המפה המלאה לשאלון 35472
שאלון 35472 הוא השאלון השני של 4 יח״ל - 35% מציון הבגרות: שעתיים, שני פרקים, חמש שאלות - ואתם עונים רק על שלוש, לפחות אחת מכל פרק. בפרק הראשון מחכות סדרות (aₙ = a₁ + (n - 1)d, Sₙ = a₁(qⁿ - 1)/(q - 1)), גאומטרייה במרחב או וקטורים (נפח פירמידה ⅓·S·h, |v| = x² + y² + z², ניצבות u·v = 0) וגדילה ודעיכה (כמות = התחלתית · מקדםזמן). בפרק השני - חדו״א של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות: חקירת ex (הנגזרת (ex)' = ex והסולם הקבוע: תחום → אסימפטוטות → f' = 0 → מגמה) ופונקציה לוגריתמית ((ln x)' = 1/x, תחום x > 0, משיקים ושטחים). הדף הזה מסכם כל משבצת עד הסוף: נוסחאות המפתח, האסטרטגיה צעד-אחר-צעד, דוגמה פתורה והמלכודת שמפילה הכי הרבה נבחנים - ובסוף 24 שאלות תרגול על כל המפה.
שלוש שאלות. 120 דקות. 100 נקודות. זה כל הסיפור של שאלון 35472 - אבל כדי לבחור נכון את השלוש, צריך להכיר את כל החמש. ההוראה הרשמית קובעת: "יש לענות על שלוש שאלות, לפחות על שאלה אחת מכל פרק", וכל שאלה שווה בדיוק שליש מהציון. הנה המפה:
| שאלה | פרק | הנושא הקבוע |
|---|---|---|
| 1 | ראשון | סדרה חשבונית או הנדסית: n איברים, סכומים, תנאים |
| 2 | ראשון | גאומטרייה במרחב או וקטורים: תיבה / פירמידה (הנושא מתחלף בין מועדים) |
| 3 | ראשון | גדילה ודעיכה: אחוז קבוע לאורך זמן בהקשר מציאותי |
| 4 | שני | חקירת פונקציה מעריכית ex עם פרמטר, נגזרת, קיצון |
| 5 | שני | פונקציה לוגריתמית ln x: גרפים, משיקים, שטחים |
האנטומיה של השאלון
שאלון 35472 בנוי כמו מפה עם שני אזורים: פרק ראשון מגוון (שאלות 1-3: סדרות, מרחב או וקטורים, גדילה ודעיכה) ופרק שני אנליטי (שאלות 4-5: חקירת ex ופונקציה לוגריתמית). חוק הבחירה - שלוש שאלות, לפחות אחת מכל פרק - אומר שמסלול הבחירה שלכם הוא תמיד 2+1: שתי שאלות מפרק אחד ואחת מהשני. עוד פרט ששווה להכיר מראש: משבצת שאלה 2 מתחלפת בין מועדים - פעם גאומטרייה במרחב ופעם וקטורים - ולכן מתכוננים לשתיהן. הנה המבנה המלא, עם נוסחת המפתח של כל משבצת:
חמש המשבצות של השאלון - הסיכום המלא
כרטיס לכל משבצת: נוסחאות המפתח מדפי הלימוד, האסטרטגיה הקבועה, דוגמה בשורה אחת - והמלכודת שכדאי להכיר לפני שנופלים בה. הכרטיס הראשון הוא טקטיקת הבחירה עצמה. תוך כדי קריאה, החליפו שאלה במעבדה שלמעלה וראו את הזירה של כל משבצת.
טקטיקה: איך בוחרים 3 מתוך 5
הכלל: "יש לענות על שלוש שאלות, לפחות על שאלה אחת מכל פרק" - כלומר תמיד 2+1: שתיים מפרק אחד ואחת מהשני. כל שאלה 33⅓ נק׳.
אסטרטגיה: 1. בדקה הראשונה סרקו את כל החמש וסמנו את השתיים החזקות שלכם. 2. פתחו בשאלה הבטוחה ביותר. 3. הקציבו כ-40 דקות לשאלה והשאירו רבע שעה לבדיקה.
מלכודת: לבחור שלוש שאלות מאותו פרק - הפרה של תנאי הבחירה. ודאו 2+1 לפני שמתחילים לכתוב.
שאלה 1 · סדרות
נוסחאות מפתח: חשבונית: aₙ = a₁ + (n - 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2; הנדסית: aₙ = a₁·qⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(qⁿ - 1)/(q - 1); וכשמתקיים |q| < 1 הסכום האינסופי מתכנס: S = a₁/(1 - q).
