האנליטי(x - a)² + (y - b)² = r²; מרכז ורדיוס(x - 2)² + (y + 1)² = 25 ⟵ (2, -1), r = 5
        מרובע חסוםסכום זוויות נגדיות 180°; טרפז שווה-שוקיים70° ⟵ הנגדית 110°
        חקירת פונקציהתחום ואסימפטוטות (בלי נגזרת)1/(x - 2) ⟵ x ≠ 2, אסימפטוטה x = 2
        מפתח פתרונות (תרגול)

          היי! זהו מבחן רבעוני במתמטיקה לכיתה יא׳ (4 יח״ל) - אשכול גאומטריית המעגל וחקירת פונקציה: זוויות במעגל, מיתרים ומשיקים, המעגל האנליטי, מרובעים חסומים, וחקירת פונקציה רציונלית ושורש. פרק א רב-ברירה והקלדה נבדק אוטומטית, ובפרק ב פתרו לעצמכם ואז גלו את הפתרון המלא. בהצלחה!

          תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי