מבחן חזרה מסכם · מתמטיקה · כיתה י״ב · 3 יח״ל

מבחן חזרה מתמטיקה 3 יח״ל

מבחן חזרה לסוף השנה על כל חומר כיתה י״ב במתמטיקה, 3 יחידות לימוד, לקראת שאלון 35372: גאומטריה אנליטית במישור (d = (x₂-x₁)² + (y₂-y₁)², אמצע, שיפוע, מקבילות וניצבות וחיתוך), המודל הריבועי (קודקוד x = -b / 2a, מקסימום או מינימום ונקודות איזון), תכנון ליניארי (תחום פתרונות ואופטימום בקדקוד), גופים במרחב (נפח ושטח פנים של תיבה, קובייה, גליל, חרוט, פירמידה וכדור), ראייה מרחבית (תרשים מספרי ומבטים מלפנים, מהצד ומלמעלה), וההתפלגות הנורמלית (ציון תקן z וגרף ההתפלגות בחצאי סטיית תקן). פרק א: 24 שאלות רב-ברירה שנבדקות מיד (60 נק׳). פרק ב: שש שאלות פתוחות, אחת לכל נושא, ומהן עונים על ארבע (40 נק׳). את מבנה השאלון עצמו ואת כללי המענה בו מפרט דף הסיכום לשאלון 35372, ולתרגול של שאלון שלם נועדו ששת שאלוני התרגול לשאלון זה.

מבחן חזרה מסכם לקראת שאלון 35372 מתמטיקה · כיתה י״ב 3 יחידות לימוד 100 נקודות פרק א · 24 שאלות · 60 נק׳ פרק ב · 4 מתוך 6 · 40 נק׳

חימום למבחן בחרו בכל שורה את התוצאה הנכונה, ואז בדקו

חימום לפני המבחן: בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה - מגאומטריה אנליטית במישור, דרך המודל הריבועי ותכנון ליניארי, ועד נפחי גופים, ראייה מרחבית וההתפלגות הנורמלית. השורה הראשונה - דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". גאומטריה אנליטית · מודל ריבועי · תכנון ליניארי · גופים במרחב · קוביות · התפלגות נורמלית.

כל שנת י״ב בשורה אחת. במבחן נמצא מרחק במישור ((1,3) ל-(7,11) → 36+64 = 10), נאתר שיא של מודל ריבועי (P = -x² + 12x - 32 → קודקוד x = 6, רווח 4), נמקסם פונקציית מטרה בקדקוד (P = 5x + 4y → 34 ב-(2,6)), נחשב נפח גליל בדיוק (π · 4² · 5 = 80π), נקרא תרשים מספרי (שלוש משבצות בשורה אחת, 1, 4, 2 → 7 קוביות, ומלפנים רואים עמודות בגובה 1, 4, 2), ונמיר ציון לציון תקן (z = (85 - 70) / 10 = 1.5). כל אחד מאלה מופיע באחת משאלות המבחן.

לפני שמתחילים

הוראות המבחן ומבנהו

לפניכם מבחן חזרה מסכם על כל חומר כיתה י״ב במתמטיקה, במסלול 3 יחידות לימוד. במבחן שני פרקים, ובסך הכול 100 נקודות. פרק א: 24 שאלות רב-ברירה בארבעה סטים, מן הקל אל הקשה, 2.5 נקודות לשאלה (60 נקודות). חשבו, סמנו תשובה, בדקו והמשיכו. פרק ב: שש שאלות פתוחות, שאלה אחת לכל נושא, ומהן בוחרים ארבע, אילו שתרצו, 10 נקודות לשאלה (40 נקודות). פתרו על דף צעד אחר צעד, כתבו כל נוסחה ואת ההצבה בה, ורק אחר כך פתחו את הפתרון המלא (הוא פתוח לכל שש השאלות). בכל שלב מותר להיעזר במחשבון של נדב כץ, כולל לשונית פותר המודל הריבועי. נפתח בתזכורת חזותית: מפת הקטע במישור מ-(1, 2) ל-(4, 6) - נקודת הפתיחה לגאומטריה האנליטית של השנה:

החלקים של קטע במישור - על הקטע מ-(1, 2) ל-(4, 6)

דף תזכורת

שש כרטיסיות תזכורת לפני המבחן

תזכורת קצרה לכל נושאי השנה - גאומטריה אנליטית במישור, המודל הריבועי, תכנון ליניארי, גופים במרחב, ראייה מרחבית וההתפלגות הנורמלית - לפי דפי הלימוד של כיתה י״ב (3 יח״ל), לפני שניגשים לפרקי המבחן.

גאומטריה אנליטית במישור

בין A(x₁, y₁) ל-B(x₂, y₂): מרחק d = (x₂-x₁)² + (y₂-y₁)², אמצע M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2), שיפוע m = (y₂-y₁)/(x₂-x₁). מקבילים אם m₁ = m₂, ניצבים אם m₁ · m₂ = -1.

המודל הריבועי

y = ax² + bx + c מתאר תופעה - הגרף פרבולה. שיא (קודקוד) ב-x = -b / 2a (בלי נגזרת): a < 0 מקסימום, a > 0 מינימום. נקודות איזון = אפסי הפונקציה, ax² + bx + c = 0.

תכנון ליניארי

מערכת אי-שוויונות מגדירה תחום פתרונות (מצולע). הערך הקיצוני של פונקציית המטרה P = ax + by מתקבל תמיד בקדקוד: מציבים כל קדקוד ב-P ובוחרים את הגדול (מקסימום) או הקטן (מינימום).

גופים במרחב

תיבה V = a·b·c; קובייה V = a³, שטח פנים 6a². גליל V = π·r²·h, מעטפת 2·π·r·h. חרוט V = ⅓·π·r²·h. כדור V = ⁴⁄₃·π·r³. כתבו את התוצאה המדויקת ככפולה של π, למשל בגליל שרדיוסו 3 וגובהו 2: V = π·3²·2 = 18π. לערך עשרוני הקישו את מקש π במחשבון: 18π ≈ 56.5.

ראייה מרחבית: תרשים מספרי ומבטים

תרשים מספרי מצייר את משבצות הבסיס של מבנה קוביות, ובכל משבצת רשום גובה העמודה שעומדת עליה. מספר הקוביות הוא סכום כל המספרים בתרשים. מלמעלה רואים את צורת הבסיס, ריבוע אחד לכל משבצת. מלפנים רואים בכל טור את העמודה הגבוהה ביותר בו, גם אם היא עומדת מאחור, ומימין רואים בכל שורה את העמודה הגבוהה ביותר בה. המבט מאחור הוא תמונת ראי של המבט מלפנים, והמבט משמאל תמונת ראי של המבט מימין. קוביות שמוסיפים רק על משבצות קיימות אינן משנות את המבט מלמעלה.

ההתפלגות הנורמלית

ציון תקן z = (x - ממוצע) / סטיית התקן הוא מספר סטיות התקן בין הערך לממוצע, וחזרה לערך: x = ממוצע + z · סטיית התקן. בגרף ההתפלגות יש אחת עשרה שנתות, שנתה בכל חצי סטיית תקן, משתי סטיות תקן וחצי מתחת לממוצע ועד שתי סטיות תקן וחצי מעליו, ומתחת לכל שנתה משבצת ריקה שבה כותבים את ערך המשתנה. בכל רצועה בין שתי שנתות סמוכות רשום האחוז שלה, ומעבר לשנתה הקיצונית בכל צד, מחוץ למשבצות, נשארים עוד 0.5%. האחוז בין שני ערכים הוא סכום הרצועות שביניהם: בטווח של סטיית תקן אחת לכל צד של הממוצע 68%, ובטווח של שתי סטיות תקן לכל צד 96%.

