מבחן בגרות 4 יחידות לימוד
מבחן בגרות מסכם על חומר כל שנת הלימוד במתמטיקה לכיתה י״ב במסלול 4 יחידות לימוד (בנוסח שאלון 35472). המבחן פורש את כל אשכולות השנה: הסדרה החשבונית (aₙ = a₁ + (n - 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2), הסדרה ההנדסית והסכום האינסופי (aₙ = a₁·qⁿ⁻¹, סכום מתכנס S = a₁/(1 - q) כאשר |q| < 1), גדילה ודעיכה מעריכית (כמות = התחלתית · מקדםזמן וזמן השוואה בעזרת ln), נגזרות מעריכיות ולוגריתמיות ((eˣ) = eˣ, (ln x) = 1/x והמשיק), אינטגרל ושטח (∫₀¹ eˣ dx = e - 1), חקירת פונקציה מעריכית ולוגריתמית, גאומטריה במרחב (תיבה ופירמידה) ווקטורים במרחב (אורך, מכפלה סקלרית וניצבות). מבחן בגרות · מתמטיקה · כיתה י״ב · 4 יח״ל · זמן 180 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). פרק א נבדק אוטומטית במחשב; בפרק ב פתרו על דף ואז גלו את הפתרון המלא.
חימום לפני מבחן הבגרות: בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה - מהסדרות (חשבונית, הנדסית וסכום אינסופי), דרך גדילה מעריכית, נגזרות ושטח מעריכי, ועד וקטורים וגאומטריה במרחב. השורה הראשונה - דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". סדרות · גדילה מעריכית · חקירת פונקציה · נגזרות ואינטגרל · גאומטריה במרחב · וקטורים.
כל השנה בשורה אחת. במבחן הבגרות נסכם סדרה חשבונית (a₁ = 4, d = 3 → a₂₀ = 61, S₂₀ = 650), סדרה הנדסית וסכום אינסופי (a₁ = 3, q = 2 → a₅ = 48, S₅ = 93; ו-8 + 2 + 0.5 + … → S = 323), גדילה מעריכית (10,000 · 1.03⁵ ≈ 11,593), נגזרת מעריכית (f(x) = x·eˣ → נגזרת (1 + x)eˣ, מינימום ב-(-1, -1/e)), אינטגרל ושטח (∫₀¹ eˣ dx = e - 1 ≈ 1.718), גאומטריה במרחב (תיבה 3 × 4 × 5 → אלכסון 50 ≈ 7.07) ווקטורים (|(2, 3, 6)| = 7, ו-(1, 2, 3)·(2, -1, 0) = 0 ⟵ ניצבים). כל אלה נבדקים במבחן.
הוראות המבחן ומבנהו
לפניכם מבחן בגרות מסכם על חומר כל שנת הלימוד במתמטיקה לכיתה י״ב, במסלול 4 יחידות לימוד (בנוסח שאלון 35472). מבנה המבחן: מבחן בגרות · מתמטיקה · כיתה י״ב · 4 יח״ל · זמן 180 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). בפרק א 24 שאלות רב-ברירה בארבעה סטים, מהקל אל הקשה (2.5 נק׳ לשאלה) - חשבו, סמנו את התשובה, בדקו והמשיכו. בפרק ב חמש שאלות פתוחות; כמקובל בבגרות ענו על 4 מתוך 5 השאלות (10 נק׳ כל אחת, סך 40 נק׳) - פתרו צעד אחר צעד על דף, ואז לחצו כדי לגלות את הפתרון המלא (מוצג פתרון לכל חמש). בכל שלב מותר להיעזר במחשבון של נדב כץ - כולל לשונית פותר הסדרה. נפתח בתזכורת חזותית: מפת הסדרה החשבונית a₁ = 4, d = 3 - נקודת הפתיחה של שנת הלימוד:
שש כרטיסיות תזכורת לפני הבגרות
תזכורת קצרה לכל אשכולות השנה - סדרות (חשבונית, הנדסית וסכום אינסופי), גדילה ודעיכה מעריכית, נגזרות מעריכיות ולוגריתמיות, חקירת פונקציה, אינטגרל ושטח, וגאומטריה ווקטורים במרחב - לפי דפי הלימוד של כיתה י״ב (4 יח״ל), לפני שניגשים לפרקי המבחן.
