מבחן תנופה במתמטיקה
תנופה היא סדרת המבחנים הארציים של ראמ״ה, הרשות הארצית למדידה והערכה בחינוך, ובאתר ראמ״ה היא מופיעה בשם ״מבחני תנופה (המיצ״ב)״. בכיתה ו׳ כל בית ספר נדגם למבחן בתחום אחד: מתמטיקה, אנגלית או מדע וטכנולוגיה. משך הבחינה עד 90 דקות, וכל תלמיד יוכל לקבל תוספת זמן עד 30 דקות בהתאם לצורך. ההשתתפות בבחינה היא חובה, אך אין בבחינה ציון לתלמיד. המבחן עוסק בנושאי החובה בלבד של כיתות א׳-ו׳: מספרים טבעיים ו-0, שברים, גאומטריה ומדידות וחקר נתונים.
חימום לפני מבחן תנופה: בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה. השורות דוגמות את ארבעת נושאי החובה - מספרים טבעיים ו-0, שברים, גאומטריה ומדידות וחקר נתונים. השורה הראשונה פתורה לדוגמה. אחר כך לחצו על "בדיקה". עשרוני · טבעיים · אחוזים · מעגל · ממוצע · שברים.
ארבע רמות חשיבה, ארבעה סטים. מפרט ראמ״ה מונה ארבע רמות שהשאלות מייצגות, והמבחן הזה בנוי בדיוק לפיהן. ידע וזיהוי שואל מהו קוטר ומהו אחוז. חשיבה אלגוריתמית מבקשת לחשב 1.2 × 0.5 לפי אלגוריתם מוכר. חשיבה תהליכית מקשרת בין מושגים ובין ייצוגים: 25 הוא גם 0.4. וחיפוש פתוח כבר דורש הנמקה: להראות מדוע ״כפל תמיד מגדיל״ אינו נכון. ככל שעולים במדרגות, פחות זוכרים ויותר חושבים.
הוראות המבחן ומבנהו
לפניכם מבחן תנופה לדוגמה במתמטיקה לכיתה ו׳, הדוגם את ארבעת נושאי החובה של היסודי. מבנה המבחן שלפניכם: 90 דקות · 100 נקודות · פרק א רב-ברירה והקלדה (60 נק׳) · פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). בפרק א 24 שאלות בארבעה סטים (2.5 נק׳ לשאלה), וכל סט מוקדש לרמת חשיבה אחת מן המפרט, מהקלה אל הקשה: ידע וזיהוי, חשיבה אלגוריתמית, חשיבה תהליכית וחיפוש פתוח. חשבו, סמנו או הקלידו, בדקו והמשיכו. בפרק ב חמש שאלות פתוחות (8 נק׳ כל אחת) ברמת החיפוש הפתוח: פתרו על דף, נמקו במילים, ורק אז גלו את הפתרון המלא. שימו לב לשני דברים. ראשית, במבחן האמיתי אין להשתמש במחשבון - כך קובע מפרט המבחן, מפני שהמבחן בודק גם שליטה בלוח הכפל ובפעולות החשבון. כאן המחשבון של נדב כץ פתוח לפניכם, ונכון להשתמש בו לבדיקה בסוף ולא לחישוב עצמו. שנית, המבחן עוסק בנושאי החובה בלבד, ולכן יש נושאים שלמדתם בכיתה ו׳ - למשל יחס וקנה מידה - שאינם נבדקים בו. כך מתחלקים הנושאים:
שש כרטיסיות תזכורת לפני המבחן
תזכורת קצרה לארבעת התחומים - מספרים טבעיים ו-0, שברים ועשרוניים, אחוזים, מעגל ונפח, מידות וחקר נתונים - לפי דפי הלימוד של כיתה ו׳, לפני שניגשים לפרקי המבחן. המספרים כאן הם דוגמאות בלבד, ולא התשובות של שאלות המבחן.
מספרים טבעיים ו-0
ארבע הפעולות, שאלות מילוליות ואומדן: 7 × 12 = 84. לפני כל חישוב כדאי לאמוד - 198 + 403 קרוב ל-600 - ואחרי החישוב לבדוק שהתשובה מתקבלת על הדעת. על הישר המספרים הטבעיים יושבים במרווחים שווים, ובין 7 ל-8 אין אף טבעי נוסף.
כפל וחילוק בשברים
בכפל: מונה במונה ומכנה במכנה, ומצמצמים בסוף - 12 × 23 = 26 = 13. בחילוק: כופלים בשבר ההופכי, וחילוק בשבר יסודי שקול לכפל במכנה שלו - 23 : 16 = 23 × 6 = 4.
עשרוניים ומידות
בכפל עשרוני כופלים בלי הנקודה וסופרים את הספרות שאחריה: 0.3 × 0.7 = 0.21. בחילוק מגדילים את שני המספרים עד שהמחלק שלם. במידות, ככל שהיחידה קטנה יותר המספר גדל: במטר 100 ס״מ, ובליטר 1,000 מ״ל.
אחוזים
אחוז הוא שם אחר למאית: 1% הוא חלק אחד מ-100. הדרך הנוחה היא למצוא קודם 10% ואז להכפיל: 10% מ-60 הם 6, ולכן 40% הם 24. הנחה מורידה מן המחיר, והתייקרות מוסיפה לו.
מעגל, עיגול ונפח
היקף מעגל = 2 × פאי × רדיוס, ושטח עיגול = פאי × רדיוס × רדיוס (פאי ≈ 3.14). ברדיוס 2 ס״מ ההיקף הוא 12.56 ס״מ. נפח תיבה = שטח הבסיס × גובה, והמקצועות נמדדים ביחידות אורך והנפח ביחידות מעוקבות.
חקר נתונים
נתונים אוספים ומארגנים בטבלה ובדיאגרמת עמודות, וקוראים מהן כמה נמדד בכל ערך. הממוצע הוא סכום הערכים חלקי מספרם: (4 + 6 + 11) : 3 = 7. הממוצע תמיד בין הערך הקטן לגדול, אך אינו חייב להיות אחד מערכי הקבוצה.
פרק ב - שאלות פתוחות (40 נקודות)
ענו על חמש השאלות. כולן ברמת החיפוש הפתוח שבמפרט: לא די בתשובה, צריך גם להראות את דרך הפתרון ולנמק במילים. כל שאלה נושאת יכולת ליבה אחרת - אוריינות כמותית, ייצוג מופשט, חשיבה גיאומטרית ואוריינות נתונים. פתרו בעצמכם על דף, ורק אז לחצו על ״לחצו לפתרון המלא״ כדי לבדוק.
בחנות ספרים כל ספר עולה 50 ש״ח, ובקניית שלושה ספרים ניתנת הנחה של 20% על הסכום כולו. (א) כמה עולים שלושה ספרים לפני ההנחה? (ב) מהי ההנחה בשקלים? (ג) כמה משלמים בפועל? (ד) חבר טוען שאפשר להגיע לתשובה של סעיף ג בלי לחשב את ההנחה כלל. הסבירו כיצד.
לחצו לפתרון המלא
(ב) מוצאים קודם 10%: 150 : 10 = 15 ש״ח. עשרים אחוז הם פי 2: 15 × 2 = 30 ש״ח.
(ג) הנחה מורידה מן המחיר: 150 - 30 = 120 ש״ח.
(ד) הדרך הקצרה: אם מורידים 20%, מה שנשאר לתשלום הוא 100% - 20% = 80% מן המחיר. שמונים אחוז הם שמונה עשיריות, ולכן 15 × 8 = 120 ש״ח. אותה תשובה בדיוק, בפעולה אחת פחות. זו דוגמה לשאלה שאפשר לפתור ביותר מדרך אחת.
מתכון לעוגה אחת דורש 34 כוס סוכר. (א) כמה כוסות סוכר דרושות ל-5 עוגות? (ב) בבית יש 7 כוסות סוכר. כמה עוגות שלמות אפשר להכין מהן? (ג) כמה סוכר יישאר, והאם הוא מספיק לעוגה נוספת? נמקו.
לחצו לפתרון המלא
(ב) השאלה היא כמה פעמים נכנס 34 בתוך 7, וזה חילוק. מחלקים בשבר על ידי כפל בשבר ההופכי: 7 : 34 = 7 × 43 = 283 = 9 13. אפשר להכין 9 עוגות שלמות - את השליש הנוסף אי אפשר לאפות.
(ג) כמה סוכר הלך: 9 × 34 = 274 = 6.75 כוסות. נשאר 7 - 6.75 = 0.25, כלומר רבע כוס. רבע קטן משלושה רבעים, ולכן אין די סוכר לעוגה עשירית.
מגרש מלבני שמידותיו 20 מ׳ על 10 מ׳. בתוך המגרש סומן מעגל שרדיוסו 4 מ׳ (פאי ≈ 3.14). (א) מהו שטח המגרש? (ב) מהו שטח העיגול? (ג) מהו שטח החלק של המגרש שמחוץ לעיגול? (ד) מהו היקף המעגל, ובאילו יחידות הוא נמדד?
לחצו לפתרון המלא
(ב) שטח עיגול = פאי כפול הרדיוס בריבוע. קודם ריבוע הרדיוס: 4 × 4 = 16, ואז 3.14 × 16 = 50.24 מ״ר.
(ג) מה שנשאר הוא חיסור, בדיוק כמו בכל צורה מורכבת: 200 - 50.24 = 149.76 מ״ר.
(ד) היקף = 2 כפול פאי כפול הרדיוס: 2 × 3.14 × 4 = 25.12 מ׳. שימו לב להבדל: ההיקף הוא אורך ונמדד במטרים, והשטח הוא מילוי ונמדד במטרים רבועים.
בכיתה נשאלו כל התלמידים כמה ספרים קראו בחופשה, והתשובות רוכזו בטבלה:
| מספר הספרים | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| מספר התלמידים | 3 | 6 | 9 | 7 |
(א) כמה תלמידים יש בכיתה? (ב) כמה אחוזים מן התלמידים קראו 2 ספרים? (ג) מהו מספר הספרים הממוצע לתלמיד? (ד) האם הממוצע שקיבלתם הוא אחד המספרים שבשורה העליונה של הטבלה? מה זה מלמד על הממוצע?
לחצו לפתרון המלא
(ב) מן הטבלה: 9 תלמידים מתוך 25 קראו 2 ספרים. כדי לכתוב באחוזים מרחיבים למאיות: 9 × 4 = 36 ו-25 × 4 = 100, ולכן 36%.
(ג) סוכמים את כל הספרים שנקראו, ולא את מספר התלמידים: 0 × 3 = 0, 1 × 6 = 6, 2 × 9 = 18, 3 × 7 = 21, ויחד 45 ספרים. ממוצע = סכום חלקי מספר התלמידים: 45 : 25 = 1.8 ספרים לתלמיד.
(ד) לא. 1.8 אינו מופיע בטבלה כלל, ובכל זאת הוא הממוצע הנכון. הממוצע אינו חייב להיות אחד מערכי הקבוצה; מה שכן בטוח הוא שהוא נמצא בין הערך הקטן ביותר (0) לגדול ביותר (3), ואכן 1.8 ביניהם.
לפניכם תיבה שמידותיה 6 ס״מ, 5 ס״מ ו-4 ס״מ. (א) חשבו את נפחה. (ב) כמה מיליליטרים זה, וכמה ליטרים? (ג) מצאו שתי תיבות נוספות שכל מקצועותיהן מספרים שלמים בסנטימטרים ושנפחן שווה לנפח התיבה הזאת, והסבירו כיצד חיפשתם. (ד) חברה טוענת שיש בדיוק שלוש תיבות כאלה. האם היא צודקת? נמקו.
