מבחן רבעוני רבעון ב׳
המבחן מכסה את חומר הרבעון השני במתמטיקה לכיתה יא׳ במסלול 5 יחידות לימוד - חשבון אינטגרלי: האינטגרל הלא-מסוים כפעולה הפוכה לגזירה (∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + c) והמשפט היסודי (∫ₐᵇf = F(b) - F(a)); חדו"א של פונקציות טריגונומטריות ((sin x)' = cos x, (cos x)' = -sin x, ∫sin x dx = -cos x + c); שטח בין גרפים (∫ₐᵇ (עליון - תחתון) dx, ערך מוחלט מתחת לציר); ופונקציית הצטברות (F(x) = ∫ₐˣ g(t)dt ולפי המשפט היסודי F'(x) = g(x)) וערך ממוצע של פונקציה ((1/(b - a))∫ₐᵇ f dx). מבחן רבעוני · רבעון ב׳ · מתמטיקה · כיתה יא׳ · 5 יח״ל · זמן 90 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). פרק א נבדק אוטומטית במחשב; בפרק ב פתרו על דף ואז גלו את הפתרון המלא.
חימום לפני המבחן הרבעוני: בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה - מפונקציה קדומה ואינטגרל מסוים, דרך נגזרות ואינטגרלים של sin ו-cos, ועד שטח מתחת לגרף ופונקציית הצטברות. השורה הראשונה - דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". האינטגרל והמשפט היסודי · חדו"א טריגונומטרי · שטח בין גרפים · הצטברות וערך ממוצע.
כל הרבעון בשורה אחת. במבחן נמצא פונקציה קדומה ונחשב אינטגרל מסוים לפי המשפט היסודי (∫₀³ 2x dx = 9, ∫₁² x²dx = 73), נגזור ונאנטגרל גלים טריגונומטריים ((sin 2x)' = 2 cos 2x, ∫₀π sin x dx = 2), נחשב שטח בין גרפים (x² - 4 לציר → 323; בין x + 2 ל-x² → 4.5), וננתח פונקציית הצטברות ונמצא ערך ממוצע (F' = g = x² - 4 → מקסימום ב-x = -2 ומינימום ב-x = 2; ממוצע x² בקטע [0, 3] הוא 3). כל אלה נבדקים במבחן הרבעוני של 5 יח״ל.
הוראות המבחן ומבנהו
לפניכם מבחן רבעוני על חומר הרבעון השני במתמטיקה לכיתה יא׳, במסלול 5 יחידות לימוד - חשבון אינטגרלי. מבנה המבחן: מבחן רבעוני · רבעון ב׳ · מתמטיקה · כיתה יא׳ · 5 יח״ל · זמן 90 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). בפרק א 24 שאלות בארבעה סטים, מהקל אל הקשה (2.5 נק׳ לשאלה) - חשבו, סמנו את התשובה הנכונה, בדקו והמשיכו. בפרק ב חמש שאלות פתוחות (8 נק׳ כל אחת, סך 40 נק׳) - פתרו צעד אחר צעד על דף, ואז לחצו כדי לגלות את הפתרון המלא. בכל שלב מותר להיעזר במחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר המשולש". נפתח בתזכורת חזותית: האינטגרל המסוים הוא השטח שמתחת לגרף - השטח שמתחת לישר y = 2x בין x = 0 ל-x = 3 שווה בדיוק ל-∫₀³ 2x dx = 9:
שש כרטיסיות תזכורת לפני המבחן
תזכורת קצרה לנושאי הרבעון של 5 יח״ל - האינטגרל הלא-מסוים והמשפט היסודי, חדו"א של פונקציות טריגונומטריות, שטח בין גרפים, ופונקציית הצטברות וערך ממוצע - לפי דפי הלימוד של כיתה יא׳ (5 יח״ל), לפני שניגשים לפרקי המבחן.
אינטגרל לא-מסוים וכלל החזקה
אינטגרל הוא פעולה הפוכה לגזירה: מחפשים קדומה F שגזירתה היא f. כלל החזקה: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + c, ולכן ∫x²dx = x³/3 + c ו-∫2x dx = x². באינטגרל לא-מסוים מוסיפים תמיד + c.
המשפט היסודי
האינטגרל המסוים מחשב שטח בעזרת קדומה בלבד: ∫ₐᵇf = F(b) - F(a) - הגבול העליון פחות התחתון. למשל ∫₀³ 2x dx = [x²]₀³ = 9 ו-∫₁² x²dx = [x³/3]₁² = 83 - 13 = 73.
