מבחן רבעוני רבעון א׳
המבחן מכסה את חומר הרבעון הראשון במתמטיקה לכיתה י״ב במסלול 4 יחידות לימוד (שאלון 35472): הסדרה החשבונית (aₙ = a₁ + (n - 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2), הסדרה ההנדסית והסכום האינסופי (aₙ = a₁·qⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(qⁿ - 1)/(q - 1), סכום מתכנס S = a₁/(1 - q) כאשר |q| < 1), גדילה ודעיכה מעריכית (כמות = התחלתית · מקדםזמן וזמן השוואה בעזרת ln), חקירת פונקציה מעריכית (תחום, אסימפטוטה אופקית y = 0 ונקודות קיצון) וחקירת פונקציה לוגריתמית (תחום מהתנאי הארגומנט > 0, אסימפטוטה אנכית ונקודות קיצון עם (ln x) = 1/x). מבחן רבעוני · רבעון א׳ · מתמטיקה · כיתה י״ב · 4 יח״ל · זמן 90 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). פרק א נבדק אוטומטית במחשב; בפרק ב פתרו על דף ואז גלו את הפתרון המלא.
חימום לפני המבחן הרבעוני: בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה - מהסדרה החשבונית וההנדסית, דרך סכום הסדרה האינסופית המתכנס וגדילה מעריכית, ועד חקירת פונקציה מעריכית ולוגריתמית. השורה הראשונה - דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". סדרה חשבונית · סדרה הנדסית · סכום אינסופי · גדילה ודעיכה מעריכית · פונקציה מעריכית · פונקציה לוגריתמית.
כל הרבעון בשורה אחת. במבחן נסכם סדרה חשבונית (2, 5, 8, … → a₁₀ = 29, S₁₀ = 155), נחשב סדרה הנדסית וסכום אינסופי (a₁ = 3, q = 2 → a₅ = 48, S₅ = 93; ו-8 + 2 + 0.5 + … → S = 323), נמצא כמות אחרי גדילה מעריכית (10,000 · 1.03⁵ ≈ 11,593), נחקור פונקציה מעריכית (f(x) = x·eˣ → מינימום ב-(-1, -1/e)) ולוגריתמית (f(x) = x - ln x → מינימום ב-(1, 1), אסימפטוטה אנכית x = 0). כל אלה נבדקים במבחן הרבעוני.
הוראות המבחן ומבנהו
לפניכם מבחן רבעוני על חומר הרבעון הראשון במתמטיקה לכיתה י״ב, במסלול 4 יחידות לימוד (שאלון 35472). מבנה המבחן: מבחן רבעוני · רבעון א׳ · מתמטיקה · כיתה י״ב · 4 יח״ל · זמן 90 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). בפרק א 24 שאלות רב-ברירה בארבעה סטים, מהקל אל הקשה (2.5 נק׳ לשאלה) - חשבו, סמנו את התשובה, בדקו והמשיכו. בפרק ב חמש שאלות פתוחות (8 נק׳ כל אחת, סך 40 נק׳) - פתרו צעד אחר צעד על דף, ואז לחצו כדי לגלות את הפתרון המלא. בכל שלב מותר להיעזר במחשבון של נדב כץ - כולל לשונית פותר הסדרה. נפתח בתזכורת חזותית: מפת הסדרה החשבונית a₁ = 4, d = 3 - נקודת הפתיחה של אשכול הרבעון:
שש כרטיסיות תזכורת לפני המבחן
תזכורת קצרה לנושאי הרבעון - הסדרה החשבונית, הסדרה ההנדסית והסכום האינסופי, גדילה ודעיכה מעריכית, וחקירת פונקציה מעריכית ולוגריתמית - לפי דפי הלימוד של כיתה י״ב (4 יח״ל), לפני שניגשים לפרקי המבחן.
הסדרה החשבונית
ההפרש בין איברים סמוכים קבוע: d = aₙ - aₙ₋₁. איבר כללי aₙ = a₁ + (n - 1)d, סכום Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. משני איברים: d = (aₘ - aₖ)/(m - k) ואז a₁ = aₖ - (k - 1)d.
הסדרה ההנדסית
כל איבר כפול מקודמו במנה קבועה q. איבר כללי aₙ = a₁·qⁿ⁻¹, וסכום n האיברים Sₙ = a₁(qⁿ - 1)/(q - 1) (כאשר q ≠ 1). למשל a₁ = 3, q = 2 → a₅ = 48, S₅ = 93.
