המפה המלאה לשאלון 572
שאלון 35572 הוא השאלון השני של 5 יח״ל: שעתיים וחצי, שני פרקים, חמש שאלות - ואתם עונים רק על שלוש, לפחות אחת מכל פרק. בפרק הראשון מחכות גאומטרייה אנליטית עם פרמטר ((x - a)² + (y - b)² = r², משיק לציר x ⇔ |b| = r), וקטורים וטריגונומטרייה במרחב (|v| = x² + y² + z², ניצבות u·v = 0, נפח פירמידה ⅓·S·h) ומספרים מרוכבים (i² = -1, |z| = a² + b², z·z̄ = |z|²). בפרק השני - חקירת פונקציות ex (הנגזרת (ex)' = ex והשיטה הקבועה: תחום → אסימפטוטות → f' = 0 → מגמה) ופונקציה לוגריתמית עם פרמטר ((ln x)' = 1/x, תחום x > 0, שטחים עם ∫(1/x) = ln|x| + c). הדף הזה מסכם כל משבצת עד הסוף: נוסחאות המפתח, האסטרטגיה צעד-אחר-צעד, דוגמה פתורה והמלכודת שמפילה הכי הרבה נבחנים - ובסוף 24 שאלות תרגול על כל המפה.
שלוש שאלות. 150 דקות. 100 נקודות. זה כל הסיפור של שאלון 572 - אבל כדי לבחור נכון את השלוש, צריך להכיר את כל החמש. ההוראה הרשמית קובעת: "יש לענות על שלוש שאלות, לפחות על שאלה אחת מכל פרק", וכל שאלה שווה בדיוק שליש מהציון. הנה המפה:
| שאלה | פרק | הנושא הקבוע |
|---|---|---|
| 1 | ראשון | גאומטרייה אנליטית עם פרמטר: מעגל, אליפסה/מעוין על הצירים, משיקים |
| 2 | ראשון | וקטורים / טריגונומטרייה במרחב: פירמידה (SABC / SABCD), זווית בין ישר למישור |
| 3 | ראשון | מספרים מרוכבים: משוואות, הצגה קוטבית, שורשי יחידה |
| 4 | שני | חקירת פונקציות ex (לרוב שתי פונקציות קשורות), משיקים, קיצון |
| 5 | שני | פונקציה לוגריתמית/מעריכית עם פרמטר: חקירה, שטחים; לעיתים גדילה ודעיכה |
האנטומיה של השאלון
שאלון 572 מתחלק לשני אזורים: פרק ראשון גאומטרי (שאלות 1-3: אנליטית עם פרמטר, מרחב, מרוכבים) ופרק שני אנליטי (שאלות 4-5: חקירת ex ולוגריתמים). חוק הבחירה - שלוש שאלות, לפחות אחת מכל פרק - קובע שמסלול הבחירה שלכם הוא תמיד 2+1: שתיים מפרק אחד ואחת מהשני. הנה המבנה המלא, עם נוסחת המפתח של כל משבצת:
חמש המשבצות של השאלון - הסיכום המלא
כרטיס לכל משבצת: נוסחאות המפתח, האסטרטגיה הקבועה, דוגמה בשורה אחת - והמלכודת שכדאי להכיר לפני שנופלים בה. הכרטיס הראשון הוא טקטיקת הבחירה עצמה. תוך כדי קריאה, החליפו שאלה במעבדה שלמעלה וראו את הזירה של כל משבצת.
טקטיקה: איך בוחרים 3 מתוך 5
הכלל: "יש לענות על שלוש שאלות, לפחות על שאלה אחת מכל פרק" - כלומר תמיד 2+1: שתיים מפרק אחד ואחת מהשני. כל שאלה 33⅓ נק׳.
אסטרטגיה: 1. בדקה הראשונה סרקו את כל החמש וסמנו את השתיים החזקות שלכם. 2. פתחו בשאלה הבטוחה ביותר. 3. הקציבו כ-45 עד 50 דקות לשאלה והשאירו רבע שעה לבדיקה.
מלכודת: לבחור שלוש שאלות מאותו פרק - פסילה של תנאי הבחירה. ודאו 2+1 לפני שמתחילים לכתוב.
שאלה 1 · אנליטית עם פרמטר
נוסחאות מפתח: מעגל (x - a)² + (y - b)² = r²; משיק לציר x ⇔ |b| = r, משיק לציר y ⇔ |a| = r; משיק לישר ⇔ המרחק מהמרכז לישר שווה r; אליפסה x²/a² + y²/b² = 1 עם c² = a² - b².