סדרות וסכום אינסופי
חשבונית: aₙ = a₁ + (n - 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. הנדסית: aₙ = a₁·qⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(qⁿ - 1)/(q - 1). סכום אינסופי מתכנס כאשר |q| < 1, ואז S = a₁/(1 - q) (למשל a₁ = 8, q = ¼ → S = 323).
גדילה ודעיכה מעריכית
כמות = התחלתית · מקדםזמן. גדילה של p% → מקדם 1 + p/100; דעיכה → 1 - p/100. הצבת זמן בחזקה: 10,000 · 1.03⁵ ≈ 11,593. זמן השוואה בין תהליכים נפתר עם ln.
נגזרות מעריכיות ולוגריתמיות
(eˣ) = eˣ ו-(ln x) = 1/x; בשרשרת (eu) = u'·eu ו-(ln u) = u'/u (למשל (e2x) = 2e2x). הנגזרת בנקודה היא שיפוע המשיק - ל-eˣ ב-x = 0 השיפוע הוא 1.
חקירת פונקציה
מעריכית כמו x·eˣ: תחום כל x, אסימפטוטה אופקית y = 0, ומכיוון ש-eˣ > 0 הקיצון מהגורם הפולינומי - מינימום (-1, -1/e). לוגריתמית כמו x - ln x: תחום מ-הארגומנט > 0, אסימפטוטה אנכית, מינימום (1, 1).
אינטגרל ושטח מעריכי
∫eˣdx = eˣ + c, ולפי מקדם בחזקה ∫eaxdx = eax/a + c. שטח מסוים הוא F(b) - F(a). מ-0 עד 1: ∫₀¹ eˣ dx = e - 1 ≈ 1.718, ו-∫₀¹ e2x dx = (e² - 1)/2 ≈ 3.195.
גאומטריה ווקטורים במרחב
תיבה: נפח a·b·c, אלכסון a² + b² + c² (תיבה 3 × 4 × 5 → אלכסון 50 ≈ 7.07). פירמידה: ⅓·שטח הבסיס·גובה. וקטור: אורך |v| = x² + y² + z², וניצבות כאשר המכפלה הסקלרית u·v = 0.
פרק ב - שאלות פתוחות (40 נקודות)
כמקובל בבגרות, ענו על 4 מתוך 5 השאלות (10 נקודות כל אחת). בכל שאלה פתרו בעצמכם על דף - צעד אחר צעד, בדיוק כמו במבחן - ורק אז לחצו על לחצו לפתרון המלא כדי לבדוק (מוצג פתרון מלא לכל חמש השאלות). כל המספרים והכללים מבוססים על תשעת דפי הלימוד של השנה בכיתה י״ב (4 יח״ל).
(א) בסדרה חשבונית נתון a₃ = 10 ו-a₇ = 22. מצאו את ההפרש d ואת האיבר הראשון a₁, ואז את סכום עשרים האיברים הראשונים S₂₀. (ב) בסדרה הנדסית a₁ = 3, q = 2 מצאו את a₅ ואת S₅. (ג) בסדרה הנדסית אינסופית a₁ = 8, q = ¼ הסבירו מדוע הוא מתכנס ומצאו את סכומו S.
לחצו לפתרון המלא
(ב) a₅ = a₁·q⁴ = 3·2⁴ = 3·16 = 48, ו-S₅ = a₁(q⁵ - 1)/(q - 1) = 3(32 - 1)/(2 - 1) = 3·31 = 93.