m₁ = m₂

m₁ = m₂: שיפועים שווים - הישרים מקבילים

m₁ · m₂ = -1

m₁ · m₂ = -1: מכפלת השיפועים -1 - הישרים ניצבים

פרק ב · שאלות פתוחות

פרק ב - שאלות פתוחות (40 נקודות)

לפניכם שש שאלות פתוחות, אחת לכל נושא. בחרו ארבע מהן וענו עליהן (10 נקודות לשאלה). בכל שאלה כתבו את הנוסחה, את ההצבה בה ואת החישוב, צעד אחר צעד, ורק אחר כך לחצו על לחצו לפתרון המלא ובדקו את עצמכם. הפתרון המלא פתוח לכל שש השאלות, ובסוף הפרק מחוון עם התשובות הסופיות.

שאלה 1 · גאומטריה אנליטית במישור10 נקודות

נתונות הנקודות A(1, 3) ו-B(7, 11). (א) מצאו את אורך הקטע AB ואת נקודת האמצע שלו. (ב) מצאו את שיפוע הישר AB. (ג) נתונים שני הישרים y = 2x + 1 ו-y = x + 3: מצאו את נקודת החיתוך שלהם.

לחצו לפתרון המלא

(א) אורך הקטע לפי נוסחת המרחק: AB = (7-1)² + (11-3)² = 36 + 64 = 100 = 10. נקודת האמצע היא ממוצע השיעורים: M = ((1+7)/2, (3+11)/2) = (4, 7).
(ב) השיפוע הוא הפרש ה-y חלקי הפרש ה-x: m = (11 - 3) / (7 - 1) = 86 = 43 ≈ 1.33.
(ג) בנקודת החיתוך שתי המשוואות מתקיימות יחד, ולכן 2x + 1 = x + 3. מכאן x = 2, ובהצבה y = 2·2 + 1 = 5 (וגם y = 2 + 3 = 5).

(א) AB = 10, M = (4, 7) · (ב) m = 43 ≈ 1.33 · (ג) נקודת החיתוך (2, 5).

שאלה 2 · המודל הריבועי10 נקודות

רווח של מפעל נתון על ידי P = -x² + 12x - 32 (x כמות באלפי יחידות). (א) קבעו אם יש מקסימום או מינימום, ומצאו את הכמות x שבה הרווח קיצוני. (ב) מהו הרווח הקיצוני? (ג) מצאו את נקודות האיזון (רווח 0), והסבירו בין אילו כמויות הרווח חיובי.

לחצו לפתרון המלא

(א) a = -1 < 0, ולכן הפרבולה נפתחת כלפי מטה ולרווח יש מקסימום. הכמות בקודקוד: x = -b / 2a = -12 / (2·(-1)) = 6.
(ב) מציבים x = 6: P = -36 + 72 - 32 = 4.
(ג) פותרים -x² + 12x - 32 = 0, כלומר (x - 4)(x - 8) = 0, ומקבלים x = 4 ו-x = 8. הפרבולה נפתחת כלפי מטה, ולכן בין 4 ל-8 היא מעל ציר x - הרווח חיובי; הקודקוד 6 נמצא באמצע בדיוק.

(א) מקסימום בכמות x = 6 · (ב) רווח מרבי 4 · (ג) איזון ב-x = 4 וב-x = 8; הרווח חיובי בין 4 ל-8.

שאלה 3 · תכנון ליניארי10 נקודות

מפעל מייצר x יחידות ממוצר א׳ ו-y ממוצר ב׳, תחת המגבלות x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 8 ו-2x + y ≤ 10. הרווח הוא P = 5x + 4y. (א) מצאו את המפגש הפנימי של הישרים x + y = 8 ו-2x + y = 10. (ב) חשבו את הרווח בקדקודים (5, 0), (0, 8) ובמפגש הפנימי. (ג) מהו התמהיל הרווחי ביותר והרווח המרבי?

