מבחן רבעוני רבעון א׳
המבחן מכסה את חומר הרבעון הראשון במתמטיקה לכיתה י״ב במסלול 5 יחידות לימוד: מספרים מרוכבים (z = a + bi, i² = -1, הצמוד z̄ = a - bi, הערך המוחלט |z| = a² + b², חיבור וכפל, ו-z·z̄ = |z|²), סדרה הנדסית של מספרים מרוכבים (aₙ = a₁·qⁿ⁻¹ עם מנה מרוכבת, חזקות i והמחזור 1, i, -1, -i), הפונקציות ex ו-ln x וחוקי הלוגריתמים (הופכיות, ln(xy) = ln x + ln y, ln(xⁿ) = n·ln x, פתרון משוואות), נגזרות בבסיס e (הנגזרת של ex היא ex, של ln x היא 1/x, כלל השרשרת ומשוואת המשיק) וחקירת פונקציה מעריכית ולוגריתמית (תחום, אסימפטוטות ונקודות קיצון). מבחן רבעוני · רבעון א׳ · מתמטיקה · כיתה י״ב · 5 יח״ל · זמן 90 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). פרק א נבדק אוטומטית במחשב; בפרק ב פתרו על דף ואז גלו את הפתרון המלא.
חימום לפני המבחן הרבעוני: בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה - ממספרים מרוכבים וסדרה הנדסית מרוכבת, דרך חוקי הלוגריתמים ופתרון משוואות, ועד חקירת פונקציה ונגזרת בבסיס e. השורה הראשונה - דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". מספרים מרוכבים · סדרה הנדסית מרוכבת · הפונקציה המעריכית והלוגריתמית · חקירת פונקציה · נגזרות בבסיס e.
כל הרבעון בשורה אחת. במבחן נחשב על מספרים מרוכבים (z = 3 + 4i → |z| = 5, הצמוד z̄ = 3 - 4i, ו-(2 + i)(3 - i) = 7 + i), נעקוב אחר סדרה הנדסית מרוכבת (a₁ = 1, q = i → 1, i, -1, -i, סכום מחזור 0), נשתמש בחוקי הלוגריתמים ובהופכיות (ln(e³) = 3, eln 5 = 5, 2x = 8 → x = 3), נגזור בבסיס e ((x·ex) נגזרתו (1 + x)ex) ונחקור פונקציות (x/ex מקסימום ב-(1, 1/e), x - ln x מינימום ב-(1, 1)). כל אלה נבדקים במבחן הרבעוני.
הוראות המבחן ומבנהו
לפניכם מבחן רבעוני על חומר הרבעון הראשון במתמטיקה לכיתה י״ב, במסלול 5 יחידות לימוד. מבנה המבחן: מבחן רבעוני · רבעון א׳ · מתמטיקה · כיתה י״ב · 5 יח״ל · זמן 90 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). בפרק א 24 שאלות רב-ברירה בארבעה סטים, מהקל אל הקשה (2.5 נק׳ לשאלה) - חשבו, סמנו את התשובה, בדקו והמשיכו. בפרק ב חמש שאלות פתוחות (8 נק׳ כל אחת, סך 40 נק׳) - פתרו צעד אחר צעד על דף, ואז לחצו כדי לגלות את הפתרון המלא. בכל שלב מותר להיעזר במחשבון של נדב כץ - כולל לשונית פותר המרוכבים. נפתח בתזכורת חזותית: מפת המספר המרוכב z = 3 + 4i במישור ארגן - נקודת הפתיחה של אשכול הרבעון:
שש כרטיסיות תזכורת לפני המבחן
תזכורת קצרה לנושאי הרבעון - מספרים מרוכבים, סדרה הנדסית מרוכבת, הפונקציות המעריכית והלוגריתמית וחוקי הלוגריתמים, נגזרות בבסיס e, וחקירת פונקציה מעריכית ולוגריתמית - לפי דפי הלימוד של כיתה י״ב (5 יח״ל), לפני שניגשים לפרקי המבחן.
המספר המרוכב
מספר מרוכב הוא z = a + bi, עם i² = -1. הצמוד z̄ = a - bi (שיקוף מעל הציר הממשי), והערך המוחלט |z| = a² + b² (המרחק מהראשית). מתקיים z·z̄ = |z|², למשל |3 + 4i| = 5 ו-(3 + 4i)(3 - 4i) = 25.
סדרה הנדסית מרוכבת
איבר כללי aₙ = a₁·qⁿ⁻¹ גם כשהמנה מרוכבת. עם a₁ = 1, q = i מתקבל המחזור 1, i, -1, -i באורך 4 (כי i⁴ = 1): מקומות אי-זוגיים ממשיים ±1, זוגיים מדומים ±i. סכום מחזור שלם 1 + i - 1 - i = 0, ו-|q| = |i| = 1.
הפונקציות המעריכית והלוגריתמית
ex ו-ln x הופכיות: ln(ex) = x ו-eln x = x. חוקי הלוגריתמים: ln(xy) = ln x + ln y, ln(x/y) = ln x - ln y, ln(xⁿ) = n·ln x (למשל ln 8 = 3·ln 2). מבסיסים שווים נובע שוויון מעריכים: 2x = 8 → x = 3.
נגזרות בבסיס e
הנגזרת של ex היא ex, והנגזרת של ln x היא 1/x. כלל השרשרת: הנגזרת של e2x היא 2e2x. כלל המכפלה: הנגזרת של x·ex היא (1 + x)ex. משוואת המשיק y = f(x₀) + [שיפוע]·(x - x₀); ל-ex ב-x = 0 השיפוע 1.
חקירת פונקציה מעריכית
ב-f(x) = x/ex התחום כל x, ואסימפטוטה אופקית y = 0 כאשר x → ∞. הנגזרת (1 - x)/ex, ומכיוון ש-ex > 0 תמיד היא מתאפסת רק ב-x = 1 - מקסימום ב-(1, 1/e ≈ 0.37).
חקירת פונקציה לוגריתמית
ב-f(x) = x - ln x התחום מהתנאי x > 0, ואסימפטוטה אנכית x = 0. הנגזרת 1 - 1/x מתאפסת ב-x = 1, ומעבר מירידה לעלייה נותן מינימום ב-(1, 1) (כי f(1) = 1 - ln 1 = 1).
פרק ב - שאלות פתוחות (40 נקודות)
ענו על חמש השאלות. בכל שאלה פתרו בעצמכם על דף - צעד אחר צעד, בדיוק כמו במבחן - ורק אז לחצו על לחצו לפתרון המלא כדי לבדוק. כל המספרים והכללים מבוססים על דפי הלימוד של הרבעון בכיתה י״ב (5 יח״ל).
נתונים המספרים המרוכבים z = 3 + 4i ו-w = 2 + i. (א) מצאו את הצמוד z̄ ואת הערך המוחלט |z|. (ב) חשבו את z·z̄. (ג) חשבו את המכפלה z·w ורשמו אותה בצורה a + bi.
לחצו לפתרון המלא
(ב) מכפלת מספר בצמודו שווה לריבוע המודול: z·z̄ = |z|² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 (וגם ישירות (3 + 4i)(3 - 4i) = 9 + 16 = 25).
(ג) פותחים סוגריים ומחליפים i² = -1: z·w = (3 + 4i)(2 + i) = 6 + 3i + 8i + 4i² = 6 + 11i - 4 = 2 + 11i.
נתונה סדרה הנדסית a₁ = 1, q = i. (א) רשמו את ארבעת האיברים הראשונים, וזהו אילו ממשיים ואילו מדומים טהורים. (ב) הסבירו מדוע הסדרה מחזורית ומהו אורך המחזור. (ג) חשבו את סכום ארבעת האיברים הראשונים, ומצאו את |q|.
לחצו לפתרון המלא
(ב) מכיוון ש-i⁴ = 1, אחרי ארבעה כפולים ב-i חוזרים בדיוק להתחלה (a₅ = i⁴ = 1 = a₁), ולכן המחזור באורך 4.
(ג) הסכום: 1 + i - 1 - i = (1 - 1) + (i - i) = 0. המודול של המנה: |q| = |i| = 0² + 1² = 1, ולכן כל האיברים על מעגל היחידה.
(א) פשטו: ln(e⁵) ו-eln 5. (ב) בעזרת חוק החזקה הביעו את ln 8 באמצעות ln 2, ואם ln 2 ≈ 0.693 חשבו את ערכו (עד 3 ספרות). (ג) פתרו את המשוואה e2x = e⁶.
לחצו לפתרון המלא
(ב) לפי חוק החזקה ln(xⁿ) = n·ln x: ln 8 = ln(2³) = 3·ln 2. מספרית: 3·0.693 = 2.079.
(ג) בסיסים שווים ⇐ המעריכים שווים: 2x = 6, ולכן x = 3 (בדיקה: e2·3 = e⁶).
