מבחן רבעוני רבעון א׳
המבחן מכסה את חומר הרבעון הראשון במתמטיקה לכיתה י״ב במסלול 3 יחידות לימוד (שאלון 35372): גאומטריה אנליטית במישור (d = (x₂-x₁)² + (y₂-y₁)², אמצע, שיפוע, משוואת ישר, מקבילות וניצבות), המודל הריבועי (קודקוד x = -b / 2a, מקסימום/מינימום ונקודות איזון), תכנון ליניארי (תחום פתרונות ואופטימום בקדקוד), גופים במרחב (נפח ושטח פנים של תיבה, קובייה, גליל, חרוט, פירמידה וכדור), ראייה מרחבית ומבני קוביות (L · W · H ושטח חשוף 2(LW + LH + WH)), וההתפלגות הנורמלית (ציון תקן z וכלל 68-95-99.7). מבחן רבעוני · רבעון א׳ · מתמטיקה · כיתה י״ב · 3 יח״ל · זמן 90 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). פרק א נבדק אוטומטית במחשב; בפרק ב פתרו על דף ואז גלו את הפתרון המלא.
חימום לפני המבחן הרבעוני: בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה - מגאומטריה אנליטית במישור, דרך המודל הריבועי ותכנון ליניארי, ועד נפחי גופים, ראייה מרחבית וההתפלגות הנורמלית. השורה הראשונה - דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". גאומטריה אנליטית · מודל ריבועי · תכנון ליניארי · גופים במרחב · קוביות · התפלגות נורמלית.
כל הרבעון בשורה אחת. במבחן נמצא מרחק במישור ((1,2) ל-(4,6) → 9+16 = 5), נאתר שיא של מודל ריבועי (P = -x² + 10x - 16 → קודקוד x = 5, רווח 9), נמקסם פונקציית מטרה בקדקוד (P = 3x + 2y → 18 ב-(6,0)), נחשב נפח גליל (פאי · 25 · 10 = 250פאי ≈ 785), נספור קוביות ושטח חשוף (3 × 2 × 2 → 12 קוביות, שטח 32), ונמיר ציון לציון תקן (z = (85 - 70) / 10 = 1.5). כל אלה נבדקים במבחן הרבעוני.
הוראות המבחן ומבנהו
לפניכם מבחן רבעוני על חומר הרבעון הראשון במתמטיקה לכיתה י״ב, במסלול 3 יחידות לימוד (שאלון 35372). מבנה המבחן: מבחן רבעוני · רבעון א׳ · מתמטיקה · כיתה י״ב · 3 יח״ל · זמן 90 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). בפרק א 24 שאלות רב-ברירה בארבעה סטים, מהקל אל הקשה (2.5 נק׳ לשאלה) - חשבו, סמנו את התשובה, בדקו והמשיכו. בפרק ב חמש שאלות פתוחות (8 נק׳ כל אחת, סך 40 נק׳) - פתרו צעד אחר צעד על דף, ואז לחצו כדי לגלות את הפתרון המלא. בכל שלב מותר להיעזר במחשבון של נדב כץ - כולל לשונית פותר המודל הריבועי. נפתח בתזכורת חזותית: מפת הקטע במישור מ-(1, 2) ל-(4, 6) - נקודת הפתיחה לגאומטריה האנליטית של הרבעון:
שש כרטיסיות תזכורת לפני המבחן
תזכורת קצרה לנושאי הרבעון - גאומטריה אנליטית במישור, המודל הריבועי, תכנון ליניארי, גופים במרחב, ראייה מרחבית וההתפלגות הנורמלית - לפי דפי הלימוד של כיתה י״ב (3 יח״ל), לפני שניגשים לפרקי המבחן.
גאומטריה אנליטית במישור
בין A(x₁, y₁) ל-B(x₂, y₂): מרחק d = (x₂-x₁)² + (y₂-y₁)², אמצע M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2), שיפוע m = (y₂-y₁)/(x₂-x₁). מקבילים אם m₁ = m₂, ניצבים אם m₁ · m₂ = -1.