לחצו לפתרון המלא

(א) מחסרים את המשוואות: (2x + y) - (x + y) = 10 - 8 נותן x = 2, ובהצבה ב-x + y = 8 מקבלים y = 6 - המפגש (2, 6).
(ב) מציבים ב-P = 5x + 4y: (5,0) → 5·5 + 4·0 = 25, (0,8) → 5·0 + 4·8 = 32, (2,6) → 5·2 + 4·6 = 10 + 24 = 34.
(ג) האופטימום מתקבל תמיד בקדקוד, והגדול מבין הערכים הוא 34 בקדקוד (2, 6).

(א) מפגש (2, 6) · (ב) 25, 32, 34 · (ג) התמהיל (2, 6) עם רווח מרבי 34.

שאלה 4 · גופים במרחב10 נקודות

(א) גליל שרדיוסו r = 4 וגובהו h = 5: מצאו את נפחו ואת שטח המעטפת שלו. כתבו כל תוצאה ככפולה של π, וגם כמספר עשרוני בעזרת מקש π של המחשבון, בדיוק של ספרה אחת אחרי הנקודה. (ב) קובייה שאורך צלעה 3: מצאו את נפחה ואת שטח הפנים שלה. (ג) כדור שרדיוסו r = 3: מצאו את נפחו, ככפולה של π וכמספר עשרוני.

לחצו לפתרון המלא

(א) נפח הגליל: V = π·r²·h = π·4²·5 = π·16·5 = 80π ≈ 251.3. שטח המעטפת: M = 2·π·r·h = 2·π·4·5 = 40π ≈ 125.7.
(ב) קובייה - כל הצלעות שוות: נפח V = a³ = 3³ = 27, ושטח פנים 6a² = 6·3² = 6·9 = 54 (שש פאות זהות).
(ג) נפח הכדור: V = ⁴⁄₃·π·r³ = ⁴⁄₃·π·3³ = ⁴⁄₃·π·27 = 36π ≈ 113.1.

(א) גליל V = 80π ≈ 251.3, מעטפת 40π ≈ 125.7 · (ב) קובייה V = 27, שטח פנים 54 · (ג) כדור V = 36π ≈ 113.1.

שאלה 5 · ראייה מרחבית10 נקודות

לפניכם תרשים מספרי של מבנה הבנוי מקוביות זהות. בכל משבצת רשום מספר הקוביות בעמודה שעומדת עליה, ובמקום שאין בו משבצת אין קוביות. החץ שמתחת לתרשים מראה את כיוון ההסתכלות מלפנים, והחץ שמימין לו את כיוון ההסתכלות מימין. (א) כמה קוביות יש במבנה? (ב) השלימו את המבט מלפנים ואת המבט מימין על שתי הרשתות שליד התרשים. (ג) מהו מספר הקוביות הקטן ביותר שצריך להוסיף כדי שהמבט מלפנים יהיה מלבן מלא, בלי לשנות את המבט מלמעלה? נמקו, וכתבו על אילו משבצות מוסיפים אותן.

לחצו לפתרון המלא

(א) בכל משבצת רשום גובה העמודה, ולכן מספר הקוביות הוא סכום המספרים. בשורה האחורית 3 + 1 = 4, בשורה האמצעית 1 + 2 + 1 = 4, ובשורה הקדמית 2 + 1 = 3. סך הכול 4 + 4 + 3 = 11 קוביות.
(ב) מלפנים רואים בכל טור את העמודה הגבוהה ביותר בו. בטור השמאלי העמודות 3, 1, 2, והגבוהה 3. בטור האמצעי העמודות 1, 2, והגבוהה 2. בטור הימני העמודות 1, 1, והגבוהה 1. לכן המבט מלפנים, משמאל לימין: 3, 2, 1.
מימין רואים בכל שורה את העמודה הגבוהה ביותר בה. מי שמסתכל מימין רואה את השורה הקדמית בצד שמאל שלו ואת השורה האחורית בצד ימין. בשורה הקדמית העמודות 2, 1, והגבוהה 2. בשורה האמצעית 1, 2, 1, והגבוהה 2. בשורה האחורית 3, 1, והגבוהה 3. לכן המבט מימין, משמאל לימין: 2, 2, 3.

