מבחן בגרות 5 יחידות לימוד
מבחן בגרות המכסה את כל חומר כיתה י״ב במסלול 5 יחידות לימוד: מספרים מרוכבים (z = a + bi, i² = -1, הצמוד z̄ = a - bi, הערך המוחלט |z| = a² + b²) וסדרה הנדסית מרוכבת (aₙ = a₁·qⁿ⁻¹, המחזור 1, i, -1, -i); הפונקציות ex ו-ln x וחוקי הלוגריתמים, נגזרות בבסיס e ((ex)' = ex, (ln x)' = 1/x, כלל השרשרת ומשוואת המשיק), אינטגרלים ושטח (∫ex = ex + c, ∫(1/x) = ln|x| + c), חקירת פונקציה ופונקציית הצטברות (F' = g); וגאומטריה אנליטית: וקטורים במרחב (|v| = x² + y² + z², u·v = 0), מקום גאומטרי, מעגלים משיקים וחתכי החרוט (אליפסה c² = a² - b², היפרבולה c² = a² + b²). מבחן בגרות · מתמטיקה · כיתה י״ב · 5 יח״ל · זמן 180 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות - ענו על 4 מתוך 6 (40 נק׳). פרק א נבדק אוטומטית במחשב; בפרק ב פתרו על דף ואז גלו את הפתרון המלא.
חימום לפני מבחן הבגרות: בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה - ממספרים מרוכבים וסדרה הנדסית מרוכבת, דרך חוקי הלוגריתמים, נגזרות ואינטגרלים בבסיס e, ועד וקטורים במרחב וחתכי החרוט. השורה הראשונה - דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". מספרים מרוכבים · סדרה הנדסית מרוכבת · חוקי הלוגריתמים · נגזרות ואינטגרלים בבסיס e · וקטורים במרחב · חתכי החרוט.
כל השנה בשורה אחת. במבחן נחשב על מספרים מרוכבים (z = 3 + 4i → |z| = 5, (2 + i)(3 - i) = 7 + i), נעקוב אחר סדרה הנדסית מרוכבת (a₁ = 1, q = i → 1, i, -1, -i, סכום מחזור 0), נשתמש בחוקי הלוגריתמים (ln(e⁵) = 5, 2x = 8 → x = 3), נגזור ונחקור בבסיס e ((e2x)' = 2e2x, x/ex מקסימום ב-(1, 1/e)), נחשב שטח (∫₀¹ ex = e - 1) ופונקציית הצטברות (F' = g), ונפתור גאומטריה אנליטית: וקטורים במרחב (|(2,3,6)| = 7), מעגלים משיקים (מרחק (3,4) לישר 3x + 4y = 0 הוא 5) וחתכי חרוט (אליפסה x²/25 + y²/16 = 1 → c = 3). כל אלה נבדקים במבחן הבגרות.
הוראות המבחן ומבנהו
לפניכם מבחן בגרות על כל חומר כיתה י״ב במתמטיקה, במסלול 5 יחידות לימוד. מבנה המבחן: מבחן בגרות · מתמטיקה · כיתה י״ב · 5 יח״ל · זמן 180 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות - ענו על 4 מתוך 6 (40 נק׳). בפרק א 24 שאלות רב-ברירה בארבעה סטים, מהקל אל הקשה (2.5 נק׳ לשאלה) - חשבו, סמנו את התשובה, בדקו והמשיכו. בפרק ב שש שאלות פתוחות בסגנון בגרות; ענו על 4 מתוך 6 (10 נק׳ כל אחת, סך 40 נק׳) - פתרו צעד אחר צעד על דף, ואז לחצו כדי לגלות את הפתרון המלא (פתרון מלא זמין לכל שש). בכל שלב מותר להיעזר במחשבון של נדב כץ - כולל לשונית פותר המרוכבים. נפתח בתזכורת חזותית: מפת המספר המרוכב z = 3 + 4i במישור ארגן - נקודת הפתיחה של אשכול המרוכבים:
שש כרטיסיות תזכורת לפני הבגרות
תזכורת קצרה לנושאי השנה כולה - מספרים מרוכבים וסדרה מרוכבת, הפונקציה המעריכית והלוגריתמית וחוקי הלוגריתמים, נגזרות אינטגרלים והצטברות בבסיס e, וקטורים במרחב וגאומטריה אנליטית במישור - לפי אחד עשר דפי הלימוד של כיתה י״ב (5 יח״ל), לפני שניגשים לפרקי המבחן.