המודל הריבועי
y = ax² + bx + c מתאר תופעה - הגרף פרבולה. שיא (קודקוד) ב-x = -b / 2a (בלי נגזרת): a < 0 מקסימום, a > 0 מינימום. נקודות איזון = אפסי הפונקציה, ax² + bx + c = 0.
תכנון ליניארי
מערכת אי-שוויונות מגדירה תחום פתרונות (מצולע). הערך הקיצוני של פונקציית המטרה P = ax + by מתקבל תמיד בקדקוד: מציבים כל קדקוד ב-P ובוחרים את הגדול (מקסימום) או הקטן (מינימום).
גופים במרחב
תיבה V = a·b·c; קובייה V = a³, שטח פנים 6a². גליל V = פאי·r²·h, מעטפת 2·פאי·r·h. חרוט V = ⅓·פאי·r²·h. כדור V = ⁴⁄₃·פאי·r³. חשבו עם פאי ≈ 3.14.
ראייה מרחבית ומבני קוביות
בתיבה מלאה L × W × H: מספר הקוביות L · W · H, מבט-על L · W, ושטח חשוף 2(LW + LH + WH). הוספת קובייה הנוגעת ב-k שכנות משנה את השטח ב-6 - 2k, והסרה ב-2k - 6.
ההתפלגות הנורמלית
ציון תקן z = (x - ממוצע) / סטיית התקן - מספר הסטיות מהממוצע. כלל 68-95-99.7: בטווח ±1 סטייה כ-68%, ±2 כ-95%, ±3 כ-99.7%. חזרה לערך: x = ממוצע + z · סטיית תקן.
פרק ב - שאלות פתוחות (40 נקודות)
ענו על חמש השאלות. בכל שאלה פתרו בעצמכם על דף - צעד אחר צעד, בדיוק כמו במבחן - ורק אז לחצו על לחצו לפתרון המלא כדי לבדוק. כל המספרים והכללים מבוססים על דפי הלימוד של הרבעון בכיתה י״ב (3 יח״ל).
נתונות הנקודות A(1, 2) ו-B(4, 6). (א) מצאו את אורך הקטע AB ואת נקודת האמצע שלו. (ב) מצאו את שיפוע הישר AB. (ג) נתונים שני הישרים y = 2x + 1 ו-y = -x + 7: מצאו את נקודת החיתוך שלהם.
לחצו לפתרון המלא
(ב) השיפוע הוא הפרש ה-y חלקי הפרש ה-x: m = (6 - 2) / (4 - 1) = 43 ≈ 1.33.
(ג) בנקודת החיתוך שתי המשוואות מתקיימות יחד, ולכן 2x + 1 = -x + 7. מכאן 3x = 6, כלומר x = 2, ובהצבה y = 2·2 + 1 = 5.
רווח של דוכן נתון על ידי P = -x² + 10x - 16 (x הוא המחיר). (א) קבעו אם יש מקסימום או מינימום, ומצאו את המחיר x שבו הרווח קיצוני. (ב) מהו הרווח הקיצוני? (ג) מצאו את נקודות האיזון (רווח 0).
לחצו לפתרון המלא
(ב) מציבים x = 5: P = -25 + 50 - 16 = 9.
(ג) פותרים -x² + 10x - 16 = 0, כלומר (x - 2)(x - 8) = 0, ומקבלים x = 2 ו-x = 8 - והקודקוד 5 באמצע בדיוק.
מפעל מייצר x יחידות ממוצר א׳ ו-y ממוצר ב׳, תחת המגבלות x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 8 ו-2x + y ≤ 10. הרווח הוא P = 4x + 3y. (א) מצאו את המפגש הפנימי של הישרים x + y = 8 ו-2x + y = 10. (ב) חשבו את הרווח בקדקודים (5, 0), (0, 8) ובמפגש הפנימי. (ג) מהו התמהיל הרווחי ביותר והרווח המרבי?
לחצו לפתרון המלא
(ב) מציבים ב-P = 4x + 3y: (5,0) → 4·5 + 3·0 = 20, (0,8) → 4·0 + 3·8 = 24, (2,6) → 4·2 + 3·6 = 8 + 18 = 26.
