נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · כיתה ט׳ חטיבת הביניים
מבחן רבעוני · רבעון ב׳ · מתמטיקה

מבחן רבעוני רבעון ב׳

המבחן מכסה את חומר הרבעון השני במתמטיקה לכיתה ט׳ - המשך אשכול האלגברה: הפונקציה הריבועית בשלושה ייצוגים (קודקוד (p, k), אפסים וציר סימטריה), אי-שוויונות ריבועיים (סימן הפרבולה - בין האפסים ומחוצה להם), שברים אלגבריים (צמצום בעזרת פירוק ותחום הצבה), משוואות עם נעלם במכנה (תחום וקבילות), וגאומטריה אנליטית (אורך קטע, שיפוע ושטח מרובע לפי קדקודיו). מבחן רבעוני · רבעון ב׳ · מתמטיקה · כיתה ט׳ · זמן 90 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה והקלדה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). פרק א נבדק אוטומטית במחשב; בפרק ב פתרו על דף ואז גלו את הפתרון המלא.

מבחן רבעוני רבעון ב׳ אשכול האלגברה מתמטיקה · כיתה ט׳ 90 דקות 100 נקודות פרק א · אוטומטי · 60 נק׳ פרק ב · שאלות פתוחות · 40 נק׳

חימום למבחן בחרו בכל שורה את התוצאה הנכונה, ואז בדקו

חימום לפני המבחן הרבעוני: בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה - מקריאת פרבולה בשלוש צורות, דרך אי-שוויון ריבועי וצמצום שבר אלגברי, ועד תחום הצבה ואורך קטע במערכת הצירים. השורה הראשונה - דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". פונקציה ריבועית · אי-שוויונות · שברים אלגבריים · נעלם במכנה · אנליטית.

כל הרבעון בשורה אחת. במבחן נקרא פרבולה בשלוש צורות (y = (x - 2)(x + 3) ⟵ אפסים 2 ו--3), נפתור אי-שוויון ריבועי לפי סימן הפרבולה (x² - x - 6 > 0 ⟵ x < -2 או x > 3), נצמצם שבר אלגברי ((x² - 9)/(x - 3) = x + 3), נבדוק תחום וקבילות במשוואה עם נעלם במכנה (1/(x - 3) = 2 ⟵ x = 3.5), ונחשב במערכת הצירים אורך קטע ושיפוע ((0, 0) ⟵ (3, 4) אורך הקטע 5). כל אלה נבדקים במבחן הרבעוני.

לפני שמתחילים

הוראות המבחן ומבנהו

לפניכם מבחן רבעוני על חומר הרבעון השני במתמטיקה: המשך אשכול האלגברה. מבנה המבחן: מבחן רבעוני · רבעון ב׳ · מתמטיקה · כיתה ט׳ · זמן 90 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה והקלדה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). בפרק א 24 שאלות בארבעה סטים, מהקל אל הקשה (2.5 נק׳ לשאלה) - חשבו, סמנו או הקלידו את התשובה, בדקו והמשיכו. בפרק ב חמש שאלות פתוחות (8 נק׳ כל אחת, סך 40 נק׳) - פתרו צעד אחר צעד על דף, ואז לחצו כדי לגלות את הפתרון המלא. בכל שלב מותר להיעזר במחשבון של נדב כץ. לפניכם תזכורת קצרה מנושאי הרבעון:

הפרבולה: קודקוד באמצע, אפסים בקצוות, וחיתוך עם ציר y
ציר סימטריה x = p קודקוד (p, k) נקודות אפס חיתוך עם ציר y (0, c)
דף תזכורת

שש כרטיסיות תזכורת לפני המבחן

תזכורת קצרה לנושאי הרבעון - הפונקציה הריבועית בשלוש צורות, אי-שוויונות ריבועיים, שברים אלגבריים, משוואות עם נעלם במכנה, וגאומטריה אנליטית - לפי דפי הלימוד של כיתה ט׳, לפני שניגשים לפרקי המבחן.

1

הפונקציה הריבועית - שלוש צורות

אותה פרבולה, שלוש כתיבות: סטנדרטית y = ax² + bx + c (חיתוך עם y ב-(0, c)), קודקודית y = (x - p)² + k (קודקוד (p, k)), ומכפלה y = a(x - x₁)(x - x₂) (אפסים x₁, x₂).

2

קודקוד, אפסים וציר סימטריה

ציר הסימטריה עובר באמצע שבין האפסים: x = x₁ + x₂2. למשל ל-y = (x - 2)(x + 3) האפסים הם 2 ו--3 והציר x = -0.5.

3

אי-שוויון ריבועי

מפרקים, מסמנים אפסים, ובודקים כיוון: בפרבולה כלפי מעלה > 0 נותן את הקטעים מחוץ לאפסים ו-< 0 את הקטע בין האפסים. למשל x² - x - 6 < 0 ⟵ -2 < x < 3.