מספרים מרוכבים
מספר מרוכב הוא z = a + bi, עם i² = -1. הצמוד z̄ = a - bi (שיקוף מעל הציר הממשי), והערך המוחלט |z| = a² + b² (המרחק מהראשית). מתקיים z·z̄ = |z|²: |3 + 4i| = 5 ו-(3 + 4i)(3 - 4i) = 25.
סדרה הנדסית מרוכבת
איבר כללי aₙ = a₁·qⁿ⁻¹ גם כשהמנה מרוכבת. עם a₁ = 1, q = i מתקבל המחזור 1, i, -1, -i באורך 4 (כי i⁴ = 1): מקומות אי-זוגיים ממשיים ±1, זוגיים מדומים ±i. סכום מחזור שלם 0, ו-|q| = |i| = 1.
מעריכית, לוגריתמית וחוקי הלוגריתמים
ex ו-ln x הופכיות: ln(ex) = x ו-eln x = x. חוקי הלוגריתמים: ln(xy) = ln x + ln y, ln(x/y) = ln x - ln y, ln(xⁿ) = n·ln x (למשל ln 8 = 3·ln 2). מבסיסים שווים: 2x = 8 → x = 3.
נגזרות, אינטגרלים והצטברות
(ex)' = ex, (ln x)' = 1/x, כלל השרשרת (e2x)' = 2e2x, ומשיק ל-ex ב-x = 0 בשיפוע 1. אינטגרל: ∫ex = ex + c, ∫(1/x) = ln|x| + c, ולכן ∫₀¹ ex = e - 1. בפונקציית הצטברות F(x) = ∫ₐˣ g מתקיים F' = g.
וקטורים וגאומטריה במרחב
וקטור במרחב v = (x, y, z) באורך |v| = x² + y² + z² (למשל |(2,3,6)| = 7). המכפלה הסקלרית u·v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃, ושני וקטורים ניצבים כאשר u·v = 0. נפח פירמידה V = ⅓·שטח הבסיס·גובה.
גאומטריה אנליטית במישור
מקום גאומטרי: מרחק שווה משתי נקודות ← ישר (x = 2), מרחק קבוע ← מעגל (x² + y² = 9). מעגל משיק לציר ה-x כאשר |b| = r, ולישר כאשר d(מרכז, ישר) = r. חתכי חרוט: אליפסה x²/a² + y²/b² = 1 עם c² = a² - b², היפרבולה x²/a² - y²/b² = 1 עם c² = a² + b².
פרק ב - שאלות פתוחות · ענו על 4 מתוך 6 (40 נקודות)
לפניכם שש שאלות פתוחות בסגנון בגרות. ענו על 4 מתוך 6 השאלות (10 נקודות לשאלה, סך 40 נקודות). בכל שאלה פתרו בעצמכם על דף - צעד אחר צעד, בדיוק כמו במבחן - ורק אז לחצו על לחצו לפתרון המלא כדי לבדוק (פתרון מלא זמין לכל שש השאלות). כל המספרים והכללים מבוססים על אחד עשר דפי הלימוד של כיתה י״ב (5 יח״ל).
נתונים המספרים המרוכבים z = 3 + 4i ו-w = 2 + i. (א) מצאו את הצמוד z̄ ואת הערך המוחלט |z|. (ב) חשבו את z·z̄. (ג) חשבו את המכפלה z·w ורשמו אותה בצורה a + bi.