(ג) הסכום מתכנס כי |q| = ¼ < 1, ולכן S = a₁/(1 - q) = 8/(1 - ¼) = 8/(¾) = 323 ≈ 10.67.
(א) אוכלוסייה מונה 10,000 וגדלה ב-3% לשנה. כתבו את המודל כמות = התחלתית · מקדםזמן וחשבו את הכמות אחרי 5 שנים ואחרי 10 שנים (עגלו לשלם). (ב) שתי משתלות: הראשונה 100 צמחים בגדילה 5% לשבוע, השנייה 80 צמחים בגדילה 10% לשבוע. כתבו את משוואת ההשוואה, כנסו אותה למקדם אחד, ומצאו אחרי כמה שבועות (מעוגל) הן משתוות.
לחצו לפתרון המלא
(ב) משווים: 100 · 1.05ⁿ = 80 · 1.10ⁿ. מכנסים למקדם אחד: (1.101.05)ⁿ = 10080, כלומר 1.0476ⁿ = 1.25. פותרים עם לוגריתם: n = ln(1.25) / ln(1.0476) ≈ 4.8 ≈ 5 שבועות.
נתונה הפונקציה f(x) = x·eˣ. (א) מהו תחום ההגדרה, ומהי האסימפטוטה האופקית כאשר x → -∞? (ב) גזרו את f בכלל המכפלה, מצאו את שיעור ה-x של נקודת הקיצון, וקבעו במבחן סימן אם זו מקסימום או מינימום, ומצאו את שיעור ה-y שלה. (ג) מצאו את שיפוע המשיק ל-f בנקודה x = 0 ואת משוואת המשיק.
לחצו לפתרון המלא
(ב) בכלל המכפלה עם u = x, v = eˣ: הנגזרת היא 1·eˣ + x·eˣ = (1 + x)eˣ. מכיוון ש-eˣ > 0 תמיד, 1 + x = 0 נותן x = -1. מבחן סימן: משמאל ל--1 הנגזרת שלילית (יורדת), מימין חיובית (עולה) - ולכן מינימום, ו-f(-1) = -1·e⁻¹ = -1/e ≈ -0.37.
(ג) שיפוע המשיק הוא הנגזרת בנקודה: (1 + 0)e⁰ = 1. הנקודה היא (0, f(0)) = (0, 0), ולכן המשיק הוא y - 0 = 1·(x - 0), כלומר y = x.
(א) חשבו את ∫₀¹ eˣ dx והסבירו מדוע הוא שווה לשטח הכלוא בין הגרף של f(x) = eˣ לציר x (עגלו לשלוש ספרות). (ב) חשבו את ∫₀¹ e2x dx (עגלו לשלוש ספרות). (ג) נתונה g(x) = x - ln x: מצאו את תחום ההגדרה ואת האסימפטוטה האנכית, גזרו בעזרת (ln x) = 1/x, מצאו את נקודת הקיצון והראו במבחן סימן שזהו מינימום.
לחצו לפתרון המלא
(ב) עם מקדם בחזקה ∫e2xdx = e2x/2 + c, ולכן ∫₀¹ e2x dx = e²/2 - e⁰/2 = (e² - 1)/2 ≈ 3.195.
(ג) ה-ln מוגדר רק על מספר חיובי, ולכן התחום x > 0 ויש אסימפטוטה אנכית x = 0. הנגזרת היא 1 - 1/x, ו-1 - 1/x = 0 נותן x = 1. מבחן סימן: משמאל (x = 0.5) שלילית, מימין (x = 2) חיובית - מינימום, ו-g(1) = 1 - ln 1 = 1.
(א) נתונה תיבה שממדיה 3 × 4 × 5: מצאו את נפחה ואת אלכסון התיבה שלה (עגלו לשתי ספרות). (ב) נתונה פירמידה שבסיסה ריבוע צלע 6 וגובהה 10: מצאו את נפחה. (ג) נתון הווקטור v = (2, 3, 6): מצאו את אורכו |v|. (ד) נתונים u = (1, 2, 3) ו-w = (2, -1, 0): חשבו את המכפלה הסקלרית u·w וקבעו אם הם ניצבים.