4

שברים אלגבריים

מפרקים מונה ומכנה ומוחקים גורם משותף: (x - 3)(x + 3)x - 3 = x + 3. לא שוכחים את תחום ההצבה - כל ערך שמאפס את המכנה אסור (x ≠ 3).

5

משוואה עם נעלם במכנה

הסדר: תחום הצבה (מכנה ≠ 0) ⟵ ניקוי מכנה ⟵ פתרון ⟵ בדיקת קבילות. פתרון שנופל על ערך אסור אינו קביל ונמחק, למשל ב-x²x - 3 = 9x - 3 נשאר רק x = -3.

6

גאומטריה אנליטית

קטע שמקביל לציר: אורכו הוא הפרש השיעורים באותו כיוון. קטע אלכסוני: הוא היתר של משולש שניצביו |Δx| ו-|Δy|, ומפעילים את משפט פיתגורס - למשל מ-(0, 0) ל-(3, 4): 3² + 4² = 25, ולכן 5. ושיפוע m = ΔyΔx, לקביעת הקבלה.

< 0
בין האפסים - מתחת לציר
הפרבולה מתחת לציר ⟵ הפתרון בין האפסים
> 0 > 0
מחוץ לאפסים - מעל הציר
הפרבולה מעל הציר ⟵ הפתרון מחוץ לאפסים
פרק ב · שאלות פתוחות

פרק ב - שאלות פתוחות (40 נקודות)

ענו על חמש השאלות. בכל שאלה פתרו בעצמכם על דף - צעד אחר צעד, בדיוק כמו במבחן - ורק אז לחצו על "לחצו לפתרון המלא" כדי לבדוק. כל המספרים והכללים מבוססים על דפי הלימוד של הרבעון (המשך אשכול האלגברה) בכיתה ט׳.

שאלה 1 · הפונקציה הריבועית8 נקודות

נתונה הפרבולה y = (x - 2)(x + 3). מצאו: (א) את נקודות האפס ; (ב) את ציר הסימטריה ; (ג) את החיתוך עם ציר ה-y.

לחצו לפתרון המלא
(א) בצורת המכפלה כל גורם מתאפס בנפרד: x - 2 = 0 נותן x = 2, ו-x + 3 = 0 נותן x = -3. נקודות האפס הן 2 ו--3.
(ב) ציר הסימטריה עובר באמצע שבין האפסים: x = 2 + (-3)2 = -0.5.
(ג) החיתוך עם ציר ה-y מתקבל בהצבת x = 0: (0 - 2)(0 + 3) = (-2)(3) = -6, כלומר הנקודה (0, -6).
(א) אפסים 2 ו--3 · (ב) ציר x = -0.5 · (ג) חיתוך עם y ב-(0, -6).
שאלה 2 · אי-שוויונות ריבועיים8 נקודות

פתרו את שני האי-שוויונים והסבירו בעזרת הפרבולה: (א) x² - x - 6 > 0 ; (ב) x² - x - 6 < 0.

לחצו לפתרון המלא
מפרקים לגורמים: מחפשים שני מספרים שמכפלתם -6 וסכומם -1, ומקבלים x² - x - 6 = (x - 3)(x + 2). האפסים הם x = 3 ו-x = -2, והם מחלקים את ציר ה-x לשלושה קטעים. המקדם a = 1 > 0, ולכן הפרבולה נפתחת כלפי מעלה.
(א) > 0 - איפה הפרבולה מעל הציר: מחוץ לאפסים, כלומר x < -2 או x > 3.
(ב) < 0 - איפה הפרבולה מתחת לציר: בין האפסים, כלומר -2 < x < 3.
(א) x < -2 או x > 3 · (ב) -2 < x < 3.
שאלה 3 · שברים אלגבריים8 נקודות

בצעו וכתבו את תחום ההצבה: (א) צמצמו x² - 9x - 3 ; (ב) צמצמו x² - 4x² - 4x + 4 ; (ג) חברו 1x + 1x + 1.

לחצו לפתרון המלא
(א) המונה הוא הפרש ריבועים: x² - 9 = (x - 3)(x + 3), ולכן (x - 3)(x + 3)x - 3 = x + 3 בתנאי x ≠ 3.
(ב) מונה: x² - 4 = (x - 2)(x + 2) ; מכנה: x² - 4x + 4 = (x - 2)². מוחקים גורם (x - 2) אחד: (x - 2)(x + 2)(x - 2)² = x + 2x - 2 בתנאי x ≠ 2.
(ג) מכנה משותף x(x + 1): x + 1x(x + 1) + xx(x + 1) = 2x + 1x(x + 1) בתנאי x ≠ 0 ו-x ≠ -1.
(א) x + 3 (x ≠ 3) · (ב) x + 2x - 2 (x ≠ 2) · (ג) 2x + 1x(x + 1) (x ≠ 0, -1).
שאלה 4 · משוואה עם נעלם במכנה8 נקודות

פתרו וקבעו קבילות: (א) 1x - 3 = 2 ; (ב) x²x - 3 = 9x - 3.