לחצו לפתרון המלא
(ב) מכפלת מספר בצמודו שווה לריבוע המודול: z·z̄ = |z|² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 (וגם ישירות (3 + 4i)(3 - 4i) = 9 + 16 = 25).
(ג) פותחים סוגריים ומחליפים i² = -1: z·w = (3 + 4i)(2 + i) = 6 + 3i + 8i + 4i² = 6 + 11i - 4 = 2 + 11i.
נתונה סדרה הנדסית a₁ = 1, q = i. (א) רשמו את ארבעת האיברים הראשונים, וזהו אילו ממשיים ואילו מדומים טהורים. (ב) הסבירו מדוע הסדרה מחזורית, מהו אורך המחזור, ומהו סכום ארבעת האיברים הראשונים. (ג) חשבו את |q| ואת האיבר a₇.
לחצו לפתרון המלא
(ב) מכיוון ש-i⁴ = 1, אחרי ארבעה כפולים ב-i חוזרים להתחלה (a₅ = i⁴ = 1 = a₁), ולכן המחזור באורך 4. סכום ארבעת האיברים: 1 + i - 1 - i = (1 - 1) + (i - i) = 0.
(ג) המודול של המנה: |q| = |i| = 0² + 1² = 1, ולכן כל האיברים על מעגל היחידה. האיבר השביעי: a₇ = a₁·q⁶ = i⁶ = i⁴·i² = 1·(-1) = -1 (איבר ממשי).
(א) פשטו: ln(e⁵) ו-eln 5. (ב) בעזרת חוק החזקה הביעו את ln 8 באמצעות ln 2, ואם ln 2 ≈ 0.693 חשבו את ערכו (עד 3 ספרות). (ג) פתרו את המשוואה e2x = e⁶.
לחצו לפתרון המלא
(ב) לפי חוק החזקה ln(xⁿ) = n·ln x: ln 8 = ln(2³) = 3·ln 2. מספרית: 3·0.693 = 2.079.
(ג) בסיסים שווים ⇐ המעריכים שווים: 2x = 6, ולכן x = 3 (בדיקה: e2·3 = e⁶).
נתונה הפונקציה f(x) = ex. (א) מהי הנגזרת של f, ומהו שיפוע המשיק לגרף בנקודה x = 0? (ב) כתבו את משוואת המשיק בנקודה x = 0 בצורה y = m·x + n. (ג) בעזרת כלל השרשרת מצאו את הנגזרת של g(x) = e2x, ובעזרת כלל המכפלה את הנגזרת של h(x) = x·ex.
לחצו לפתרון המלא
(ב) משוואת המשיק: y = f(x₀) + [שיפוע]·(x - x₀). כאן x₀ = 0, f(0) = e⁰ = 1 והשיפוע 1: y = 1 + 1·(x - 0) = x + 1. כלומר m = 1, n = 1.
(ג) עם u = 2x הנגזרת הפנימית היא 2, ולכן הנגזרת של e2x היא 2·e2x. לפי כלל המכפלה, הנגזרת של x·ex היא 1·ex + x·ex = (1 + x)ex.
(א) חקרו את f(x) = x/ex: מצאו את התחום, את האסימפטוטה האופקית, את הנגזרת ואת נקודת הקיצון (כולל סוגה). (ב) חשבו את השטחים ∫₀¹ ex dx ו-∫₁e (1/x)dx. (ג) נתונה פונקציית ההצטברות F(x) = ∫₀ˣ (t² - 4)dt. מצאו את נקודות הקיצון של F וקבעו את סוגן.
לחצו לפתרון המלא
(ב) הקדומה של ex היא ex: ∫₀¹ ex dx = [ex]₀¹ = e¹ - e⁰ = e - 1 ≈ 1.718. הקדומה של 1/x היא ln|x|: ∫₁e (1/x)dx = [ln x]₁e = ln e - ln 1 = 1 - 0 = 1.
(ג) לפי המשפט היסודי F'(x) = g(x) = x² - 4, המתאפסת ב-x = ±2. ב-x = -2 ה-g עוברת מ+ ל- ⇐ F מקבלת מקסימום; ב-x = 2 היא עוברת מ- ל+ ⇐ F מקבלת מינימום.
