מבחן מפמ״ר הערכה מרכזית
מבחן מפמ״ר הוא הערכה מרכזית מקיפה על כל החומר במתמטיקה של כיתה ח׳ - לא רבעון בודד ולא שאלה אחת לכל נושא, אלא מבחן משלב שבו שאלות שלמות מחברות בין נושאים ודורשות חשיבה רב-שלבית. נפגוש יחד את התחום האלגברי (שיפוע, משוואת הישר y = mx + b, מערכות משוואות, אחוזים ואי-שוויונות) לצד התחום הגאומטרי והסטטיסטי (משפט פיתגורס וגופים, דמיון ופרופורציה, זוויות ומשולשים, המעגל, חפיפה ומדדי מרכז). מבחן מפמ״ר · הערכה מרכזית · מתמטיקה · כיתה ח׳ · זמן 90 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה והקלדה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות משלבות (40 נק׳). פרק א נבדק אוטומטית במחשב; בפרק ב פותרים על דף צעד אחר צעד ואז מגלים את הפתרון המלא.
חימום לפני מבחן המפמ"ר המשלב: בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה - מהתחום האלגברי (שיפוע, משוואת הישר ומערכות) ועד התחום הגאומטרי (פיתגורס, דמיון ואחוזים). השורה הראשונה - דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". שיפוע · מערכת · פיתגורס · דמיון · אחוזים.
כל השנה, בשאלה אחת משלבת. במבחן המפמ״ר נחבר בין תחומים: משיפוע (m = (11 - 3)/(6 - 2) = 2) למשוואת הישר (y = 2x - 6 חוצה את הצירים ב-(0, -6) וב-(3, 0)) ולפתרון מערכת (y = 2x - 6 ו-y = -x + 9 ⟵ (5, 4)); מפיתגורס (8² + 15² = 17²) לדמיון (k = 2.5 ⟵ יחס שטחים 6.25); ומשטח עיגול לנפח של גליל ושל חרוט, שהיוצר שלו הוא יתר של משולש ישר-זווית. אלה שאלות מפמ״ר - רב-שלביות ומשלבות.
הוראות המבחן ומבנהו
לפניכם מבחן מפמ״ר - הערכה מרכזית מקיפה במתמטיקה לכיתה ח׳, המשלבת נושאים מכל השנה ומדגישה חשיבה רב-שלבית. מבנה המבחן: מבחן מפמ״ר · הערכה מרכזית · מתמטיקה · כיתה ח׳ · זמן 90 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה והקלדה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות משלבות (40 נק׳). בפרק א 24 שאלות בארבעה סטים, מהקל אל הקשה (2.5 נק׳ לשאלה) - כולל שאלות "היכן הטעות" וקביעת-נכונות מנומקת, לצד חישוב ובחירה. בפרק ב חמש שאלות פתוחות משלבות-נושאים (8 נק׳ כל אחת, סך 40 נק׳) - פתרו צעד אחר צעד על דף, ואז לחצו כדי לגלות את הפתרון המלא. בכל שלב מותר להיעזר במחשבון של נדב כץ. לפניכם תזכורת קצרה מנושאי המבחן:
שש כרטיסיות תזכורת לפני המבחן המשלב
תזכורת קצרה לנושאי המפמ״ר - התחום האלגברי (שיפוע, משוואת הישר, מערכות, אחוזים ואי-שוויונות) לצד התחום הגאומטרי והסטטיסטי (פיתגורס וגופים, דמיון ופרופורציה, זוויות, מעגל, חפיפה ומדדי מרכז) - לפי דפי הלימוד של כיתה ח׳, לפני שניגשים לפרקי המבחן.
שיפוע ומשוואת הישר
m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁): דרך (2, 3) ו-(6, 11) מקבלים m = 2. ב-y = mx + b החיתוך עם ציר y הוא b, ולחיתוך עם ציר x מציבים y = 0.
מערכת ואי-שוויון
מערכת פותרים בהצבה או בהשוואת מקדמים: x + y = 12, x - y = 4 ⟵ (8, 4). שיפוע זהה וחיתוך שונה ⟵ מקבילים (אין פתרון); משוואות שקולות ⟵ מתלכדים (אינסוף). באי-שוויון, חילוק בשלילי הופך את הסימן: -2x < 8 ⟵ x > -4.
פיתגורס וגופים
במשולש ישר-זווית a² + b² = c²: 8² + 15² = 17. המשפט ההפוך מזהה משולש ישר-זווית (5² + 12² = 13²). נפח גליל π·r²·h, ונפח חרוט שליש מזה; היוצר הוא r² + h².
דמיון, יחס ופרופורציה
במשולשים דומים הצלעות (וההיקף) גדֵלות פי k והשטח פי k²; שתי זוויות שוות ⟵ דמיון (AA). פרופורציה פותרים במכפלה מוצלבת: x : 6 = 4 : 3 ⟵ x = 8.
אחוזים ואי-שוויונות
התייקרות של 15% היא כפל ב-1.15, והנחה של 20% כפל ב-0.8: 1.15x = 230 ⟵ x = 200. באי-שוויון מבודדים כמו במשוואה, וזוכרים להפוך את הסימן בחילוק בשלילי.
זוויות, מעגל ומדדי מרכז
בין מקבילים: מתחלפות ומתאימות שוות, חד-צדדיות סכומן 180°; סכום זוויות במשולש 180°. היקף מעגל 2·π·r ושטח עיגול π·r². מדדי מרכז: ממוצע, חציון, שכיח וטווח - וערך קיצון מזיז את הממוצע יותר מהחציון.
פרק ב - שאלות פתוחות משלבות (40 נקודות)
ענו על חמש השאלות. כל שאלה משלבת כמה נושאים ודורשת פתרון רב-שלבי, כמו במבחן מפמ״ר אמיתי. בכל שאלה פתרו בעצמכם על דף - צעד אחר צעד - ורק אז לחצו על "לחצו לפתרון המלא" כדי לבדוק. כל המספרים והכללים מבוססים על דפי הלימוד של כיתה ח׳.
נתון הישר y = 2x - 6. (א) מצאו את שיפועו ואת נקודות החיתוך שלו עם שני הצירים. (ב) הישר עובר גם דרך הנקודה (5, k) - מצאו את k. (ג) מצאו את נקודת החיתוך של y = 2x - 6 עם הישר y = -x + 9 (פתרו את המערכת), ובדקו.
לחצו לפתרון המלא
(ב) מציבים x = 5: k = 2·5 - 6 = 10 - 6 = 4, כלומר הנקודה (5, 4).
(ג) בנקודת החיתוך שני ה-y שווים: 2x - 6 = -x + 9. מעבירים אגפים: 3x = 15, ולכן x = 5, ומכאן y = 2·5 - 6 = 4. בדיקה בישר השני: -5 + 9 = 4. הפתרון (5, 4) - בדיוק הנקודה מסעיף (ב).
(א) במשולש ישר-זווית הניצבים הם 6 ו-8 - חשבו את היתר. (ב) משולש דומה לו ביחס k = 2.5: מהו היתר במשולש הדומה, ומהו יחס השטחים בין המשולשים? (ג) ביום שמש מקל בגובה 1 מ׳ מטיל צל 1.5 מ׳, ובאותו רגע עמוד מטיל צל 6 מ׳ - מהו גובה העמוד? נמקו לפי דמיון.
לחצו לפתרון המלא
(ב) במשולשים דומים כל צלע גדֵלה פי k, ולכן היתר הוא 10 · 2.5 = 25. יחס השטחים הוא k² = 2.5² = 6.25.
(ג) המקל והעמוד עם צלליהם יוצרים שני משולשים דומים (לפי זווית-זווית). יחס הדמיון הוא יחס הצללים k = 6 / 1.5 = 4, ולכן גובה העמוד הוא 1 · 4 = 4 מטר.
(א) מעיל התייקר ב-15% והגיע ל-230 ₪, ובאותה חנות זוג נעליים הוזל ב-20% ונמכר ב-160 ₪ - מצאו את שני המחירים המקוריים. (ב) פתרו את האי-שוויון 3x - 5 < x - 11, תארו את הקרן, ובדקו בהצבת x = -4. (ג) פתרו את -2x < 8 והסבירו מדוע כיוון הסימן משתנה.
לחצו לפתרון המלא
(ב) מעבירים אגפים: 3x - x < -11 + 5, כלומר 2x < -6. מחלקים ב-2 (חיובי, הסימן נשמר): x < -3 - עיגול ריק ב--3, צביעה שמאלה. בדיקה עם x = -4: אגף שמאל 3·(-4) - 5 = -17, אגף ימין -4 - 11 = -15, ואכן -17 < -15.