לחצו לפתרון המלא
(ב) סנטימטר מעוקב אחד הוא מיליליטר אחד, ולכן 120 מ״ל. בליטר אחד 1,000 מ״ל, ולכן 120 : 1,000 = 0.12 ליטר.
(ג) הדרך: לפרק את 120 למכפלה של שלושה מספרים שלמים. מתחילים ממספר נוח ומחלקים: 120 : 10 = 12, ואת 12 אפשר לפרק ל-6 × 2, ומתקבלת התיבה 10 × 6 × 2 = 120. באותו אופן 120 : 8 = 15 = 5 × 3, ומתקבלת התיבה 8 × 5 × 3 = 120. בשתיהן הנפח זהה, אף שהצורה שונה לגמרי.
(ד) אינה צודקת. די בדוגמאות נוספות כדי להפריך: 20 × 3 × 2 = 120, 12 × 5 × 2 = 120, 10 × 4 × 3 = 120, ואפילו 120 × 1 × 1 = 120. כל שלישייה של מספרים שלמים שמכפלתם 120 נותנת תיבה מתאימה, ויש הרבה שלישיות כאלה - הרבה יותר משלוש.
פרק א - שאלות אוטומטיות (60 נקודות)
24 שאלות בארבעה סטים (2.5 נק׳ לשאלה). כל סט מוקדש לרמת חשיבה אחת מן המפרט, והסטים מסודרים מן הקלה אל הקשה: ידע וזיהוי, חשיבה אלגוריתמית, חשיבה תהליכית וחיפוש פתוח. בכל סט מעורבים ארבעת נושאי החובה - מספרים טבעיים ו-0, שברים, גאומטריה ומדידות וחקר נתונים. בשאלות ההקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ ואת לשונית ״אחוזים״. בחרו או הקלידו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
נקודות לבדיקה עצמית - ארבעת נושאי החובה
- 1מספרים טבעיים ו-0: ארבע הפעולות, שאלות מילוליות ואומדן. אומדים לפני, ובודקים אחרי שהתשובה מתקבלת על הדעת.
- 2שברים: בכפל מונה במונה ומכנה במכנה; בחילוק כופלים בשבר ההופכי. כפל בשבר קטן מ-1 מקטין, וחילוק בשבר כזה מגדיל.
- 3עשרוניים, אחוזים ומידות: סופרים ספרות אחרי הנקודה; אחוז הוא מאית, ונוח למצוא קודם 10%; ביחידה קטנה יותר המספר גדל.
- 4גאומטריה ומדידות: היקף = 2 × פאי × רדיוס, שטח עיגול = פאי × רדיוס × רדיוס, נפח תיבה = שטח הבסיס × גובה. בצורה מורכבת מפרקים, ואז מחברים או מחסרים.
- 5חקר נתונים: קוראים נתונים מטבלה ומדיאגרמת עמודות, וממוצע הוא סכום : מספר האיברים - ואינו חייב להיות אחד הערכים.
| התחום | המשקל במפרט | מה נבדק | דוגמה מן הדף |
|---|---|---|---|
| מספרים טבעיים ו-0 | 20% | ארבע פעולות, שאלות מילוליות, אומדן, ציר המספרים | 28 × 6 = 168 |
| שברים | 45% | שברים פשוטים, עשרוניים ואחוזים; חלק של כמות ומציאת השלם | 1.2 × 0.5 = 0.6 · 30% מ-90 |
| גאומטריה ומדידות | 25% | מצולעים ומצולעים מורכבים, גופים, מעגל ועיגול, מידות | 2 × 3.14 × 3 = 18.84 |
| חקר נתונים | 10% | איסוף, ארגון וייצוג של נתונים, דיאגרמת עמודות ומוטות, משמעות הממוצע וחישובו | 45 : 25 = 1.8 |