(א) באליפסה x²/25 + y²/16 = 1 מצאו את a, b, c, את הקודקודים והמוקדים, ואת המרחק בין שני המוקדים. (ב) מעגל שמרכזו (3, 4): מצאו את רדיוסו ואת משוואתו אם הוא משיק לציר ה-x, ואז אם הוא משיק לישר 3x + 4y = 0. (ג) חשבו את אורך הווקטור (2, 3, 6), ובדקו אם הווקטורים (1, 2, 2) ו-(2, 1, -2) ניצבים.
לחצו לפתרון המלא
(ב) משיק לציר ה-x פירושו r = |b| = 4, ולכן (x - 3)² + (y - 4)² = 16. משיק לישר: r = d = |3·3 + 4·4|/3² + 4² = |9 + 16|/25 = 255 = 5, ולכן (x - 3)² + (y - 4)² = 25.
(ג) האורך: |(2,3,6)| = 4 + 9 + 36 = 49 = 7. המכפלה הסקלרית: (1,2,2)·(2,1,-2) = 2 + 2 - 4 = 0, ולכן הווקטורים ניצבים.
פרק א - שאלות אוטומטיות (60 נקודות)
24 שאלות רב-ברירה בארבעה סטים, מהקל אל הקשה, על כל נושאי השנה - מספרים מרוכבים וסדרה מרוכבת, חוקי הלוגריתמים, נגזרות אינטגרלים והצטברות בבסיס e, וקטורים במרחב וגאומטריה אנליטית במישור (2.5 נק׳ לשאלה). בכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית פותר המרוכבים. סמנו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
נקודות לבדיקה עצמית
- 1מרוכבים ומחזוריות i: z = a + bi, |z| = a² + b², z̄ = a - bi; aₙ = a₁·qⁿ⁻¹ ומחזור 1, i, -1, -i (סכום 0).
- 2מעריכית, לוגריתמית וחוקי לוגריתמים: הופכיות ln(ex) = x, eln x = x; ln(xy) = ln x + ln y, ln(xⁿ) = n·ln x; 2x = 8 → x = 3.
- 3נגזרות, אינטגרלים והצטברות: (ex)' = ex, (ln x)' = 1/x, (e2x)' = 2e2x; ∫₀¹ ex = e - 1, ∫(1/x) = ln|x|; F' = g.
- 4וקטורים במרחב: |v| = x² + y² + z² (|(2,3,6)| = 7), ניצבות u·v = 0, נפח פירמידה ⅓·S·h = 60.
- 5גאומטריה אנליטית: מרחק שווה ← ישר x = 2; משיק לציר |b| = r; אליפסה c² = a² - b², היפרבולה c² = a² + b².
| הנושא | הכלל | דוגמה |
|---|---|---|
| מספרים מרוכבים ומחזוריות i | z = a + bi, |z| = a²+b²; q = i מחזור 4 | |3 + 4i| = 5; 1, i, -1, -i, סכום 0 |
| חוקי הלוגריתמים ומשוואות | ln(xy)=lnx+lny, ln(xⁿ)=n·lnx, הופכיות | ln(e⁵) = 5; 2x = 8 → x = 3 |
| נגזרות, אינטגרלים והצטברות | (ex)'=ex, ∫(1/x)=ln|x|, F'=g | (e2x)' = 2e2x; ∫₀¹ ex = e - 1 |
| חקירה והצטברות | f'=0 ומחליף סימן ← קיצון | x/ex מקסימום (1, 1/e); F max ב-x = -2 |
| וקטורים במרחב | |v|=x²+y²+z², u·v=0, V=⅓·S·h | |(2,3,6)| = 7; פירמידה V = 60 |
| גאומטריה אנליטית במישור | |b|=r משיק לציר; אליפסה c²=a²-b² | מרחק (3,4)→3x+4y=0 = 5; אליפסה c = 3 |