(ג) המבט מלמעלה הוא צורת הבסיס, ולכן מותר להוסיף קוביות רק על משבצות שכבר יש בהן קוביות. העמודה הגבוהה במבט מלפנים היא 3, ולכן במלבן המלא כל טור צריך להגיע לגובה 3. הטור השמאלי כבר בגובה 3. בטור האמצעי יש משבצת אחורית (1) ומשבצת אמצעית (2): לאחורית חסרות 3 - 1 = 2 קוביות ולאמצעית 3 - 2 = 1, ולכן די בקובייה 1 על המשבצת האמצעית. בטור הימני יש משבצת אמצעית (1) ומשבצת קדמית (1), ולכל אחת מהן חסרות 3 - 1 = 2 קוביות, ולכן צריך 2. בסך הכול 1 + 2 = 3 קוביות, ופחות מזה אי אפשר, כי בכל טור חישבנו את התוספת הקטנה ביותר.

(א) 11 קוביות · (ב) מלפנים, משמאל לימין: 3, 2, 1; מימין, משמאל לימין: 2, 2, 3 · (ג) 3 קוביות: אחת על המשבצת האמצעית בטור האמצעי, ושתיים על משבצת אחת בטור הימני.

שאלה 6 · ההתפלגות הנורמלית10 נקודות

ציוני מבחן ארצי מתפלגים נורמלית, עם ממוצע 70 וסטיית תקן 10. לפניכם גרף ההתפלגות: שנתה בכל חצי סטיית תקן, משבצת ריקה מתחת לכל שנתה, בכל רצועה בין שתי שנתות סמוכות האחוז שלה, ומעבר לשנתה הקיצונית בכל צד עוד 0.5%. (א) חשבו את ציון התקן z של הציון 85 ושל הציון 60. (ב) כתבו בכל משבצת ריקה את הציון שמתאים לשנתה. (ג) לפי הגרף, כמה אחוזים מן התלמידים קיבלו ציון בין 50 ל-90? (ד) כמה אחוזים מן התלמידים קיבלו ציון גבוה מ-80?

לחצו לפתרון המלא

(א) z = (x - ממוצע) / סטיית התקן. עבור 85: z = (85 - 70) / 10 = 15 / 10 = 1.5, סטיית תקן וחצי מעל הממוצע. עבור 60: z = (60 - 70) / 10 = -10 / 10 = -1, סטיית תקן אחת מתחת לממוצע.
(ב) השנתה האמצעית היא הממוצע 70, וכל שנתה רחוקה מן השכנה שלה חצי סטיית תקן, כלומר 10 / 2 = 5. מכל צד של השנתה האמצעית חמש שנתות, ולכן השנתה השמאלית היא 70 - 5·5 = 45 והשנתה הימנית היא 70 + 5·5 = 95. משמאל לימין: 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95.

(ג) 50 = 70 - 2·10 ו-90 = 70 + 2·10, שתי סטיות תקן לכל צד. בין שתי השנתות האלה שמונה רצועות: 5% + 9% + 15% + 19% + 19% + 15% + 9% + 5% = 96%.
(ד) 80 = 70 + 10, סטיית תקן אחת מעל הממוצע. מימין לשנתה 80 שלוש רצועות עד השנתה הימנית 95, ומעבר לה עוד 0.5%: 9% + 5% + 1.5% + 0.5% = 16%.

(א) z = 1.5 ו-z = -1 · (ב) משמאל לימין: 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95 · (ג) 96% · (ד) 16%.