סכום הסדרה האינסופית המתכנס
סכום סדרה הנדסית אינסופית מתכנס בדיוק כאשר |q| < 1, ואז סכום כל האיברים הוא S = a₁/(1 - q). למשל a₁ = 8, q = ¼ → S = 8/(1 - ¼) = 323. כאשר |q| ≥ 1 הסדרה מתבדרת - אין סכום.
גדילה ודעיכה מעריכית
כמות = התחלתית · מקדםזמן. גדילה של p% → מקדם 1 + p/100; דעיכה → 1 - p/100. הצבת זמן בחזקה: 10,000 · 1.03⁵ ≈ 11,593. זמן השוואה בין תהליכים נפתר עם ln.
חקירת פונקציה מעריכית
פונקציה כמו f(x) = x·eˣ מוגדרת לכל x, ואסימפטוטה אופקית y = 0 כאשר x → -∞. מכיוון ש-eˣ > 0 תמיד, איפוס הנגזרת תלוי רק בגורם הפולינומי: קיצון (מינימום) ב-(-1, -1/e).
חקירת פונקציה לוגריתמית
ה-ln מוגדר רק על מספר חיובי, ולכן תחום ההגדרה מ-הארגומנט > 0, ובקצהו אסימפטוטה אנכית. עם (ln x) = 1/x מוצאים קיצון: ל-f(x) = x - ln x יש מינימום ב-(1, 1) ואסימפטוטה אנכית x = 0.
פרק ב - שאלות פתוחות (40 נקודות)
ענו על חמש השאלות. בכל שאלה פתרו בעצמכם על דף - צעד אחר צעד, בדיוק כמו במבחן - ורק אז לחצו על לחצו לפתרון המלא כדי לבדוק. כל המספרים והכללים מבוססים על דפי הלימוד של הרבעון בכיתה י״ב (4 יח״ל).
בסדרה חשבונית נתון a₃ = 10 ו-a₇ = 22. (א) מצאו את ההפרש d ואת האיבר הראשון a₁. (ב) מצאו את האיבר העשרים a₂₀. (ג) מצאו את סכום עשרים האיברים הראשונים S₂₀.
לחצו לפתרון המלא
(ב) האיבר העשרים לפי נוסחת האיבר הכללי: a₂₀ = a₁ + (20 - 1)d = 4 + 19·3 = 4 + 57 = 61.
(ג) הסכום הוא ממוצע הקצוות כפול מספר האיברים: S₂₀ = 20(a₁ + a₂₀)/2 = 20(4 + 61)/2 = 20·652 = 650.
נתונה סדרה הנדסית a₁ = 3, q = 2. (א) מצאו את האיבר החמישי a₅. (ב) מצאו את סכום חמשת האיברים הראשונים S₅. (ג) בסדרה הנדסית אינסופית אחר נתון a₁ = 8 ו-q = ¼: הסבירו מדוע הוא מתכנס, ומצאו את סכומו S.
לחצו לפתרון המלא
(ב) סכום סופי: S₅ = a₁(q⁵ - 1)/(q - 1) = 3(2⁵ - 1)/(2 - 1) = 3(32 - 1)/1 = 3·31 = 93.
(ג) הסכום מתכנס כי |q| = ¼ < 1, ולכן יש לו סכום סופי: S = a₁/(1 - q) = 8/(1 - ¼) = 8/(¾) = 8·(43) = 323 ≈ 10.67.
(א) אוכלוסייה מונה 10,000 וגדלה ב-3% לשנה. כתבו את המודל כמות = התחלתית · מקדםזמן וחשבו את גודל האוכלוסייה אחרי 5 שנים. (ב) שתי משתלות: הראשונה 100 צמחים בגדילה 5% לשבוע, השנייה 80 צמחים בגדילה 10% לשבוע. כתבו את משוואת ההשוואה, כנסו אותה למקדם אחד, ומצאו אחרי כמה שבועות (מעוגל) הן משתוות.
לחצו לפתרון המלא
(ב) משווים את שני המודלים: 100 · 1.05ⁿ = 80 · 1.10ⁿ. מכנסים למקדם אחד: (1.101.05)ⁿ = 10080, כלומר 1.0476ⁿ = 1.25. פותרים עם לוגריתם: n = ln(1.25) / ln(1.0476) ≈ 4.8 ≈ 5 שבועות.
