מבחן רבעוני רבעון א׳
המבחן מכסה את חומר הרבעון הראשון במתמטיקה לכיתה יא׳ במסלול 5 יחידות לימוד (ללא חשבון אינטגרלי): סדרות וטורים - סדרה הנדסית (aₙ = a₁qⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(qⁿ - 1)/(q - 1)) וטור הנדסי אינסופי מתכנס (|q| < 1: S = a₁/(1 - q)); הסתברות (משלים, איחוד P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B), בלתי תלויים) והסתברות מותנית (P(A|B) = P(A∩B)/P(B), עץ וטבלה) ונוסחת ברנולי (Pₙ(k) = C(n,k)·pᵏ(1 - p)ⁿ⁻ᵏ, C(n,k) = n!/(k!(n - k)!)); זהויות טריגונומטריות (sin²x + cos²x = 1, sin 2x = 2 sin x cos x) ומשוואות טריגונומטריות בתחום; והוכחה באינדוקציה מתמטית. מבחן רבעוני · רבעון א׳ · מתמטיקה · כיתה יא׳ · 5 יח״ל · זמן 90 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה והקלדה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). פרק א נבדק אוטומטית במחשב; בפרק ב פתרו על דף ואז גלו את הפתרון המלא.
חימום לפני המבחן הרבעוני: בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה - מנוסחת ברנולי וסדרה הנדסית, דרך הסתברות והסתברות מותנית, ועד זהויות ומשוואות טריגונומטריות. השורה הראשונה - דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". ברנולי · סדרה הנדסית וטור · הסתברות והסתברות מותנית · זהויות ומשוואות טריגונומטריות.
כל הרבעון בשורה אחת. במבחן נחשב אבר וסכום בסדרה הנדסית (a₁ = 3, q = 2 ⟵ a₅ = 48, S₅ = 93), נסכם טור אינסופי מתכנס (1 + ½ + ¼ + … = 2), נחשב הסתברות בעץ (½ · ½ · ½ = ⅛) ומותנית מטבלה (3040 = 0.75), נציב בנוסחת ברנולי (C(5,3)·(½)⁵ = 1032 = 0.3125), נשתמש בזהות היסוד (sin x = 0.6 ⟵ cos x = 0.8, sin 2x = 0.96), נפתור משוואה טריגונומטרית בתחום (2 sin x cos x = ½ ⟵ x = 15°, 75°, 195°, 255°) ונוכיח באינדוקציה (1 + 2 + … + n = n(n+1)/2). כל אלה נבדקים במבחן הרבעוני של 5 יח״ל.
הוראות המבחן ומבנהו
לפניכם מבחן רבעוני על חומר הרבעון הראשון במתמטיקה לכיתה יא׳, במסלול 5 יחידות לימוד. מבנה המבחן: מבחן רבעוני · רבעון א׳ · מתמטיקה · כיתה יא׳ · 5 יח״ל · זמן 90 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה והקלדה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). בפרק א 24 שאלות בארבעה סטים, מהקל אל הקשה (2.5 נק׳ לשאלה) - חשבו, סמנו או הקלידו את התשובה, בדקו והמשיכו. בפרק ב חמש שאלות פתוחות (8 נק׳ כל אחת, סך 40 נק׳) - פתרו צעד אחר צעד על דף, ואז לחצו כדי לגלות את הפתרון המלא. בכל שלב מותר להיעזר במחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר המשולש". נפתח בתזכורת חזותית: המשולש ישר-הזווית 3, 4, 5 הוא גם הבסיס של זהות היסוד הטריגונומטרית - עם sin α = 0.6 ו-cos α = 0.8:
שש כרטיסיות תזכורת לפני המבחן
תזכורת קצרה לנושאי הרבעון של 5 יח״ל - סדרה הנדסית וטור אינסופי מתכנס, הסתברות, הסתברות מותנית ונוסחת ברנולי, זהויות ומשוואות טריגונומטריות, ואינדוקציה - לפי דפי הלימוד של כיתה יא׳ (5 יח״ל), לפני שניגשים לפרקי המבחן.
נוסחת ברנולי
ניסוי חוזר n פעמים, בלתי תלוי, עם הסתברות קבועה p להצלחה. ההסתברות לבדיוק k הצלחות היא Pₙ(k) = C(n,k)·pᵏ(1 - p)ⁿ⁻ᵏ, ומקדם הבינום C(n,k) = n!/(k!(n - k)!) סופר כמה מסלולים בעץ נותנים k הצלחות. עם n = 5 ו-p = ½: C(5,3) = 10, ולכן P₅(3) = 10·(½)⁵ = 1032 = 0.3125.
סדרה הנדסית וטור מתכנס
כל אבר הוא קודמו כפול יחס קבוע q: aₙ = a₁qⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(qⁿ - 1)/(q - 1). עם a₁ = 3, q = 2: a₅ = 48, S₅ = 93. וכאשר |q| < 1 הטור האינסופי מתכנס: S = a₁/(1 - q), ולכן 1 + ½ + ¼ + … = 2.
הסתברות
הסתברות היא מספר בין 0 ל-1. המאורע המשלים משלים ל-1: אם P(A) = 0.3 אז ההסתברות המשלימה היא 1 - 0.3 = 0.7. כלל החיבור: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B). במאורעות בלתי תלויים P(A∩B) = P(A)·P(B) (למשל 0.5·0.4 = 0.2).
הסתברות מותנית
ההסתברות ל-A בהינתן B היא P(A|B) = P(A∩B)/P(B). בטבלה זה תא החיתוך חלקי סכום השורה או העמודה של B (3040 = 0.75). בעץ מכפילים לאורך הענף, ובשליפה בלי החזרה ההסתברות מותנית בקודמת (47).
זהויות טריגונומטריות
זהות היסוד ממעגל היחידה: sin²x + cos²x = 1, ולכן cos x = ±1 - sin²x והרביע קובע את הסימן (sin x = 0.6, רביע I ⟵ cos x = 0.8). זווית כפולה: sin 2x = 2 sin x cos x = 0.96 ו-cos 2x = 1 - 2 sin²x = 0.28.
משוואות ואינדוקציה
משוואה טריגונומטרית: מזהים זהות (2 sin x cos x = ½ ⟵ sin 2x = ½), פותרים את הזווית הפנימית 2x בתחום מורחב 0°-720° ומחלקים ב-2 (x = 15°, 75°, 195°, 255°). אינדוקציה: בסיס (n = 1) ו-צעד (מ-n ל-n + 1) - כמו דומינו, מוכיחים לכל n טבעי.
פרק ב - שאלות פתוחות (40 נקודות)
ענו על חמש השאלות. בכל שאלה פתרו בעצמכם על דף - צעד אחר צעד, בדיוק כמו במבחן - ורק אז לחצו על "לחצו לפתרון המלא" כדי לבדוק. כל המספרים והכללים מבוססים על דפי הלימוד של הרבעון בכיתה יא׳ (5 יח״ל).
(א) מטבע הוגן מוטל 5 פעמים. מצאו את ההסתברות לקבל בדיוק 3 עצים. (ב) ההסתברות להצלחה בניסוי בודד היא 0.2, והניסוי חוזר 3 פעמים באופן בלתי תלוי. מצאו את ההסתברות ללפחות הצלחה אחת. (ג) מטבע הוגן מוטל 6 פעמים: מצאו את ההסתברות לקבל בדיוק 3 עצים.
לחצו לפתרון המלא
(ב) נוח דרך המשלים: "לפחות אחת" הוא ההיפך מ"אף אחת". P₃(0) = C(3,0)·0.2⁰·0.8³ = 0.8³ = 0.512, ולכן P(לפחות אחת) = 1 - 0.512 = 0.488.
(ג) C(6,3) = 6!/(3!·3!) = 72036 = 20, וכל מסלול נושא (½)⁶ = 164, ולכן P₆(3) = 20·164 = 2064 = 0.3125.
(א) בסדרה הנדסית a₁ = 2 והיחס q = 3. מצאו את האבר הרביעי a₄ ואת סכום ארבעת האברים הראשונים S₄. (ב) בסדרה הנדסית a₁ = 3, q = 2: מצאו את a₅ ואת S₅. (ג) בטור הנדסי אינסופי a₁ = 8, q = ¼: מצאו את הסכום S.
לחצו לפתרון המלא
(ב) a₅ = 3·2⁴ = 3·16 = 48, ו-S₅ = 3(2⁵ - 1)/(2 - 1) = 3·31 = 93.
(ג) היחס q = ¼ מקיים |q| < 1, ולכן הטור מתכנס: S = a₁/(1 - q) = 8/(1 - ¼) = 8/(¾) = 323 ≈ 10.667.
(א) מטילים מטבע הוגן שלוש פעמים. מצאו את ההסתברות לשלושה עצים ואת ההסתברות לקבל לפחות עץ אחד. (ב) בכד 5 כדורים אדומים ו-3 כחולים. שולפים שניים בלי החזרה: מהי ההסתברות ששניהם אדומים? (ג) בקבוצה של 100 אנשים 40 גברים, ומתוכם 30 מרכיבים משקפיים. מהי P(משקפיים | גבר)?
לחצו לפתרון המלא
(ב) שליפה בלי החזרה: בשליפה הראשונה 58 אדומים, ובשנייה נותרו 7 כדורים ובהם 4 אדומים, ולכן P(שניהם אדומים) = 58 · 47 = 2056 = 514 ≈ 0.3571.
(ג) הסתברות מותנית מצמצמת את המרחב ל-40 הגברים: P(משקפיים | גבר) = 3040 = 0.75.
פתרו בתחום 0° ≤ x < 360°: (א) sin x = ½. (ב) 2 sin x cos x = ½ (היעזרו בזהות הזווית הכפולה). (ג) cos 2x = 0.
לחצו לפתרון המלא
(ב) לפי sin 2x = 2 sin x cos x המשוואה הופכת ל-sin 2x = ½. הזווית הפנימית 2x רצה עד 720°, ולכן 2x = 30°, 150°, 390°, 510°, ואחרי חלוקה ב-2: x = 15°, 75°, 195°, 255°.
(ג) cos 2x = 0 נותן 2x = 90°, 270°, 450°, 630° (עד 720°), ואחרי חלוקה ב-2: x = 45°, 135°, 225°, 315°.
הוכיחו באינדוקציה מתמטית שלכל n טבעי מתקיים 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2. בצעו את שני השלבים במלואם: בסיס וצעד.
לחצו לפתרון המלא
הנחת האינדוקציה: נניח שעבור n מסוים מתקיים 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2.
צעד (מ-n ל-n + 1): מוסיפים את האיבר הבא (n + 1) לשני האגפים: 1 + 2 + … + n + (n + 1) = n(n+1)/2 + (n + 1). מוציאים גורם משותף (n + 1): (n + 1)(n/2 + 1) = (n + 1)(n + 2)/2 - וזו בדיוק הנוסחה עבור n + 1.
מסקנה: הבסיס והצעד מתקיימים, ולכן לפי עקרון האינדוקציה הטענה 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2 נכונה לכל n טבעי.
פרק א - שאלות אוטומטיות (60 נקודות)
24 שאלות בארבעה סטים, מהקל אל הקשה, על כל נושאי הרבעון של 5 יח״ל - סדרה הנדסית וטור מתכנס, הסתברות, הסתברות מותנית ונוסחת ברנולי, זהויות ומשוואות טריגונומטריות, ואינדוקציה (2.5 נק׳ לשאלה). בשאלות הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר המשולש". בחרו או הקלידו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
נקודות לבדיקה עצמית
- 1סדרה הנדסית: aₙ = a₁qⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(qⁿ - 1)/(q - 1) (a₁ = 3, q = 2 ⟵ a₅ = 48, S₅ = 93).
- 2טור מתכנס: אם |q| < 1 אז S = a₁/(1 - q) (1 + ½ + ¼ + … = 2).
- 3הסתברות: משלים 1 - P, איחוד P(A) + P(B) - P(A∩B), בלתי תלויים P(A)·P(B); מותנית P(A|B) = P(A∩B)/P(B); ברנולי Pₙ(k) = C(n,k)·pᵏ(1 - p)ⁿ⁻ᵏ.
- 4טריגונומטריה: sin²x + cos²x = 1, sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = 1 - 2 sin²x.
- 5משוואה ואינדוקציה: זהות ⟵ מעגל היחידה בתחום מורחב ⟵ חלוקה ל-x; אינדוקציה = בסיס + צעד.
| הנושא | הכלל | דוגמה |
|---|---|---|
| נוסחת ברנולי | Pₙ(k) = C(n,k)·pᵏ(1 - p)ⁿ⁻ᵏ; C(n,k) = n!/(k!(n - k)!) | C(5,3)=10 ⟵ 10·(½)⁵ = 0.3125 |
| סדרה הנדסית וטור מתכנס | Sₙ = a₁(qⁿ - 1)/(q - 1); |q|<1: S = a₁/(1 - q) | a₁=3, q=2 ⟵ S₅=93; 1+½+¼+…=2 |
| הסתברות ומותנית | P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B); P(A|B)=P(A∩B)/P(B) | ½·½·½=⅛; 3040=0.75 |
| זהויות טריגונומטריות | sin²x+cos²x=1; sin 2x=2 sin x cos x | sin x=0.6 ⟵ cos x=0.8, sin 2x=0.96 |
| משוואה ואינדוקציה | זהות ⟵ מעגל היחידה; בסיס + צעד | 2 sin x cos x=½ ⟵ x=15°,75°,195°,255° |