(ג) האופטימום מתקבל תמיד בקדקוד, והגדול מבין הערכים הוא 26 בקדקוד (2, 6).
(א) גליל שרדיוסו r = 5 וגובהו h = 10: מצאו את נפחו ואת שטח המעטפת שלו (פאי ≈ 3.14). (ב) קובייה שאורך צלעה 4: מצאו את נפחה ואת שטח הפנים שלה. (ג) כדור שרדיוסו r = 3: מצאו את נפחו (פאי ≈ 3.14).
לחצו לפתרון המלא
(ב) קובייה - כל הצלעות שוות: נפח V = a³ = 4³ = 64, ושטח פנים 6a² = 6·16 = 96 (שש פאות זהות).
(ג) נפח הכדור: V = ⁴⁄₃·פאי·r³ = ⁴⁄₃·פאי·27 = 36פאי ≈ 36·3.14 ≈ 113.
ציוני מבחן מתפלגים נורמלית עם ממוצע 70 וסטיית תקן 10. (א) מצאו את ציון התקן z של הציון 85 ושל הציון 60. (ב) לפי כלל 68-95-99.7, כמה אחוז מהתלמידים בין 60 ל-80, וכמה בין 50 ל-90? (ג) מהו הציון שמעליו נמצאים כ-16% מהתלמידים?
לחצו לפתרון המלא
(ב) 60 ו-80 הם z = -1 ו-z = 1 (טווח ±1 סטייה), ולכן כ-68%. 50 ו-90 הם z = -2 ו-z = 2 (טווח ±2), ולכן כ-95%.
(ג) אם מעל הציון נמצאים כ-16%, אז מתחתיו כ-84%, שזה z ≈ 1. ההמרה חזרה לערך: x = ממוצע + z · סטיית תקן = 70 + 1·10 = 80.
פרק א - שאלות אוטומטיות (60 נקודות)
24 שאלות רב-ברירה בארבעה סטים, מהקל אל הקשה, על כל נושאי הרבעון - גאומטריה אנליטית, המודל הריבועי, תכנון ליניארי, גופים במרחב, ראייה מרחבית וההתפלגות הנורמלית (2.5 נק׳ לשאלה). בכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית פותר המודל הריבועי. סמנו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
נקודות לבדיקה עצמית
- 1גאומטריה אנליטית: מרחק (x₂-x₁)² + (y₂-y₁)², אמצע ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2), שיפוע (y₂-y₁)/(x₂-x₁); ניצבים m₁·m₂ = -1.
- 2מודל ריבועי: קודקוד x = -b / 2a (בלי נגזרת); a < 0 מקסימום, a > 0 מינימום; איזון = אפסים.
- 3תכנון ליניארי: האופטימום של P = ax + by תמיד בקדקוד - מציבים ובוחרים.
- 4גופים וקוביות: גליל פאי·r²·h, חרוט ⅓·פאי·r²·h, כדור ⁴⁄₃·פאי·r³; תיבה מלאה L·W·H, שטח חשוף 2(LW+LH+WH).
- 5התפלגות נורמלית: z = (x - ממוצע) / סטיית תקן; כלל 68-95-99.7.
| הנושא | הכלל | דוגמה |
|---|---|---|
| גאומטריה אנליטית | מרחק, אמצע, שיפוע, משוואת ישר | (1,2)→(4,6): d = 5 |
| המודל הריבועי | קודקוד x = -b/2a, נקודות איזון | -x²+10x-16: x = 5, P = 9 |
| תכנון ליניארי | אופטימום בקדקוד של תחום הפתרונות | P = 3x+2y: 18 ב-(6,0) |
| גופים במרחב | נפח ושטח פנים לפי נוסחת הגוף | גליל r5 h10: V ≈ 785 |
| ראייה מרחבית | L·W·H, שטח חשוף 2(LW+LH+WH) | 3×2×2: 12 קוביות, שטח 32 |
| התפלגות נורמלית | ציון תקן z, כלל 68-95-99.7 | 85 (70,10): z = 1.5 |