מחוון · התשובות הסופיות של פרק ב40 נקודות

לחצו לפתיחת המחוון

שאלה	סעיף	תשובה סופית	ניקוד
1	א	AB = 10, M = (4, 7)	10
	ב	m = 43 ≈ 1.33
	ג	נקודת החיתוך (2, 5)
2	א	מקסימום בכמות x = 6	10
	ב	רווח מרבי 4
	ג	איזון ב-x = 4 וב-x = 8; הרווח חיובי בין 4 ל-8
3	א	מפגש (2, 6)	10
	ב	25, 32, 34
	ג	התמהיל (2, 6) עם רווח מרבי 34
4	א	גליל V = 80π ≈ 251.3, מעטפת 40π ≈ 125.7	10
	ב	קובייה V = 27, שטח פנים 54
	ג	כדור V = 36π ≈ 113.1
5	א	11 קוביות	10
	ב	מלפנים, משמאל לימין: 3, 2, 1; מימין, משמאל לימין: 2, 2, 3
	ג	3 קוביות: אחת על המשבצת האמצעית בטור האמצעי, ושתיים על משבצת אחת בטור הימני
6	א	z = 1.5 ו-z = -1	10
	ב	משמאל לימין: 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95
	ג	96%
	ד	16%

עונים על ארבע שאלות מתוך שש, ולכן הציון בפרק ב הוא לכל היותר 4 · 10 = 40 נקודות.

דוגמה 1

דוגמה 2

דוגמה 3

פרק א · רב-ברירה

פרק א - שאלות אוטומטיות (60 נקודות)

ניקוד: 0 / 0

24 שאלות רב-ברירה בארבעה סטים, מהקל אל הקשה, על כל נושאי השנה - גאומטריה אנליטית, המודל הריבועי, תכנון ליניארי, גופים במרחב, ראייה מרחבית וההתפלגות הנורמלית (2.5 נק׳ לשאלה). בכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית פותר המודל הריבועי. סמנו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

שליטה

0חדש

0בלימוד

0בחזרה

0שולט

נקודות לבדיקה עצמית

1גאומטריה אנליטית: מרחק (x₂-x₁)² + (y₂-y₁)², אמצע ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2), שיפוע (y₂-y₁)/(x₂-x₁); ניצבים m₁·m₂ = -1.
2מודל ריבועי: קודקוד x = -b / 2a (בלי נגזרת); a < 0 מקסימום, a > 0 מינימום; איזון = אפסים.
3תכנון ליניארי: האופטימום של P = ax + by תמיד בקדקוד - מציבים ובוחרים.
4גופים ומבני קוביות: גליל π·r²·h, חרוט ⅓·π·r²·h, כדור ⁴⁄₃·π·r³, והתוצאה ככפולה של π (80π ≈ 251.3); בתרשים מספרי מספר הקוביות הוא סכום המספרים, ומלפנים או מימין רואים בכל טור או שורה את העמודה הגבוהה ביותר.
5התפלגות נורמלית: z = (x - ממוצע) / סטיית תקן; בגרף ההתפלגות בחצאי סטיית תקן חוברים את אחוזי הרצועות: סטיית תקן אחת לכל צד 68%, שתיים 96%.

נושאי המבחן במבט אחד
הנושא	הכלל	דוגמה
גאומטריה אנליטית	מרחק, אמצע, שיפוע, משוואת ישר	(1,3)→(7,11): d = 10
המודל הריבועי	קודקוד x = -b/2a, נקודות איזון	-x²+12x-32: x = 6, P = 4
תכנון ליניארי	אופטימום בקדקוד של תחום הפתרונות	P = 5x+4y: 34 ב-(2,6)
גופים במרחב	נפח ושטח פנים לפי נוסחת הגוף, ככפולה של π	גליל r4 h5: V = 80π ≈ 251.3
ראייה מרחבית	תרשים מספרי ומבטים מלפנים, מהצד ומלמעלה	משבצות 2, 4, 1: 7 קוביות
התפלגות נורמלית	ציון תקן z, גרף ההתפלגות בחצאי סטיית תקן	85 (70,10): z = 1.5

מפתח פתרונות (תרגול)