נתונה הפונקציה f(x) = x·eˣ. (א) מהו תחום ההגדרה, ומהי האסימפטוטה האופקית כאשר x → -∞? (ב) גזרו את f בכלל המכפלה ומצאו את שיעור ה-x של נקודת הקיצון. (ג) קבעו במבחן סימן אם זו נקודת מקסימום או מינימום, ומצאו את שיעור ה-y שלה.
לחצו לפתרון המלא
(ב) גוזרים בכלל המכפלה עם u = x, v = eˣ (וזוכרים ש-eˣ נגזרתו עצמה): הנגזרת היא 1·eˣ + x·eˣ = (1 + x)eˣ. מכיוון ש-eˣ > 0 תמיד, האיפוס תלוי רק בגורם השני: 1 + x = 0 נותן x = -1.
(ג) מבחן סימן על (1 + x)eˣ: משמאל ל-x = -1 הנגזרת שלילית (יורדת), מימין חיובית (עולה) - ירידה ואז עלייה פירושן מינימום. הצבה: f(-1) = -1·e⁻¹ = -1/e ≈ -0.37.
נתונה הפונקציה f(x) = x - ln x. (א) מצאו את תחום ההגדרה ואת האסימפטוטה האנכית. (ב) גזרו בעזרת (ln x) = 1/x ומצאו את שיעור ה-x של נקודת הקיצון. (ג) הראו במבחן סימן שזהו מינימום, ומצאו את שיעור ה-y שלו.
לחצו לפתרון המלא
(ב) גוזרים עם (x) = 1 ו-(ln x) = 1/x: הנגזרת היא 1 - 1/x. מאפסים: 1 - 1/x = 0 נותן 1/x = 1, כלומר x = 1.
(ג) מבחן סימן על 1 - 1/x: משמאל (למשל x = 0.5) הנגזרת שלילית, מימין (x = 2) חיובית - יורדת ואז עולה, ולכן מינימום. הצבה: f(1) = 1 - ln 1 = 1 - 0 = 1.
פרק א - שאלות אוטומטיות (60 נקודות)
24 שאלות רב-ברירה בארבעה סטים, מהקל אל הקשה, על כל נושאי הרבעון - הסדרה החשבונית, הסדרה ההנדסית והסכום האינסופי, גדילה ודעיכה מעריכית, וחקירת פונקציה מעריכית ולוגריתמית (2.5 נק׳ לשאלה). בכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית פותר הסדרה. סמנו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
נקודות לבדיקה עצמית
- 1סדרה חשבונית: איבר כללי aₙ = a₁ + (n - 1)d, סכום Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2; משני איברים d = (aₘ - aₖ)/(m - k).
- 2סדרה הנדסית: aₙ = a₁·qⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(qⁿ - 1)/(q - 1); סכום אינסופי מתכנס S = a₁/(1 - q) כאשר |q| < 1.
- 3גדילה ודעיכה מעריכית: כמות = התחלתית · מקדםזמן; גדילה 1 + p/100, דעיכה 1 - p/100; זמן השוואה עם ln.
- 4פונקציה מעריכית: תחום כל x, אסימפטוטה אופקית y = 0; eˣ > 0 תמיד ולכן הקיצון מהגורם הפולינומי - x·eˣ מינימום (-1, -1/e).
- 5פונקציה לוגריתמית: תחום מ-הארגומנט > 0, אסימפטוטה אנכית בקצה; (ln x) = 1/x, ל-x - ln x מינימום (1, 1).
| הנושא | הכלל | דוגמה |
|---|---|---|
| הסדרה החשבונית | aₙ = a₁ + (n-1)d, Sₙ = n(a₁+aₙ)/2 | a₁=4, d=3: a₂₀ = 61, S₂₀ = 650 |
| הסדרה ההנדסית | aₙ = a₁·qⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(qⁿ-1)/(q-1) | a₁=3, q=2: a₅ = 48, S₅ = 93 |
| הסכום האינסופי | S = a₁/(1-q) כאשר |q| < 1 | a₁=8, q=¼: S = 323 |
| גדילה ודעיכה מעריכית | כמות = התחלתית·מקדםזמן, ln להשוואה | 10,000·1.03⁵ ≈ 11,593 |
| פונקציה מעריכית | תחום כל x, אסימפטוטה y=0, קיצון | x·eˣ: מינימום (-1, -1/e) |
| פונקציה לוגריתמית | תחום הארגומנט>0, אסימפטוטה אנכית | x - ln x: מינימום (1, 1) |