לחצו לפתרון המלא
(ב) שטח הבסיס 6² = 36, ולכן V = ⅓·36·10 = 3603 = 120.
(ג) |v| = 2² + 3² + 6² = 4 + 9 + 36 = 49 = 7.
(ד) u·w = 1·2 + 2·(-1) + 3·0 = 2 - 2 + 0 = 0. המכפלה הסקלרית מתאפסת, ולכן הווקטורים ניצבים.
פרק א - שאלות אוטומטיות (60 נקודות)
24 שאלות רב-ברירה בארבעה סטים, מהקל אל הקשה, על כל אשכולות השנה - סדרות וסכום אינסופי, גדילה מעריכית, נגזרות ואינטגרל, חקירת פונקציה, וגאומטריה ווקטורים במרחב (2.5 נק׳ לשאלה). בכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית פותר הסדרה. סמנו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
נקודות לבדיקה עצמית
- 1סדרות: חשבונית aₙ = a₁ + (n - 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2; הנדסית aₙ = a₁·qⁿ⁻¹; סכום מתכנס S = a₁/(1 - q) כאשר |q| < 1.
- 2גדילה מעריכית: כמות = התחלתית · מקדםזמן; זמן השוואה עם ln (10,000·1.03⁵ ≈ 11,593).
- 3נגזרות ואינטגרל: (eˣ) = eˣ, (ln x) = 1/x; ∫eaxdx = eax/a + c; ∫₀¹ eˣ dx = e - 1 ≈ 1.718.
- 4חקירת פונקציה: eˣ > 0 ולכן קיצון מהגורם הפולינומי - x·eˣ מינימום (-1, -1/e); לוגריתמית תחום הארגומנט > 0, x - ln x מינימום (1, 1).
- 5מרחב: נפח תיבה a·b·c, אלכסון a² + b² + c²; פירמידה ⅓·בסיס·גובה; וקטור |v| = x² + y² + z², ניצבות u·v = 0.
| הנושא | הכלל | דוגמה |
|---|---|---|
| הסדרה החשבונית | aₙ = a₁ + (n-1)d, Sₙ = n(a₁+aₙ)/2 | a₁=4, d=3: a₂₀ = 61, S₂₀ = 650 |
| הסדרה ההנדסית | aₙ = a₁·qⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(qⁿ-1)/(q-1) | a₁=3, q=2: a₅ = 48, S₅ = 93 |
| הסכום האינסופי | S = a₁/(1-q) כאשר |q| < 1 | a₁=8, q=¼: S = 323 |
| גדילה ודעיכה מעריכית | כמות = התחלתית·מקדםזמן, ln להשוואה | 10,000·1.03⁵ ≈ 11,593 |
| נגזרות מעריכיות/לוגריתמיות | (eˣ) = eˣ, (ln x) = 1/x, (e2x) = 2e2x | שיפוע eˣ ב-x=0 הוא 1 |
| אינטגרל ושטח מעריכי | ∫eˣdx = eˣ+c, ∫eaxdx = eax/a+c | ∫₀¹ eˣ dx = e - 1 ≈ 1.718 |
| חקירת פונקציה מעריכית | תחום כל x, אסימפטוטה y=0, קיצון | x·eˣ: מינימום (-1, -1/e) |
| חקירת פונקציה לוגריתמית | תחום הארגומנט>0, אסימפטוטה אנכית | x - ln x: מינימום (1, 1) |
| גאומטריה במרחב | תיבה a·b·c, פירמידה ⅓·בסיס·גובה, אלכסון a²+b²+c² | תיבה 3×4×5: V=60, אלכסון 50 ≈ 7.07 |
| וקטורים במרחב | |v| = x²+y²+z², ניצבות u·v = 0 | |(2,3,6)|=7; (1,2,3)·(2,-1,0)=0 |