נתונה הפונקציה f(x) = x - ln x. (א) מצאו את תחום ההגדרה ואת האסימפטוטה האנכית. (ב) מצאו את הנגזרת (בעזרת הנגזרת של ln x שהיא 1/x) ואת שיעור ה-x של נקודת הקיצון. (ג) קבעו במבחן סימן אם זהו מינימום או מקסימום, ומצאו את שיעור ה-y.
לחצו לפתרון המלא
(ב) הנגזרת של x היא 1 והנגזרת של ln x היא 1/x, ולכן הנגזרת של f היא 1 - 1/x. מאפסים: 1 - 1/x = 0 נותן 1/x = 1, כלומר x = 1.
(ג) מבחן סימן: משמאל ל-x = 1 (למשל x = 0.5) הנגזרת 1 - 2 = -1 < 0 (יורדת), מימין (x = 2) היא 1 - 0.5 = 0.5 > 0 (עולה) - ירידה ואז עלייה פירושן מינימום. הצבה: f(1) = 1 - ln 1 = 1 - 0 = 1.
נתונה הפונקציה f(x) = ex. (א) מהי הנגזרת של f, ומהו שיפוע המשיק לגרף בנקודה x = 0? (ב) כתבו את משוואת המשיק בנקודה x = 0 בצורה y = m·x + n. (ג) בעזרת כלל השרשרת מצאו את הנגזרת של g(x) = e2x, ובעזרת כלל המכפלה את הנגזרת של h(x) = x·ex.
לחצו לפתרון המלא
(ב) משוואת המשיק: y = f(x₀) + [שיפוע]·(x - x₀). כאן x₀ = 0, f(0) = e⁰ = 1 והשיפוע 1: y = 1 + 1·(x - 0) = x + 1. כלומר m = 1, n = 1.
(ג) עם u = 2x הנגזרת הפנימית היא 2, ולכן הנגזרת של e2x היא 2·e2x. לפי כלל המכפלה, הנגזרת של x·ex היא 1·ex + x·ex = (1 + x)ex.
פרק א - שאלות אוטומטיות (60 נקודות)
24 שאלות רב-ברירה בארבעה סטים, מהקל אל הקשה, על כל נושאי הרבעון - מספרים מרוכבים, סדרה הנדסית מרוכבת, הפונקציות המעריכית והלוגריתמית וחוקי הלוגריתמים, נגזרות בבסיס e, וחקירת פונקציה מעריכית ולוגריתמית (2.5 נק׳ לשאלה). בכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית פותר המרוכבים. סמנו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
נקודות לבדיקה עצמית
- 1מספרים מרוכבים: z = a + bi, i² = -1; צמוד z̄ = a - bi, מודול |z| = a² + b², ו-z·z̄ = |z|².
- 2סדרה הנדסית מרוכבת: aₙ = a₁·qⁿ⁻¹; חזקות i נותנות מחזור 1, i, -1, -i באורך 4, סכום מחזור 0, |i| = 1.
- 3ex ו-ln x: הופכיות ln(ex) = x, eln x = x; חוקי לוגריתמים ln(xy) = ln x + ln y, ln(xⁿ) = n·ln x; 2x = 8 → x = 3.
- 4נגזרות בבסיס e: הנגזרת של ex היא ex, של ln x היא 1/x; משיק ל-ex ב-x = 0 בשיפוע 1 (y = x + 1).
- 5חקירת פונקציה: x/ex מקסימום (1, 1/e) ואסימפטוטה y = 0; x - ln x תחום x > 0, מינימום (1, 1), אסימפטוטה אנכית x = 0.
| הנושא | הכלל | דוגמה |
|---|---|---|
| מספרים מרוכבים | z = a + bi, |z| = a²+b², z̄ = a - bi | |3 + 4i| = 5, (3+4i)(3-4i) = 25 |
| סדרה הנדסית מרוכבת | aₙ = a₁·qⁿ⁻¹, חזקות i, מחזור 4 | a₁=1, q=i: 1, i, -1, -i, סכום 0 |
| חוקי הלוגריתמים | ln(xy)=lnx+lny, ln(xⁿ)=n·lnx, הופכיות | ln(e³)=3, eln5=5, ln8=3ln2 |
| נגזרות בבסיס e | (ex) נגזרתו ex, (ln x) נגזרתו 1/x | (x·ex) נגזרתו (1+x)ex |
| פונקציה מעריכית | x/ex: תחום כל x, אסימפטוטה y=0, קיצון | x/ex: מקסימום (1, 1/e) |
| פונקציה לוגריתמית | x - ln x: תחום x>0, אסימפטוטה אנכית | x - ln x: מינימום (1, 1) |