אסטרטגיה: 1. כתבו מרכז ורדיוס (או a, b, c) עם הפרמטר. 2. תרגמו את התנאי הגאומטרי (השקה, שייכות נקודה, מרחק) למשוואה בפרמטר. 3. פתרו, ובדקו כל פתרון בחזרה בציור.
דוגמה: מרכז (3, 4) משיק לציר x → r = 4, כלומר (x - 3)² + (y - 4)² = 16.
מלכודת: |b| = r נותן שני סימנים - b = r או b = -r. אל תזרקו פתרון בלי נימוק.
שאלה 2 · וקטורים והמרחב
נוסחאות מפתח: אורך |v| = x² + y² + z²; מכפלה סקלרית u·v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃; ניצבות ⇔ u·v = 0; נפח פירמידה V = ⅓·S·h; ישרים מקבילים ⇔ וקטורי כיוון פרופורציוניים.
אסטרטגיה לפירמידה SABC/SABCD: 1. הציבו קודקודים בקואורדינטות נוחות. 2. הביעו וקטורים כהפרשי נקודות. 3. ניצבות וזוויות - דרך המכפלה הסקלרית; זווית בין ישר למישור נמדדת בין הישר להיטלו על המישור. 4. נפח - שליש בסיס כפול גובה.
דוגמאות: |(2, 3, 6)| = 7; (1, 2, 2)·(2, 1, -2) = 0 → ניצבים; בסיס ריבוע צלע 6 וגובה 5 → V = ⅓·36·5 = 60.
מלכודת: המכפלה הסקלרית היא מספר, לא וקטור - ו-u·v = 0 הוא תנאי הניצבות, לא המקבילות.
שאלה 3 · מספרים מרוכבים
נוסחאות מפתח: z = a + bi, i² = -1; הצמוד z̄ = a - bi; המודול |z| = a² + b²; הקשר z·z̄ = |z|²; חזקות i מחזוריות באורך 4: 1, i, -1, -i.
אסטרטגיה: 1. במשוואות - הציבו z = a + bi והשוו חלק ממשי מול ממשי ומדומה מול מדומה. 2. בכפל - פתחו סוגריים והחליפו i² ב--1. 3. בהצגה הקוטבית z = r(cosθ + i·sinθ) מוצאים r = |z| וזווית; כפל ב-i הוא סיבוב ב-90°, ושורשי יחידה של zⁿ = 1 יושבים במרווחים שווים על מעגל היחידה.
דוגמאות: (2 + i)(3 - i) = 7 + i; |3 + 4i| = 5; (3 + 4i)(3 - 4i) = 25.
מלכודת: לשכוח ש--i² = +1 באמצע פתיחת סוגריים - זו טעות הסימן הנפוצה בשאלון.
שאלה 4 · חקירת ex
נוסחאות מפתח: (ex)' = ex, כלל השרשרת (eu)' = u'·eu; משוואת משיק דרך f'(x₀); ∫ex dx = ex + c. ולעולם: ex > 0.
אסטרטגיה (הסולם הקבוע): 1. תחום. 2. אסימפטוטות (מה קורה כש-x → ∞). 3. גוזרים ומאפסים f' = 0 - כיוון ש-ex > 0, מאפסים רק את המונה. 4. סימן f' ⇐ עלייה/ירידה וסוג הקיצון. בשאלון לרוב שתי פונקציות קשורות - חקרו את הראשונה ביסודיות והשנייה תיפתח דרכה.
דוגמאות: f(x) = x/ex → f'(x) = (1 - x)/ex, מקסימום (1, 1/e ≈ 0.37), אסימפטוטה y = 0; שיפוע המשיק ל-ex ב-x = 0 הוא 1.
מלכודת: לנסות לאפס את ex. הוא אף פעם לא מתאפס - רק המונה קובע.
שאלה 5 · לוגריתמית עם פרמטר
נוסחאות מפתח: תחום: הארגומנט של ln חייב להיות חיובי; (ln x)' = 1/x, (ln u)' = u'/u; חוקי לוגריתמים ln(xy) = ln x + ln y, ln(xⁿ) = n·ln x; שטחים עם ∫(1/x)dx = ln|x| + c. סעיף גדילה ודעיכה, כשמופיע, נשען על N(t) = N₀·ekt.
אסטרטגיה: 1. פותחים תמיד בתחום ההגדרה - עם הפרמטר! 2. גוזרים ומאפסים. 3. מסווגים את הקיצון לפי סימן f'. 4. בשטח - קדומה, הצבת גבולות, וזכרו ln 1 = 0, ln e = 1.
דוגמאות: f(x) = x - ln x → תחום x > 0, מינימום (1, 1), אסימפטוטה אנכית x = 0; ∫₁e (1/x)dx = 1.
מלכודת: פתרון של f' = 0 שמחוץ לתחום - נפסל. בלי בדיקת תחום, סעיף שלם נופל.
שלוש דוגמאות בסגנון השאלון
שלושה פתרונות מלאים, צעד אחר צעד, שמדגימים את שלושת סוגי החשיבה של השאלון: תרגום תנאי גאומטרי למשוואה בפרמטר (שאלה 1), אלגברה של מרוכבים (שאלה 3), וסולם החקירה (שאלה 4).
- תנאי ההשקה: מעגל משיק לציר x בדיוק כאשר המרחק של המרכז מהציר שווה לרדיוס: |b| = r.
- הצבה: כאן r = 16 = 4, ולכן |b| = 4, כלומר b = 4 או b = -4 - מעגל אחד מעל הציר ואחד מתחתיו.
- אחד המקרים: עבור b = 4 מתקבל (x - 3)² + (y - 4)² = 16, ונקודת ההשקה היא (3, 0).
- סעיף המשך - השקה לישר: המרחק מהמרכז (3, 4) לישר 3x + 4y = 0 הוא |3·3 + 4·4|/3² + 4² = 255 = 5, ולכן הישר משיק למעגל שמרכזו (3, 4) ורדיוסו 5.
- זו כל שיטת הפרמטר: תנאי גאומטרי ← משוואה ← פתרון וביקורת. |b| = r נתן שני פתרונות, והשקה לישר נבדקת במרחק מרכז-ישר.
- פתיחת סוגריים: (2 + i)(3 - i) = 6 - 2i + 3i - i².
- הכלל היחיד: מציבים i² = -1, ולכן -i² = +1: מקבלים 6 + i + 1 = 7 + i.
- מספר כפול צמודו: עבור z = 3 + 4i: z·z̄ = (3 + 4i)(3 - 4i) = 9 + 16 = 25, וזה בדיוק |z|² = 5².
- חזקות i: i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1 - מחזור באורך 4, וסכום מחזור שלם 1 + i - 1 - i = 0.
- שלושת הכלים של שאלה 3: i² = -1, הצמוד z̄, והמודול |z| - כל משוואה בשאלון נפתחת באחד מהם.
- תחום: ex אינו מתאפס לעולם, ולכן התחום הוא כל x.
- נגזרת (כלל המנה): f'(x) = (1·ex - x·ex)/(ex)² = (1 - x)/ex.
- אפסים וקיצון: ex > 0, לכן f' = 0 ⇔ x = 1; הנגזרת חיובית לפני ושלילית אחרי ⇐ מקסימום (1, 1/e ≈ 0.37).
- אסימפטוטה: כאשר x → ∞ המכנה גדל הרבה יותר מהר מהמונה, ולכן f → 0 - אסימפטוטה אופקית y = 0.
- סעיף המשיק: עבור g(x) = ex מתקיים g'(0) = e⁰ = 1, ולכן המשיק ב-x = 0 הוא y = x + 1.
- זה הזוג הקבוע של שאלה 4: חקירה מלאה בסולם תחום → אסימפטוטות → f' = 0 → מגמה, ולידה סעיף משיק.
תרגול על כל המפה
24 שאלות בארבעה סטים, סט לכל אזור בשאלון: גאומטרייה אנליטית (שאלה 1), המרחב (שאלה 2), מרוכבים (שאלה 3) והאנליזה של פרק שני (שאלות 4-5). בכל סט מטפסים מיסוד לרמת בגרות. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר 572" עם האסטרטגיה המלאה של כל משבצת.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
המפה על רגל אחת
- 1שאלה 1 - אנליטית: משיק לציר x ⇔ |b| = r; משיק לישר ⇔ מרחק מרכז-ישר = r; אליפסה c² = a² - b².
- 2שאלה 2 - מרחב: |v| = x² + y² + z²; ניצבות u·v = 0; נפח פירמידה ⅓·S·h.
- 3שאלה 3 - מרוכבים: i² = -1; z̄ = a - bi; z·z̄ = |z|²; חזקות i במחזור של 4.
- 4שאלה 4 - חקירת ex: (ex)' = ex; הסולם: תחום → אסימפטוטות → f' = 0 → מגמה; ex > 0 תמיד.
- 5שאלה 5 - לוגריתמית: תחום קודם לכול; (ln x)' = 1/x; ∫(1/x) = ln|x| + c. ובבחירה: 3 מתוך 5, לפחות אחת מכל פרק.