חדו"א טריגונומטרי
נגזרות הגל: (sin x)' = cos x ו-(cos x)' = -sin x, ועם כלל השרשרת (sin 2x)' = 2 cos 2x. בכיוון ההפוך: ∫sin x dx = -cos x + c ו-∫cos x dx = sin x + c, ולכן ∫₀π sin x dx = 2.
שטח בין גרפים
גבולות האינטגרל הם נקודות החיתוך. בין שני גרפים מחשבים ∫ₐᵇ (עליון - תחתון) dx. שטח הוא אי-שלילי: היכן שהגרף מתחת לציר האינטגרל שלילי, ולכן לוקחים ערך מוחלט (x² - 4 לציר → 323; בין x + 2 ל-x² → 4.5).
פונקציית הצטברות
פונקציית ההצטברות F(x) = ∫ₐˣ g(t)dt אוגרת את השטח מ-a ועד x. לפי המשפט היסודי נגזרתה היא בדיוק הפונקציה שבתוך האינטגרל: F'(x) = g(x). לכן F עולה היכן ש-g > 0 ויורדת היכן ש-g < 0, והחשודות לקיצון הן אפסי g. עם g(x) = x² - 4 (אפסים ±2): מקסימום ב-x = -2 ומינימום ב-x = 2.
ערך ממוצע של פונקציה
הערך הממוצע של f בקטע [a, b] הוא (1/(b - a))∫ₐᵇ f dx - הגובה הקבוע שכולא בדיוק את אותו שטח. קודם מחשבים את האינטגרל, ואז מחלקים באורך הקטע: ממוצע x² ב-[0, 3] הוא (13)·9 = 3.
פרק ב - שאלות פתוחות (40 נקודות)
ענו על חמש השאלות. בכל שאלה פתרו בעצמכם על דף - צעד אחר צעד, בדיוק כמו במבחן - ורק אז לחצו על "לחצו לפתרון המלא" כדי לבדוק. כל המספרים והכללים מבוססים על דפי הלימוד של הרבעון בכיתה יא׳ (5 יח״ל).
(א) חשבו את האינטגרל המסוים ∫₀³ 2x dx (הקדומה היא x²). (ב) מצאו את האינטגרל הלא-מסוים ∫(3x² - 4x + 1)dx. (ג) חשבו ∫₁² x² dx.
לחצו לפתרון המלא
(ב) איבר-איבר: ∫3x²dx = x³, ∫(-4x)dx = -2x², ∫1 dx = x, ומוסיפים קבוע: x³ - 2x² + x + c. גזירה חזרה מחזירה 3x² - 4x + 1.
(ג) הקדומה היא x³/3, ולכן [x³/3]₁² = 83 - 13 = 73.
(א) גזרו את הפונקציה f(x) = sin 2x. (ב) מצאו את שיפוע המשיק לגרף f(x) = sin x בנקודה x = 0. (ג) חשבו את השטח מתחת ל-f(x) = sin x בקטע [0, π] (בקטע זה sin x ≥ 0), כלומר ∫₀π sin x dx.
לחצו לפתרון המלא
(ב) הנגזרת היא f'(x) = cos x, ושיפוע המשיק שווה לערכה בנקודה: cos 0 = 1 - הגל הכי תלול שם.
(ג) הקדומה של sin x היא -cos x, ולכן [−cos x]₀π = (−cos π) - (−cos 0) = 1 - (-1) = 2.
(א) חשבו את השטח הכלוא בין הפרבולה f(x) = x² - 4 לציר ה-x. (ב) חשבו את השטח הכלוא בין הישר g(x) = x + 2 (עליון) לפרבולה f(x) = x² (תחתון) בין נקודות החיתוך. (ג) חשבו את השטח מתחת ל-y = x² מ-x = 0 עד x = 2.
לחצו לפתרון המלא
(ב) חיתוכים: x² = x + 2 → (x - 2)(x + 1) = 0 → x = -1, x = 2. עליון פחות תחתון = x + 2 - x², והקדומה x²/2 + 2x - x³/3: ב-x = 2 ערכה 103, ב-x = -1 ערכה -76, וההפרש 103 - (-76) = 276 = 4.5.