אסטרטגיה: 1. זהו חשבונית (הפרש קבוע) או הנדסית (מנה קבועה). 2. חלצו a₁ ו-d או q מהנתונים - משני איברים: d = (aₘ - aₖ)/(m - k). 3. הציבו באיבר הכללי ואז בנוסחת הסכום.
דוגמאות: a₁ = 4, d = 3 → a₂₀ = 61, S₂₀ = 650; a₁ = 3, q = 2 → S₅ = 93; a₁ = 16, q = ½ → S = 32.
מלכודת: להשתמש בהנוסחה לסכום סדרה אינסופית מתכנסת בלי לבדוק קודם ש-|q| < 1.
שאלה 2 · גאומטרייה במרחב / וקטורים
נוסחאות מפתח: נפח תיבה a·b·c, אלכסון תיבה a² + b² + c²; נפח פירמידה V = ⅓·S·h; אורך וקטור |v| = x² + y² + z²; מכפלה סקלרית u·v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂; ניצבות ⇔ u·v = 0.
אסטרטגיה: 1. ציירו את הגוף וסמנו ממדים או קודקודים בקואורדינטות. 2. בווקטורים - הביעו וקטורים כהפרשי נקודות ובדקו ניצבות במכפלה הסקלרית. 3. נפח ושטח בנוסחה המתאימה; מרחק ואלכסון בפיתגורס מרחבי.
דוגמאות: פירמידה שבסיסה ריבוע צלע 6 וגובהה 10 → V = ⅓·36·10 = 120; תיבה 3×4×5 → נפח 60 ואלכסון 50 ≈ 7.07; |(2, 3, 6)| = 7; (1, 2, 3)·(2, -1, 0) = 0 → ניצבים.
מלכודת: לשכוח את השליש בנפח הפירמידה - תיבה כן, פירמידה שליש.
שאלה 3 · גדילה ודעיכה
נוסחאות מפתח: כמות = התחלתית · מקדםזמן; בגדילה המקדם הוא 1 + p/100 (גדול מ-1), בדעיכה 1 - p/100 (בין 0 ל-1); בהשוואת שני תהליכים בונים משוואה מעריכית ופותרים עם ln.
אסטרטגיה: 1. זהו את הכמות ההתחלתית ואת האחוז. 2. בנו את המקדם - לא את האחוז! 3. הציבו את הזמן בחזקה. 4. בשאלת השוואה: השוו את שני הביטויים ופתרו.
דוגמאות: אוכלוסייה של 10,000 בקצב 3% לשנה → אחרי 5 שנים 10,000·1.03⁵ ≈ 11,593; שתי משתלות: 100·1.05ⁿ = 80·1.10ⁿ → משתוות אחרי n ≈ 5 שבועות.
מלכודת: להציב את האחוז עצמו במקום את המקדם - קצב 3% הוא מקדם 1.03, לא 3.
שאלה 4 · חקירת פונקציה מעריכית ex
נוסחאות מפתח: (ex)' = ex, כלל השרשרת (eu)' = u'·eu, כלל המכפלה (x·ex)' = (1 + x)ex; ולעולם: ex > 0 - לכן f' = 0 תלוי רק בגורם הפולינומי.
אסטרטגיה (הסולם הקבוע): 1. תחום - בבסיס e זה כל x. 2. אסימפטוטה אופקית לפי ההתנהגות ב-±∞. 3. גוזרים ומאפסים רק את הגורם הפולינומי. 4. מבחן סימן ⇐ קיצון, עלייה/ירידה, סקיצה.
דוגמאות: f(x) = x·ex → f'(x) = (1 + x)ex, מינימום (-1, -1/e ≈ -0.37), אסימפטוטה y = 0 כאשר x → -∞; f(x) = e-x² → מקסימום (0, 1); שיפוע המשיק ל-ex ב-x = 0 הוא e⁰ = 1.
מלכודת: לנסות לאפס את ex. הוא אף פעם לא מתאפס - רק המונה קובע.
שאלה 5 · פונקציה לוגריתמית ln
נוסחאות מפתח: תחום: הארגומנט של ln חייב להיות חיובי; (ln x)' = 1/x, (ln u)' = u'/u; אסימפטוטה אנכית בקצה התחום, שם הארגומנט שואף ל-0; לשטחים בפרק זה: ∫ex dx = ex + c ו-∫eaxdx = eax/a + c.
אסטרטגיה: 1. פותחים תמיד בתחום ההגדרה - עם הפרמטר! 2. אסימפטוטה אנכית היכן שהארגומנט מתאפס. 3. גוזרים ומאפסים. 4. מסווגים את הקיצון לפי סימן f', ובשטח - קדומה והצבת גבולות.
דוגמאות: f(x) = x - ln x → תחום x > 0, f' = 1 - 1/x, מינימום (1, 1), אסימפטוטה אנכית x = 0; f(x) = ln(x - 2) → תחום x > 2; ∫₀¹ ex dx = e - 1 ≈ 1.718.
מלכודת: פתרון של f' = 0 שמחוץ לתחום - נפסל. בלי בדיקת תחום, סעיף שלם נופל.
שלוש דוגמאות בסגנון השאלון
שלושה פתרונות מלאים, צעד אחר צעד, שמדגימים את שלושת סוגי החשיבה של השאלון: חילוץ ובנייה בסדרות (שאלה 1), תרגום מציאות למקדם ולחזקה בגדילה ודעיכה (שאלה 3), וסולם החקירה של פרק שני (שאלה 4).
- מספרים את הקפיצות: מ-a₃ ל-a₇ יש 7 - 3 = 4 קפיצות של d, ולכן d = (22 - 10)/4 = 3.
- חוזרים לאיבר הראשון: a₁ = a₃ - 2d = 10 - 2·3 = 4.
- איבר רחוק: a₂₀ = a₁ + 19d = 4 + 19·3 = 61.
- סכום: S₂₀ = 20(a₁ + a₂₀)/2 = 20(4 + 61)/2 = 20·652 = 650.
- זו שרשרת הפתרון הקבועה של שאלה 1: קפיצות ← d ← a₁ ← איבר כללי ← סכום.
- בונים את המקדם: גדילה של 3% פירושה מקדם 1 + 3100 = 1.03 - זה המספר שנכנס לחזקה, לא ה-3.
- כותבים את הנוסחה: כמות = 10,000·1.03t כאשר t בשנים.
- מציבים את הזמן: אחרי 5 שנים 10,000·1.03⁵ ≈ 11,593 תושבים.
- סעיף השוואה: שתי משתלות - 100 צמחים בקצב 5% לשבוע מול 80 צמחים בקצב 10% לשבוע - משתוות כאשר 100·1.05ⁿ = 80·1.10ⁿ, ומכאן n ≈ 5 שבועות.
- כל שאלה 3 היא אותה תבנית: אחוז ← מקדם ← זמן בחזקה, ובהשוואה - משוואה בין שני תהליכים.
- תחום: פונקציה מעריכית בבסיס e מוגדרת לכל x.
- נגזרת (כלל המכפלה): f'(x) = 1·ex + x·ex = (1 + x)ex.
- אפסים וקיצון: ex > 0 תמיד, לכן f' = 0 ⇔ x = -1; הנגזרת שלילית לפני וחיובית אחרי ⇐ מינימום (-1, -1/e ≈ -0.37).
- אסימפטוטה: כאשר x → -∞ הפונקציה שואפת ל-0, ולכן אסימפטוטה אופקית y = 0 - ומכאן הסקיצה.
- סעיף המשיק: עבור g(x) = ex מתקיים g'(0) = e⁰ = 1 - זה שיפוע המשיק בנקודה שבה x = 0.
- זה הזוג הקבוע של פרק שני: חקירה בסולם תחום → אסימפטוטות → f' = 0 → מגמה, ולידה סעיף משיק.
תרגול על כל המפה
24 שאלות בארבעה סטים, סט לכל אזור בשאלון: סדרות (שאלה 1), המרחב והווקטורים (שאלה 2), גדילה ודעיכה (שאלה 3) והאנליזה של פרק שני (שאלות 4-5). בכל סט מטפסים מיסוד לרמת בגרות. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר 472" עם האסטרטגיה המלאה של כל משבצת.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
המפה על רגל אחת
- 1שאלה 1 - סדרות: aₙ = a₁ + (n - 1)d · Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 · הנדסית Sₙ = a₁(qⁿ - 1)/(q - 1), וסכום אינסופי רק כש-|q| < 1.
- 2שאלה 2 - מרחב: תיבה a·b·c ואלכסון a² + b² + c²; פירמידה ⅓·S·h; ניצבות u·v = 0.
- 3שאלה 3 - גדילה ודעיכה: כמות = התחלתית · מקדםזמן - מקדם 1 ± p/100, לא האחוז עצמו.
- 4שאלה 4 - חקירת ex: (ex)' = ex; ex > 0 תמיד - מאפסים רק את הגורם הפולינומי; הסולם: תחום → אסימפטוטות → f' = 0 → מגמה.
- 5שאלה 5 - לוגריתמית: תחום קודם לכול; (ln x)' = 1/x; אסימפטוטה אנכית בקצה התחום. ובבחירה: 3 מתוך 5, לפחות אחת מכל פרק - כ-40 דקות לשאלה.