לחצו לפתרון המלא
(א) תחום הצבה: x - 3 ≠ 0, כלומר x ≠ 3. מכפילים ב-(x - 3): 1 = 2(x - 3), ומכאן 1 = 2x - 6, 2x = 7, x = 3.5. הפתרון שונה מ-3, ולכן קביל.
(ב) תחום הצבה: שני המכנים x - 3, ולכן x ≠ 3. אותו מכנה בשני האגפים נותן x² = 9, כלומר x = 3 או x = -3. הערך x = 3 אסור (מאפס את המכנה) ולכן אינו קביל ונמחק, ונשאר רק x = -3.
(א) x = 3.5 (קביל) · (ב) x = -3 בלבד (x = 3 נמחק).
שאלה 5 · גאומטריה אנליטית8 נקודות

במערכת צירים נתונות הנקודות A = (2, 4), B = (6, 4) ו-C = (6, 7). (א) מהו אורך AB, ומדוע אפשר לקרוא אותו ישירות? (ב) מהו אורך AC? (ג) מהו שיפוע הישר העובר דרך (1, 2) ו-(4, 8), והאם הוא מקביל לישר שעובר דרך (0, 0) ו-(2, 4)?

לחצו לפתרון המלא
(א) ל-A ול-B אותו שיעור y, ולכן AB מקביל לציר x ואורכו הוא הפרש שיעורי ה-x: 6 - 2 = 4.
(ב) BC מקביל לציר y ואורכו 7 - 4 = 3, והזווית ב-B ישרה. לכן AC הוא היתר: 4² + 3² = 16 + 9 = 25, ומכאן AC = 5.
(ג) שיפוע: m = 8 - 24 - 1 = 63 = 2. הישר השני עובר דרך (0, 0) ו-(2, 4), ושיפועו 4 - 02 - 0 = 2 גם הוא. שיפועים שווים ⟵ הישרים מקבילים.
(א) AB = 4 · (ב) AC = 5 · (ג) m = 2 בשניהם, ולכן הם מקבילים.

דוגמה 1
    דוגמה 2
      דוגמה 3
        פרק א · רב-ברירה והקלדה

        פרק א - שאלות אוטומטיות (60 נקודות)

        ניקוד: 0 / 0

        24 שאלות בארבעה סטים, מהקל אל הקשה, על כל נושאי הרבעון - הפונקציה הריבועית, אי-שוויונות ריבועיים, שברים אלגבריים ומשוואות עם נעלם במכנה, וגאומטריה אנליטית (2.5 נק׳ לשאלה). בשאלות הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ. בחרו או הקלידו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.

        לוח המשחק

        דרכים לתרגל את הדף הזה

        המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

        0%
        שליטה
        0חדש
        0בלימוד
        0בחזרה
        0שולט

        נקודות לבדיקה עצמית

        • 1פרבולה: קודקוד (p, k) מצורת הקודקוד, אפסים x₁, x₂ מצורת המכפלה, וציר סימטריה x = (x₁ + x₂)/2.
        • 2אי-שוויון ריבועי: פרבולה כלפי מעלה - > 0 מחוץ לאפסים, < 0 בין האפסים; סימן חלש ≤ , ≥ כולל את האפסים.
        • 3שבר אלגברי: מפרקים ומצמצמים גורם משותף (x² - 9)/(x - 3) = x + 3, ורושמים תחום הצבה x ≠ 3.
        • 4נעלם במכנה: תחום ⟵ ניקוי מכנה ⟵ פתרון ⟵ בדיקת קבילות; פתרון שמאפס מכנה נמחק.
        • 5אנליטית: קטע מקביל לציר |Δx| או |Δy|; קטע אלכסוני הוא היתר, ומפעילים פיתגורס; שיפוע Δy/Δx לקביעת הקבלה.
        נושאי הרבעון במבט אחד
        הנושאהכללדוגמה
        הפונקציה הריבועיתקודקוד מצורה קודקודית, אפסים מצורת המכפלהy = (x - 2)(x + 3) ⟵ אפסים 2, -3
        אי-שוויון ריבועימעל מחוץ לאפסים, מתחת בין האפסיםx² - x - 6 < 0 ⟵ -2 < x < 3
        שברים אלגברייםמפרקים, מצמצמים גורם משותף, ותחום הצבה(x² - 9)/(x - 3) = x + 3 , x ≠ 3
        נעלם במכנהתחום, ניקוי מכנה, פתרון, בדיקת קבילות1/(x - 3) = 2 ⟵ x = 3.5
        גאומטריה אנליטיתאורך קטע (פיתגורס) ושיפוע מ-Δx ו-Δy(0, 0) ⟵ (3, 4) : 5
        מפתח פתרונות (תרגול)

          היי! זהו מבחן רבעוני במתמטיקה על המשך אשכול האלגברה - הפונקציה הריבועית, אי-שוויונות ריבועיים, שברים אלגבריים, משוואות עם נעלם במכנה וגאומטריה אנליטית. פרק א רב-ברירה והקלדה נבדק אוטומטית, ובפרק ב פתרו לעצמכם ואז גלו את הפתרון המלא. בהצלחה!

          תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי