נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · כיתה ח׳ חטיבת הביניים
מבחן נושא · הפונקציה הקווית

מבחן נושא הפונקציה הקווית

מבחן נושא זה מתמקד ביחידה אחת בלבד - ומעמיק בה עד הסוף: קריאת גרפים של תופעות ליניאריות (עלייה, ירידה וקטע קבוע), שיפוע וקצב שינוי משתי נקודות, משוואת הישר y = mx + b על נקודות החיתוך שלה עם הצירים, ומערכת שתי משוואות בשני נעלמים - עד השאלה כמה פתרונות בכלל קיימים. השאלות מסודרות מהקל אל הקשה, כולן בתוך עולם הישר. מבחן נושא · הפונקציה הקווית · מתמטיקה · כיתה ח׳ · זמן 90 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה והקלדה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). פרק א נבדק אוטומטית במחשב; בפרק ב פתרו על דף ואז גלו את הפתרון המלא.

מבחן נושא הפונקציה הקווית גרפים · שיפוע · משוואת הישר · מערכות מתמטיקה · כיתה ח׳ 90 דקות 100 נקודות פרק א · אוטומטי · 60 נק׳ פרק ב · שאלות פתוחות · 40 נק׳

חימום למבחן בחרו בכל שורה את התוצאה הנכונה, ואז בדקו

חימום למבחן הנושא על הפונקציה הקווית: בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה - מקריאת גרף וחישוב שיפוע, דרך משוואת הישר והחיתוכים עם הצירים, ועד מערכת שתי משוואות. השורה הראשונה - דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". גרפים · שיפוע · y = mx + b · מערכת.

יחידה אחת, ישר אחד. הכול במבחן הזה קורה על אותו קו: נקרא גרף של תופעה (מכל שמתרוקן בקצב קבוע ⟵ קו יָשָׁר יורד), נחשב שיפוע משתי נקודות (m = (11 - 3)/(6 - 2) = 2), נבנה משוואה מנקודה ושיפוע (דרך (0, 1) בשיפוע 3 ⟵ y = 3x + 1), נמצא חיתוך עם ציר x (y = -3x + 12 ⟵ x = 4) - וכשמצרפים שני ישרים יחד מקבלים מערכת שפתרונה הוא נקודת החיתוך (2x + y = 11 , x - y = 1 ⟵ (4, 3)). זה כל המבחן.

לפני שמתחילים

הוראות המבחן ומבנהו

לפניכם מבחן נושא המתמקד ביחידת הפונקציה הקווית כולה - לעומק ובסדר עולה. מבנה המבחן: מבחן נושא · הפונקציה הקווית · מתמטיקה · כיתה ח׳ · זמן 90 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה והקלדה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). בפרק א 24 שאלות בארבעה סטים, מהקל אל הקשה (2.5 נק׳ לשאלה) - חשבו, סמנו או הקלידו את התשובה, בדקו והמשיכו. בפרק ב חמש שאלות פתוחות (8 נק׳ כל אחת, סך 40 נק׳) - פתרו צעד אחר צעד על דף, ואז לחצו כדי לגלות את הפתרון המלא. בכל שלב מותר להיעזר במחשבון של נדב כץ. הנה הישר שכל המבחן סובב סביבו:

מ-y = mx + b ועד נקודת החיתוך של שני ישרים
x y 0 b - חיתוך עם ציר y חיתוך עם ציר x (y = 0) m - שיפוע (עלייה חלקי צעד) נקודת החיתוך - פתרון המערכת y = mx + b
דף תזכורת

שש כרטיסיות תזכורת לפני המבחן

תזכורת קצרה לכל חלקי יחידת הפונקציה הקווית - קריאת גרף של תופעה, שיפוע וקצב שינוי, משוואת הישר והחיתוכים עם הצירים, בניית משוואה מנקודות, שתי שיטות הפתרון של מערכת, ומספר הפתרונות - לפי דפי הלימוד של כיתה ח׳, לפני שניגשים לפרקי המבחן.

1

קריאת גרף של תופעה

הציר האופקי הוא הזמן, האנכי הוא הגודל הנמדד. קו עולה אומר שהגודל גָּדֵל, קו יורד שהוא קָטֵן, וקו אופקי שהוא קבוע. מכל שמתרוקן בקצב קבוע נותן קו יָשָׁר ויורד, והתלילות היא הקצב.

2

שיפוע וקצב שינוי

השיפוע הוא השינוי ב-y חלקי השינוי ב-x: m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁). חיובי ⟵ עולה, שלילי ⟵ יורד, אפס ⟵ אופקי. למשל דרך (1, 2) ו-(4, 8) מקבלים m = 2.

3

משוואת הישר y = mx + b

m הוא השיפוע ו-b הוא החיתוך עם ציר y (כש-x = 0). לחיתוך עם ציר x מציבים y = 0. למשל y = 2x - 6 חוצה את הצירים ב-(0, -6) וב-(3, 0).

4

בניית משוואה מנקודות

משתי נקודות מחשבים קודם m = Δy/Δx, ואז מציבים נקודה כדי למצוא את b. למשל דרך (0, 1) ו-(2, 7): m = 3, הנקודה (0, 1) נותנת b = 1, ולכן y = 3x + 1.

5

מערכת - שתי שיטות פתרון

בהצבה מבודדים נעלם ומציבים בשנייה; בהשוואת מקדמים מחברים או מחסרים כדי לבטל נעלם. למשל x + y = 10 , x - y = 4: חיבור נותן 2x = 14 ⟵ (7, 3).

6

מספר הפתרונות

הפתרון הוא נקודת החיתוך של שני הישרים. נחתכים ⟵ פתרון יחיד, מקבילים (שיפוע שווה, חיתוך שונה) ⟵ אין פתרון, מתלכדים ⟵ אינסוף פתרונות. למשל y = 2x + 1 ו-y = 2x - 3 מקבילים.

m > 0 m = 0 m < 0
סימן השיפוע
m > 0 עולה · m < 0 יורד · m = 0 אופקי
1 פתרון 0
מספר הפתרונות
נחתכים ⟵ 1 · מקבילים ⟵ 0 · מתלכדים ⟵ אינסוף
פרק ב · שאלות פתוחות

פרק ב - שאלות פתוחות (40 נקודות)

ענו על חמש השאלות. בכל שאלה פתרו בעצמכם על דף - צעד אחר צעד, בדיוק כמו במבחן - ורק אז לחצו על "לחצו לפתרון המלא" כדי לבדוק. כל המספרים והכללים מבוססים על דפי הלימוד של יחידת הפונקציה הקווית בכיתה ח׳.

שאלה 1 · שיפוע משתי נקודות8 נקודות

(א) חשבו את שיפוע הישר העובר דרך הנקודות A(-3, -2) ו-B(1, 6), וקבעו אם הישר עולה או יורד. שימו לב לחיסור מספרים שליליים. (ב) מכונית נוסעת במהירות אחידה: אחרי 3 שעות עברה 210 ק"מ, ואחרי 5 שעות 350 ק"מ. מהו קצב הנסיעה בקמ"ש?

לחצו לפתרון המלא
(א) משתמשים בנוסחת השיפוע - השינוי ב-y חלקי השינוי ב-x: m = (6 - (-2))/(1 - (-3)) = 84 = 2. חיסור מספר שלילי הופך לחיבור: 6 - (-2) = 8 וגם 1 - (-3) = 4. השיפוע חיובי, ולכן הישר עולה.
(ב) קצב שינוי אחיד הוא השינוי במרחק חלקי השינוי בזמן: (350 - 210)/(5 - 3) = 1402 = 70 קמ"ש.
(א) m = 2 (ישר עולה) · (ב) קצב הנסיעה 70 קמ"ש.
שאלה 2 · בניית משוואת הישר8 נקודות

ישר עובר דרך הנקודות (0, 1) ו-(2, 7). (א) חשבו את השיפוע m. (ב) מצאו את b וכתבו את משוואת הישר. (ג) בדקו בהצבה שהנקודה (2, 7) אכן נמצאת על הישר.

לחצו לפתרון המלא
(א) השיפוע: m = (7 - 1)/(2 - 0) = 62 = 3.
(ב) מציאת b: הנקודה (0, 1) נמצאת על ציר y (כי x = 0) - זהו בדיוק החיתוך עם ציר y, ולכן b = 1. מציבים ב-y = mx + b ומקבלים y = 3x + 1.
(ג) בדיקה: מציבים x = 2: y = 3·2 + 1 = 7 - מתקבלת בדיוק הנקודה (2, 7).
(א) m = 3 · (ב) y = 3x + 1 · (ג) 3·2 + 1 = 7 - הנקודה על הישר.
שאלה 3 · תכונות הגרף מתוך המשוואה8 נקודות

נתון הישר y = -2x + 8. (א) מהו השיפוע, והאם הישר עולה או יורד? (ב) מצאו את נקודת החיתוך עם ציר y. (ג) מצאו את נקודת החיתוך עם ציר x. (ד) האם הנקודה (1, 6) נמצאת על הישר? נמקו בהצבה.

לחצו לפתרון המלא
(א) השיפוע הוא המקדם של x: m = -2. השיפוע שלילי, ולכן הישר יורד.
(ב) חיתוך עם ציר y: מציבים x = 0: y = -2·0 + 8 = 8, כלומר הנקודה (0, 8) (זהו b).
(ג) חיתוך עם ציר x: מציבים y = 0: 0 = -2x + 8, ומכאן 2x = 8 ו-x = 4, כלומר הנקודה (4, 0).
(ד) מציבים x = 1: y = -2·1 + 8 = 6 - מתקבל בדיוק y = 6, ולכן הנקודה (1, 6) נמצאת על הישר.
(א) m = -2, יורד · (ב) (0, 8) · (ג) (4, 0) · (ד) כן, כי -2·1 + 8 = 6.
שאלה 4 · מערכת שתי משוואות8 נקודות

(א) פתרו את המערכת 4x + y = 14 , 2x - y = 4 בשיטת השוואת המקדמים, ובדקו את הפתרון. (ב) קבעו כמה פתרונות יש למערכת y = 2x + 1 , y = 2x - 3, ונמקו.

לחצו לפתרון המלא
(א) מחברים את שתי המשוואות; ה-y מתבטל: (4x + y) + (2x - y) = 14 + 4, כלומר 6x = 18 ו-x = 3. מציבים ב-2x - y = 4: 6 - y = 4, ולכן y = 2. בדיקה: 4·3 + 2 = 14. הפתרון (x, y) = (3, 2).
(ב) משווים אגפים: 2x + 1 = 2x - 3 נותן 1 = -3 - שוויון שלא ייתכן. לשני הישרים אותו שיפוע 2 אך חיתוך שונה עם ציר y (1 מול -3) - הם מקבילים, ולכן למערכת אין פתרון.
(א) (x, y) = (3, 2) · (ב) ישרים מקבילים - אין פתרון.
שאלה 5 · בעיה מילולית - מערכת8 נקודות

סכום שני מספרים הוא 20 וההפרש ביניהם הוא 6. (א) סמנו נעלמים וכתבו מערכת שתי משוואות המתארת את הבעיה. (ב) פתרו את המערכת ומצאו את שני המספרים. (ג) בדקו את תשובתכם מול נתוני הבעיה.

לחצו לפתרון המלא
(א) נסמן: x המספר הגדול, y המספר הקטן. הסכום נותן x + y = 20, וההפרש נותן x - y = 6.
(ב) מחברים את שתי המשוואות; ה-y מתבטל: 2x = 26, ולכן x = 13. מציבים ב-x + y = 20: 13 + y = 20, ולכן y = 7.
(ג) בדיקה מול הבעיה: הסכום 13 + 7 = 20 וההפרש 13 - 7 = 6 - שני הנתונים מתקיימים.
המספרים הם 13 ו-7.

דוגמה 1
    דוגמה 2
      דוגמה 3
        פרק א · רב-ברירה והקלדה

        פרק א - שאלות אוטומטיות (60 נקודות)

        ניקוד: 0 / 0

        24 שאלות בארבעה סטים, מהקל אל הקשה, על כל חלקי יחידת הפונקציה הקווית - גרפים של תופעות, שיפוע וקצב שינוי, משוואת הישר והחיתוכים עם הצירים, ומערכות משוואות (2.5 נק׳ לשאלה). בשאלות הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ. בחרו או הקלידו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.

        לוח המשחק

        דרכים לתרגל את הדף הזה

        המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

        0%
        שליטה
        0חדש
        0בלימוד
        0בחזרה
        0שולט

        נקודות לבדיקה עצמית

        • 1גרפים: קו עולה = הגודל גָּדֵל, קו יורד = קָטֵן, קו אופקי = קבוע; התלילות היא הקצב.
        • 2שיפוע: m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁); חיובי עולה, שלילי יורד, אפס אופקי.
        • 3משוואת הישר: ב-y = mx + b, b החיתוך עם ציר y, ולחיתוך עם ציר x מציבים y = 0.
        • 4מנקודות למשוואה: קודם m = Δy/Δx, ואז מציבים נקודה כדי למצוא את b.
        • 5מערכת: הצבה או השוואת מקדמים; הפתרון הוא נקודת החיתוך; נחתכים = 1, מקבילים = 0, מתלכדים = אינסוף.
        יחידת הפונקציה הקווית במבט אחד
        הנושאהכללדוגמה
        גרפים של תופעותעולה = גָּדֵל, יורד = קָטֵן, אופקי = קבועמכל מתרוקן ⟵ קו יורד
        שיפוע וקצב שינויm = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)(2,3),(6,11) ⟵ m = 2
        משוואת הישרb חיתוך עם y; y = 0 לחיתוך עם xy = -2x + 8 ⟵ (0,8),(4,0)
        בניית משוואהקודם m, ואז נקודה למציאת b(0,1),(2,7) ⟵ y = 3x + 1
        מערכת משוואותהצבה או השוואת מקדמים; נקודת החיתוך2x + y = 11, x - y = 1 ⟵ (4,3)
        מספר הפתרונותנחתכים 1 · מקבילים 0 · מתלכדים אינסוףy = 2x + 1, y = 2x - 3 ⟵ מקבילים
        מפתח פתרונות (תרגול)

          היי! זהו מבחן נושא במתמטיקה על יחידת הפונקציה הקווית כולה - גרפים של תופעות, שיפוע, משוואת הישר ומערכות משוואות. פרק א רב-ברירה והקלדה נבדק אוטומטית, ובפרק ב פתרו לעצמכם ואז גלו את הפתרון המלא. בהצלחה!

          תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי