מבחן רבעוני · רבעון א׳ · מתמטיקה

מבחן רבעוני רבעון א׳

המבחן מכסה את חומר הרבעון הראשון במתמטיקה לכיתה ט׳ - אשכול האלגברה: נוסחאות הכפל המקוצר (ריבוע סכום, ריבוע הפרש והפרש ריבועים), פירוק לגורמים (הוצאת גורם משותף, טרינום ונוסחאות הכפל), פתרון משוואה ריבועית ax² + bx + c = 0 בפירוק ובנוסחת השורשים x = (-b ± b² - 4ac) / (2a), והדיסקרימיננטה, וכן חוקי החזקות עם מעריך טבעי. מבחן רבעוני · רבעון א׳ · מתמטיקה · כיתה ט׳ · זמן 90 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה והקלדה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). פרק א נבדק אוטומטית במחשב; בפרק ב פתרו על דף ואז גלו את הפתרון המלא.

מבחן רבעוני רבעון א׳ אשכול האלגברה מתמטיקה · כיתה ט׳ 90 דקות 100 נקודות פרק א · אוטומטי · 60 נק׳ פרק ב · שאלות פתוחות · 40 נק׳

חימום למבחן בחרו בכל שורה את התוצאה הנכונה, ואז בדקו

חימום לפני המבחן הרבעוני: בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה - מפיתוח נוסחת כפל מקוצר, דרך פירוק לגורמים ופתרון משוואה ריבועית ועד חוקי החזקות והדיסקרימיננטה. השורה הראשונה - דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". מכפלות מקוצרות · פירוק לגורמים · משוואה ריבועית · חזקות.

כל הרבעון בשורה אחת. במבחן נפתח נוסחת כפל מקוצר ((2x + 3)² = 4x² + 12x + 9), נפרק טרינום לגורמים (x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)), נפתור משוואה ריבועית בפירוק (x² - 7x + 12 = 0 ⟵ x = 3, 4) ובנוסחת השורשים (x² - 5x + 6 = 0 ⟵ x = (5 ± 1)/2 = 2, 3), נקרא את הדיסקרימיננטה Δ = b² - 4ac, ונפעיל את חוקי החזקות (x³ · x⁴ = x⁷). כל אלה נבדקים במבחן הרבעוני.

לפני שמתחילים

הוראות המבחן ומבנהו

לפניכם מבחן רבעוני על חומר הרבעון הראשון במתמטיקה: אשכול האלגברה. מבנה המבחן: מבחן רבעוני · רבעון א׳ · מתמטיקה · כיתה ט׳ · זמן 90 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה והקלדה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). בפרק א 24 שאלות בארבעה סטים, מהקל אל הקשה (2.5 נק׳ לשאלה) - חשבו, סמנו או הקלידו את התשובה, בדקו והמשיכו. בפרק ב חמש שאלות פתוחות (8 נק׳ כל אחת, סך 40 נק׳) - פתרו צעד אחר צעד על דף, ואז לחצו כדי לגלות את הפתרון המלא. בכל שלב מותר להיעזר במחשבון של נדב כץ. לפניכם תזכורת קצרה מנושאי הרבעון:

פירוק טרינום: מכפלה = c, סכום = b

דף תזכורת

שש כרטיסיות תזכורת לפני המבחן

תזכורת קצרה לנושאי הרבעון - נוסחאות הכפל המקוצר, הפרש ריבועים, פירוק לגורמים, פתרון משוואה ריבועית בפירוק ובנוסחת השורשים, וחוקי החזקות - לפי דפי הלימוד של כיתה ט׳, לפני שניגשים לפרקי המבחן.

ריבוע סכום וריבוע הפרש

מרובעים כל איבר ומוסיפים (או מחסרים) פעמיים את המכפלה: (a + b)² = a² + 2ab + b² ו-(a - b)² = a² - 2ab + b². למשל (2x + 3)² = 4x² + 12x + 9.

הפרש ריבועים

מכפלת סכום בהפרש של אותם איברים מוחקת את האמצע: (a - b)(a + b) = a² - b². למשל (x - 5)(x + 5) = x² - 25.

פירוק לגורמים

קודם מוציאים גורם משותף (6x² + 9x = 3x(2x + 3)), ואז מפרקים טרינום לפי שני מספרים שמכפלתם c וסכומם b: x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).

משוואה ריבועית בפירוק

אם אפשר לפרק, זו הדרך הקצרה: x² - 5x + 6 = 0 ⟵ (x - 2)(x - 3) = 0, ומכיוון שמכפלה מתאפסת רק אם אחד הגורמים אפס - x = 2 או x = 3.

נוסחת השורשים והדיסקרימיננטה

עובדת תמיד: x = (-b ± b² - 4ac) / (2a). הדיסקרימיננטה Δ = b² - 4ac קובעת כמה פתרונות: חיובית ⟵ שניים, אפס ⟵ אחד, שלילית ⟵ אין פתרון ממשי.

חוקי החזקות

כפל מחבר מעריכים a^m · aⁿ = a^m+n, חילוק מחסר a^m / aⁿ = a^m-n, חזקת חזקה מכפילה (a^m)ⁿ = a^m·n, וחזקת מכפלה (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. למשל x³ · x⁴ = x⁷.

ריבוע סכום והפרש

ריבוע סכום ⟵ אמצעי +2ab · ריבוע הפרש ⟵ אמצעי -2ab

הפרש ריבועים

הפרש ריבועים ⟵ האמצעי מתבטל, נשאר a² - b²

פרק ב · שאלות פתוחות

פרק ב - שאלות פתוחות (40 נקודות)

ענו על חמש השאלות. בכל שאלה פתרו בעצמכם על דף - צעד אחר צעד, בדיוק כמו במבחן - ורק אז לחצו על "לחצו לפתרון המלא" כדי לבדוק. כל המספרים והכללים מבוססים על דפי הלימוד של הרבעון (אשכול האלגברה) בכיתה ט׳.

שאלה 1 · נוסחאות הכפל המקוצר8 נקודות

פתחו וכתבו בצורה מסודרת: (א) (2x + 3)² ; (ב) (x - 3)² ; (ג) (x - 5)(x + 5).

לחצו לפתרון המלא

(א) ריבוע סכום (a + b)² עם a = 2x, b = 3: (2x)² = 4x², האמצעי 2 · 2x · 3 = 12x, ו-3² = 9, ולכן (2x + 3)² = 4x² + 12x + 9.
(ב) ריבוע הפרש (a - b)² עם a = x, b = 3: x², האמצעי השלילי -2 · x · 3 = -6x, ו-3² = 9, ולכן (x - 3)² = x² - 6x + 9.
(ג) הפרש ריבועים (a - b)(a + b) = a² - b² עם a = x, b = 5: x² - 25 (האיבר האמצעי מתבטל).

(א) 4x² + 12x + 9 · (ב) x² - 6x + 9 · (ג) x² - 25.

שאלה 2 · פירוק לגורמים8 נקודות

פרקו לגורמים ובדקו בהצבה חזרה: (א) הוצאת גורם משותף מ-6x² + 9x ; (ב) הטרינום x² - 5x + 6 ; (ג) הפרש הריבועים x² - 9.

לחצו לפתרון המלא

(א) הגורם המשותף הגדול ביותר הוא 3x: 6x² : 3x = 2x ו-9x : 3x = 3, ולכן 6x² + 9x = 3x(2x + 3). בדיקה: 3x · 2x = 6x² ו-3x · 3 = 9x.
(ב) מחפשים שני מספרים שמכפלתם 6 וסכומם -5 (שניהם שליליים): -2 ו--3, ולכן x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3). בדיקה: (x - 2)(x - 3) = x² - 5x + 6.
(ג) הפרש ריבועים: x² - 9 = x² - 3² = (x - 3)(x + 3).

(א) 3x(2x + 3) · (ב) (x - 2)(x - 3) · (ג) (x - 3)(x + 3).

שאלה 3 · משוואה ריבועית בפירוק8 נקודות

פתרו בעזרת פירוק לגורמים: (א) x² - 7x + 12 = 0 ; (ב) x² - 9 = 0. כתבו את כל הפתרונות.

לחצו לפתרון המלא

(א) מחפשים שני מספרים שמכפלתם 12 וסכומם -7: -3 ו--4, ולכן (x - 3)(x - 4) = 0. מכפלה מתאפסת כשאחד הגורמים אפס: x - 3 = 0 או x - 4 = 0, כלומר x = 3 או x = 4.
(ב) הפרש ריבועים: (x - 3)(x + 3) = 0, ולכן x = 3 או x = -3 (כלומר x = ±3).

(א) x = 3 או x = 4 · (ב) x = ±3.

שאלה 4 · נוסחת השורשים8 נקודות

פתרו את המשוואה x² - 5x + 6 = 0 בעזרת נוסחת השורשים. חשבו תחילה את הדיסקרימיננטה, ואז את שני הפתרונות.

לחצו לפתרון המלא

מזהים מקדמים: a = 1, b = -5, c = 6. הדיסקרימיננטה: Δ = b² - 4ac = (-5)² - 4 · 1 · 6 = 25 - 24 = 1, ו-1 = 1. מציבים בנוסחה: x = (-b ± Δ) / (2a) = (5 ± 1) / 2, כלומר x = (5 + 1)/2 = 3 או x = (5 - 1)/2 = 2. (אותה תוצאה כמו הפירוק (x - 2)(x - 3) = 0.)

הפתרונות: x = 2 ו-x = 3.

שאלה 5 · חוקי החזקות8 נקודות

פשטו וחשבו: (א) x³ · x⁴ ; (ב) (x²)³ ; (ג) 2³ · 2⁴ (ערך מספרי). נמקו איזה חוק חזקות פועל בכל סעיף.

לחצו לפתרון המלא

(א) כפל חזקות באותו בסיס - מחברים מעריכים: 3 + 4 = 7, ולכן x³ · x⁴ = x⁷.
(ב) חזקת חזקה - מכפילים מעריכים: 2 · 3 = 6, ולכן (x²)³ = x⁶.
(ג) כפל חזקות באותו בסיס: 2³ · 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷, וערכו 2⁷ = 128.

(א) x⁷ · (ב) x⁶ · (ג) 128.

דוגמה 1

דוגמה 2

דוגמה 3

פרק א · רב-ברירה והקלדה

פרק א - שאלות אוטומטיות (60 נקודות)

ניקוד: 0 / 0

24 שאלות בארבעה סטים, מהקל אל הקשה, על כל נושאי הרבעון - חוקי חזקות, נוסחאות הכפל המקוצר, פירוק לגורמים, ומשוואות ריבועיות (2.5 נק׳ לשאלה). בשאלות הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ. בחרו או הקלידו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

שליטה

0חדש

0בלימוד

0בחזרה

0שולט

נקודות לבדיקה עצמית

1כפל מקוצר: (a ± b)² = a² ± 2ab + b² - האיבר האמצעי 2ab חובה.
2הפרש ריבועים: a² - b² = (a - b)(a + b).
3פירוק: קודם גורם משותף, ואז טרינום - שני מספרים שמכפלתם c וסכומם b.
4משוואה ריבועית: פירוק כשאפשר, אחרת x = (-b ± b² - 4ac) / (2a); Δ = b² - 4ac קובע כמה פתרונות.
5חזקות: כפל מחבר, חילוק מחסר, חזקת חזקה מכפילה - x³ · x⁴ = x⁷, (x²)³ = x⁶.

נושאי הרבעון במבט אחד
הנושא	הכלל	דוגמה
נוסחאות הכפל המקוצר	מרובעים כל איבר, מוסיפים אמצעי 2ab	(2x + 3)² = 4x² + 12x + 9
הפרש ריבועים	a² - b² = (a - b)(a + b)	x² - 25 = (x - 5)(x + 5)
פירוק לגורמים	גורם משותף, ואז מכפלה c וסכום b	x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
משוואה ריבועית	פירוק, או x = (-b ± b² - 4ac) / (2a)	x² - 5x + 6 = 0 ⟵ x = 2, 3
חוקי החזקות	כפל מחבר, חזקת חזקה מכפילה	x³ · x⁴ = x⁷ , (x²)³ = x⁶

מפתח פתרונות (תרגול)