(ג) בקטע [0, 2] הגרף מעל הציר, ולכן ∫₀² x²dx = [x³/3]₀² = 83 - 0 = 83.
נתונה פונקציית ההצטברות F(x) = ∫₀ˣ (t² - 4)dt. (א) מצאו את F'(3) ואת F'(0). (ב) מצאו את נקודות הקיצון של F וקבעו את סוג כל אחת. (ג) עבור G(x) = ∫₀ˣ (t² - 9)dt: באיזה x שלילי מקבלת G מקסימום, ובאיזה x חיובי מינימום?
לחצו לפתרון המלא
(א) כאן g(x) = x² - 4, ולכן F'(3) = 3² - 4 = 9 - 4 = 5 ו-F'(0) = 0 - 4 = -4.
(ב) החשודות לקיצון הן אפסי g: x² - 4 = 0 → x = ±2. בדיקת סימן: עבור x < -2 מתקיים g > 0 (F עולה), בין -2 ל-2 מתקיים g < 0 (F יורדת), ועבור x > 2 שוב g > 0 (F עולה). לכן ב-x = -2 יש מקסימום וב-x = 2 יש מינימום.
(ג) כאן g(x) = x² - 9 ואפסיה ±3, ושינוי הסימן זהה: ב-x = -3 עוברת g מחיובי לשלילי ולכן מקסימום, וב-x = 3 מִשלילי לחיובי ולכן מינימום.
מצאו את הערך הממוצע ((1/(b - a))∫ₐᵇ f dx): (א) f(x) = x² בקטע [0, 3]. (ב) f(x) = 2x בקטע [0, 4]. (ג) f(x) = x² בקטע [1, 4].
לחצו לפתרון המלא
(א) ∫₀³ x²dx = [x³/3]₀³ = 9, ואורך הקטע 3, ולכן הממוצע (13)·9 = 3.
(ב) ∫₀⁴ 2x dx = [x²]₀⁴ = 16, ואורך הקטע 4, ולכן הממוצע (14)·16 = 4.
(ג) ∫₁⁴ x²dx = [x³/3]₁⁴ = 643 - 13 = 21, ואורך הקטע 4 - 1 = 3, ולכן הממוצע (13)·21 = 7.
פרק א - שאלות אוטומטיות (60 נקודות)
24 שאלות רב-ברירה בארבעה סטים, מהקל אל הקשה, על כל נושאי הרבעון של 5 יח״ל - האינטגרל והמשפט היסודי, חדו"א טריגונומטרי, שטח בין גרפים, ופונקציית הצטברות וערך ממוצע (2.5 נק׳ לשאלה). בכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר המשולש". סמנו את התשובה הנכונה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
נקודות לבדיקה עצמית
- 1אינטגרל וקדומה: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + c; המשפט היסודי ∫ₐᵇf = F(b) - F(a).
- 2חדו"א טריגו: (sin x)' = cos x, (cos x)' = -sin x; ∫sin x dx = -cos x + c, ו-∫₀π sin x dx = 2.
- 3שטח בין גרפים: ∫ₐᵇ (עליון - תחתון) dx; מתחת לציר לוקחים ערך מוחלט |∫|.
- 4פונקציית הצטברות: F(x) = ∫ₐˣ g(t)dt ו-F'(x) = g(x) - הקיצון באפסי g שבהם היא מחליפה סימן.
- 5ערך ממוצע: (1/(b - a))∫ₐᵇ f dx - מאנטגרלים ומחלקים באורך הקטע.
| הנושא | הכלל | דוגמה |
|---|---|---|
| האינטגרל והמשפט היסודי | ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + c; ∫ₐᵇf = F(b) - F(a) | ∫₀³ 2x dx = 9; ∫₁² x²dx = 73 |
| חדו"א טריגונומטרי | (sin x)' = cos x; ∫sin x dx = -cos x + c | (sin 2x)' = 2 cos 2x; ∫₀π sin x dx = 2 |
| שטח בין גרפים | ∫ₐᵇ (עליון - תחתון) dx; מתחת לציר: |∫| | x² - 4 לציר → 323; x + 2 ל-x² → 4.5 |
| הצטברות וערך ממוצע | F(x) = ∫ₐˣ g(t)dt, F' = g; (1/(b - a))∫ₐᵇ f dx | g = x² - 4 → מקס ב-x=-2, מין ב-x=2; ממוצע x² ב-[0, 3] = 3 |