(ג) מחלקים את -2x < 8 ב--2 - מספר שלילי, ולכן כיוון הסימן מתהפך: x > -4. הכלל: כפל או חילוק במספר שלילי הופך את כיוון האי-שוויון.
נתון עיגול שרדיוסו 5. (א) חשבו את היקף המעגל ואת שטח העיגול (כמכפלה של π). (ב) העיגול הוא בסיס של גליל שגובהו 6 - חשבו את נפח הגליל (כמכפלה של π). (ג) על אותו בסיס בונים חרוט שגובהו 12 - חשבו בעזרת משפט פיתגורס את אורך היוצר, וחשבו גם את נפח החרוט (כמכפלה של π).
לחצו לפתרון המלא
(ב) נפח גליל הוא שטח הבסיס כפול הגובה: V = π·r²·h = 25·π·6 = 150·π.
(ג) בחרוט הרדיוס והגובה הם ניצבים, והיוצר הוא היתר: l = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13. נפח החרוט הוא שליש מנפח גליל בעל אותו בסיס וגובה: V = שליש · 25·π · 12 = שליש · 300·π = 100·π.
נתון משולש שווה-שוקיים △ABC שבו AB = AC, ו-AD הוא התיכון לבסיס BC. (א) הוכיחו כי △ABD ≅ △ACD, ומכאן כי ∠B = ∠C. (ב) אם זווית הראש ∠A = 40°, חשבו כל זווית בסיס. (ג) הסבירו מדוע לא מספיק לומר ש-∠B ו-∠C "נראות שוות" בציור.
לחצו לפתרון המלא
(ב) סכום זוויות המשולש הוא 180°, ושתי זוויות הבסיס שוות, ולכן כל אחת מהן היא (180° - 40°) : 2 = 140° : 2 = 70°.
(ג) מדידה בעין עלולה להטעות, ובגאומטריה מסקנה חייבת להישען על שרשרת נימוקים - נתון, חפיפה, ואז שוויון הזוויות המתאימות - ולא על מראה הציור.
פרק א - שאלות אוטומטיות (60 נקודות)
24 שאלות בארבעה סטים משלבים, מהקל אל הקשה, על כל נושאי כיתה ח׳ - אלגברה והפונקציה הקווית לצד גאומטריה, מדידה וסטטיסטיקה (2.5 נק׳ לשאלה). לצד חישוב ובחירה יש גם שאלות "היכן הטעות" וקביעת-נכונות מנומקת. בשאלות הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ. בחרו או הקלידו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
נקודות לבדיקה עצמית
- 1שיפוע ומשוואת הישר: m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁), וב-y = mx + b החיתוך עם ציר y הוא b.
- 2מערכת ואי-שוויון: הצבה או השוואת מקדמים; שיפוע זהה וחיתוך שונה ⟵ מקבילים; חילוק בשלילי הופך את סימן האי-שוויון.
- 3פיתגורס ודמיון: a² + b² = c² (וגם ההפוך לזיהוי משולש ישר-זווית); בדמיון הצלעות פי k והשטח פי k².
- 4אחוזים ופרופורציה: התייקרות 1 + p, הנחה 1 - p; מכפלה מוצלבת a·d = b·c.
- 5גאומטריה, מדידה וסטטיסטיקה: חד-צדדיות סכומן 180°, שטח עיגול π·r², נפח גליל π·r²·h, וערך קיצון מזיז את הממוצע יותר מהחציון.
| הנושא | הכלל | דוגמה |
|---|---|---|
| שיפוע ומשוואת הישר | m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁); y = mx + b | (2,3),(6,11) ⟵ m = 2 |
| מערכת משוואות | הצבה או השוואת מקדמים; נקודת החיתוך | x + y = 12, x - y = 4 ⟵ (8,4) |
| פיתגורס וגופים | a² + b² = c²; נפח גליל π·r²·h | 8, 15 ⟵ c = 17 |
| דמיון ופרופורציה | צלעות פי k, שטח פי k²; מכפלה מוצלבת | AB=4→DE=10, BC=6 ⟵ EF = 15 |
| אחוזים ואי-שוויונות | התייקרות 1 + p; חילוק בשלילי הופך את הסימן | 1.15x = 230 ⟵ x = 200 |
| מעגל, חפיפה ומדדי מרכז | שטח עיגול π·r²; חפיפה צ.ז.צ; ערך קיצון | r=6 ⟵ שטח 36·π |
