מבחן רבעוני רבעון ב׳
המבחן מכסה את חומר הרבעון השני במתמטיקה לכיתה יא׳ במסלול 4 יחידות לימוד - אשכול החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי והסטטיסטיקה: נגזרת של פונקציה רציונלית ושורש ומשוואת המשיק ((1/x)' = -1/x², (x)' = 1/(2x), כלל המנה), האינטגרל הלא-מסוים והפונקציה הקדומה (∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + c, מציאת c מנקודה), האינטגרל המסוים והשטח (∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a), שטח בין גרף לציר ובין שני גרפים), בעיות קיצון (פונקציית מטרה, גזירה ואיפוס f'(x) = 0), ההתפלגות הנורמלית (ציון תקן z = (x - μ)/σ, כלל 68-95-99.7), ורגרסיה ומתאם (מקדם המתאם r וישר הרגרסיה y = a + bx). מבחן רבעוני · רבעון ב׳ · מתמטיקה · כיתה יא׳ · 4 יח״ל · זמן 90 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). פרק א נבדק אוטומטית במחשב; בפרק ב פתרו על דף ואז גלו את הפתרון המלא.
חימום לפני המבחן הרבעוני: בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה - מנגזרת של פונקציה רציונלית ושורש, דרך אינטגרל ופונקציה קדומה, שטח בין גרף לציר ובעיית קיצון, ועד ציון תקן בהתפלגות נורמלית וחיזוי לפי ישר רגרסיה. השורה הראשונה - דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". נגזרות · אינטגרל ושטח · בעיות קיצון · התפלגות נורמלית · רגרסיה ומתאם.
כל הרבעון בשורה אחת. במבחן נגזור פונקציה רציונלית ושורש ונמצא שיפוע משיק ((1/x)' = -1/x² ⟵ בנקודה x = 2 שיפוע -14; (x)' = 1/(2x) ⟵ בנקודה x = 4 שיפוע 14), נחשב אינטגרל לא-מסוים (∫6x dx = 3x² + c), נמצא שטח בין גרף לציר (f(x) = x² - 4 ⟵ שטח 323), נפתור בעיית קיצון (מלבן ששטחו 100 ⟵ ריבוע 10×10, היקף 40), נתרגם ציון לציון תקן (μ = 70, σ = 8 ⟵ ציון 78 הוא z = 1, כ-84% מתחתיו), ונחזה לפי ישר רגרסיה (y = 2x + 5 ⟵ ל-x = 10 חיזוי 25). כל אלה נבדקים במבחן הרבעוני של 4 יח״ל.
הוראות המבחן ומבנהו
לפניכם מבחן רבעוני על חומר הרבעון השני במתמטיקה לכיתה יא׳, במסלול 4 יחידות לימוד. מבנה המבחן: מבחן רבעוני · רבעון ב׳ · מתמטיקה · כיתה יא׳ · 4 יח״ל · זמן 90 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). בפרק א 24 שאלות רב-ברירה בארבעה סטים, מהקל אל הקשה (2.5 נק׳ לשאלה) - חשבו, סמנו את התשובה, בדקו והמשיכו. בפרק ב חמש שאלות פתוחות (8 נק׳ כל אחת, סך 40 נק׳) - פתרו צעד אחר צעד על דף, ואז לחצו כדי לגלות את הפתרון המלא. בכל שלב מותר להיעזר במחשבון של נדב כץ, כולל לשונית פותר המשוואה הריבועית. לפניכם תזכורת קצרה מנושאי הרבעון, ובמרכזה מפת השטח בין שני גרפים - השטח בין הישר g = x + 2 לפרבולה f = x² הוא 4.5:
שש כרטיסיות תזכורת לפני המבחן
תזכורת קצרה לנושאי הרבעון של 4 יח״ל - נגזרת של רציונלית ושורש, האינטגרל הלא-מסוים, האינטגרל המסוים והשטח, בעיות קיצון, ההתפלגות הנורמלית ורגרסיה ומתאם - לפי דפי הלימוד של כיתה יא׳ (4 יח״ל), לפני שניגשים לפרקי המבחן.
נגזרת של רציונלית ושורש
הנגזרת נותנת את שיפוע המשיק. גוזרים מנה בכלל המנה (u/v)' = (u'v - uv')/v², ושורש בכלל (x)' = 1/(2x). מקרים שכיחים: (1/x)' = -1/x² ו-(x²/(x-1))' = (x² - 2x)/(x-1)². משוואת המשיק: y - y₀ = f'(x₀)(x - x₀).
האינטגרל הלא-מסוים
אינטגרציה היא הפעולה ההפוכה לגזירה: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + c (n ≠ -1). מוסיפים תמיד קבוע c. את c מוצאים מנקודה: אם f'(x) = 2x ו-f(1) = 3 אז f(x) = x² + 2.
האינטגרל המסוים והשטח
האינטגרל המסוים הוא הפרש הפונקציה הקדומה בגבולות: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a). מעל הציר האינטגרל חיובי, מתחתיו שלילי - לשטח לוקחים ערך מוחלט ומפצלים בנקודות החיתוך. בין שני גרפים: ∫(עליון - תחתון)dx.
בעיות קיצון
בונים פונקציית מטרה במשתנה אחד לפי האילוץ, גוזרים, ומאפסים f'(x) = 0. למלבן ששטחו 100: P(x) = 2x + 200/x, ומאיפוס P'(x) = 2 - 200/x² מקבלים x = 10 (ריבוע, היקף 40).
ההתפלגות הנורמלית
ציון התקן z = (x - μ)/σ מודד מרחק מהממוצע ביחידות של סטיית תקן. מהטבלה הסטנדרטית קוראים את האחוז שמתחת ל-z (z = 1 ⟵ כ-84%). כלל 68-95-99.7, ומהחלק היחסי לערך: x = μ + z·σ.
רגרסיה ומתאם
מקדם המתאם r מקיים -1 ≤ r ≤ 1: קרוב ל-1 חיובי חזק, קרוב ל--1 שלילי חזק, קרוב ל-0 אין קשר ליניארי. חיזוי לפי ישר הרגרסיה y = a + bx על ידי הצבת x (למשל y = 2x + 5 ⟵ ל-x = 10 חיזוי 25).
פרק ב - שאלות פתוחות (40 נקודות)
ענו על חמש השאלות. בכל שאלה פתרו בעצמכם על דף - צעד אחר צעד, בדיוק כמו במבחן - ורק אז לחצו על "לחצו לפתרון המלא" כדי לבדוק. כל המספרים והכללים מבוססים על דפי הלימוד של הרבעון בכיתה יא׳ (4 יח״ל).
(א) נתונה f(x) = 1/x. מצאו את הנגזרת f'(x) ואת שיפוע המשיק בנקודה x = 2. (ב) נתונה g(x) = x. מצאו את שיפוע המשיק בנקודה x = 4 ואת משוואת המשיק בנקודה (4, 2). (ג) נתונה h(x) = x²/(x - 1). גזרו בעזרת כלל המנה ומצאו את שיפוע המשיק בנקודה x = 3.
לחצו לפתרון המלא
(ב) g'(x) = 1/(2x), ולכן השיפוע בנקודה הוא g'(4) = 1/(2·4) = 1/(2·2) = 14. נקודת המגע (4, 2), ולכן y - 2 = 14·(x - 4), כלומר y = x/4 + 1.
(ג) עם u = x² (u' = 2x) ו-v = x - 1 (v' = 1): h'(x) = (2x(x - 1) - x²)/(x - 1)² = (x² - 2x)/(x - 1)². בנקודה x = 3: h'(3) = (9 - 6)/(3 - 1)² = 34.
(א) חשבו את האינטגרל הלא-מסוים ∫(3x² - 4x + 1)dx. (ב) נתונה f'(x) = 2x ו-f(1) = 3. מצאו את הפונקציה f(x). (ג) נתונה f'(x) = 6x ו-f(1) = 5. מצאו את הפונקציה f(x).
לחצו לפתרון המלא
(ב) f(x) = ∫2x dx = x² + c. מציבים f(1) = 1 + c = 3, ולכן c = 2 ו-f(x) = x² + 2.
(ג) f(x) = ∫6x dx = 3x² + c. מציבים f(1) = 3 + c = 5, ולכן c = 2 ו-f(x) = 3x² + 2.
(א) מצאו פונקציה קדומה F(x) של f(x) = x² - 4 וחשבו את האינטגרל של f מ-x = 0 עד x = 2 (שימו לב לסימן). (ב) מצאו את השטח הכלוא בין f(x) = x² - 4 לבין ציר x (חיתוכים ב-x = ±2). (ג) מצאו את השטח הכלוא בין הישר g = x + 2 לבין הפרבולה f = x² מ-x = -1 עד x = 2 (g עליון).
לחצו לפתרון המלא
(ב) בין -2 ל-2 הפרבולה כולה מתחת לציר. האינטגרל שם הוא -323, והשטח הוא הערך המוחלט |-323| = 323 (כ-10.67).
(ג) פונקציה קדומה של g - f = x + 2 - x² היא F(x) = x²/2 + 2x - x³/3. האינטגרל מ--1 עד 2: F(2) - F(-1) = 103 - (-76) = 4.5.
מבין כל המלבנים ששטחם 100: (א) אם צלע אחת היא x, בטאו את הצלע השנייה ואת ההיקף P(x). (ב) גזרו את P(x), אפסו את הנגזרת, ומצאו את הצלע x שנותנת היקף מינימלי. (ג) מצאו את ההיקף המינימלי, והסבירו מדוע זו נקודת מינימום.
לחצו לפתרון המלא
(ב) את 200/x = 200x⁻¹ גוזרים לפי כלל החזקה: P'(x) = 2 - 200/x². איפוס: 2 - 200/x² = 0 נותן x² = 100, ומכיוון ש-x > 0 מקבלים x = 10.
(ג) המלבן הוא הריבוע 10×10, וההיקף המינימלי P(10) = 2·10 + 20010 = 20 + 20 = 40. לפני x = 10 הנגזרת שלילית (P יורד) ואחריו חיובית (P עולה), ולכן זו נקודת מינימום.
(א) משקל תפוחים מתפלג נורמלית עם μ = 150 גרם ו-σ = 20 גרם. מצאו את ציון התקן z של תפוח במשקל 170 גרם, וקבעו כמה אחוז (בערך) מהתפוחים קלים ממנו. (ב) מצאו את המשקל שמתחתיו כ-97.5% מהתפוחים. (ג) נאספו נתוני שעות אימון x ומרחק ריצה y, והתקבל r = 0.92 וישר רגרסיה y = 1.2x + 3. פרשו את r ומצאו את החיזוי למי שהתאמן 10 שעות.
לחצו לפתרון המלא
(ב) חלק יחסי של כ-97.5% מתאים ל-z = 2 בטבלה הסטנדרטית, ולכן x = μ + z·σ = 150 + 2·20 = 190 גרם.
(ג) r = 0.92 חיובי וקרוב ל-1, ולכן קשר ליניארי חיובי חזק. חיזוי: מציבים x = 10 בישר הרגרסיה, y = 1.2·10 + 3 = 12 + 3 = 15.
פרק א - שאלות אוטומטיות (60 נקודות)
24 שאלות רב-ברירה בארבעה סטים, מהקל אל הקשה, על כל נושאי הרבעון של 4 יח״ל - נגזרת של רציונלית ושורש, האינטגרל הלא-מסוים, האינטגרל המסוים והשטח, בעיות קיצון, ההתפלגות הנורמלית ורגרסיה ומתאם (2.5 נק׳ לשאלה). בכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית פותר המשוואה הריבועית. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
נקודות לבדיקה עצמית
- 1נגזרת ומשיק: (1/x)' = -1/x², (x)' = 1/(2x), כלל המנה; שיפוע המשיק f'(x₀).
- 2אינטגרל ופונקציה קדומה: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + c; את c מוצאים מנקודה.
- 3אינטגרל מסוים ושטח: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a); לשטח ערך מוחלט ופיצול בנקודות החיתוך.
- 4קיצון: פונקציית מטרה, גוזרים ומאפסים f'(x) = 0 (ריבוע ⟵ היקף מינימלי).
- 5סטטיסטיקה: z = (x - μ)/σ, כלל 68-95-99.7; מתאם -1 ≤ r ≤ 1 וחיזוי לפי y = a + bx.
| הנושא | הכלל | דוגמה |
|---|---|---|
| נגזרת של רציונלית ושורש | כלל המנה, (x)' = 1/(2x); שיפוע המשיק | (1/x)' = -1/x² ⟵ f'(2) = -14 |
| אינטגרל לא-מסוים | ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + c; c מנקודה | ∫6x dx = 3x² + c |
| אינטגרל מסוים ושטח | F(b) - F(a); ערך מוחלט לשטח | שטח x² - 4 לציר = 323 |
| בעיות קיצון | פונקציית מטרה, איפוס f'(x) = 0 | שטח 100 ⟵ x = 10, היקף 40 |
| התפלגות נורמלית | z = (x - μ)/σ; כלל 68-95-99.7 | μ = 70, σ = 8 ⟵ 78 הוא z = 1 |
| רגרסיה ומתאם | -1 ≤ r ≤ 1; חיזוי לפי y = a + bx | y = 2x + 5 ⟵ x = 10 נותן 25 |
