מבחן נושא · ריבועיים

מבחן נושא הפונקציה והמשוואה הריבועית

מבחן נושא זה מתמקד ביחידה אחת בלבד - ומעמיק בה עד הסוף: המשוואה הריבועית ונוסחת השורשים, הפונקציה הריבועית בשלושת ייצוגיה (סטנדרטי, קודקודי ומכפלה), האי-שוויון הריבועי, וחיתוך בין גרפים. השאלות מסודרות מהקל אל הקשה, כולן בתוך עולם הפרבולה. מבחן נושא · הפונקציה והמשוואה הריבועית · מתמטיקה · כיתה ט׳ · זמן 90 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה והקלדה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). פרק א נבדק אוטומטית במחשב; בפרק ב פתרו על דף ואז גלו את הפתרון המלא.

מבחן נושא ריבועיים משוואה · פונקציה · אי-שוויון · חיתוך מתמטיקה · כיתה ט׳ 90 דקות 100 נקודות פרק א · אוטומטי · 60 נק׳ פרק ב · שאלות פתוחות · 40 נק׳

חימום למבחן בחרו בכל שורה את התוצאה הנכונה, ואז בדקו

חימום למבחן הנושא ביחידת הריבועיים: בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה - מקריאת הפרבולה ופתרון המשוואה, דרך הדיסקרימיננטה והאי-שוויון ועד חיתוך בין גרפים. השורה הראשונה - דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". פונקציה · משוואה · אי-שוויון · חיתוך גרפים.

פרבולה אחת, יחידה שלמה. אותה משוואה ריבועית ax² + bx + c = 0 נפתרת בפירוק (x² - 5x + 6 = 0 → x = 2, 3) או בנוסחת השורשים x = (-b ± b² - 4ac) / (2a); הדיסקרימיננטה Δ = b² - 4ac מגלה מראש כמה פתרונות (וכמה חיתוכים עם ציר ה-x). אותה פרבולה נכתבת בשלוש צורות - קודקוד (p, k), אפסים x₁, x₂, וחיתוך עם y ב-(0, c). וכשמבקשים x² - x - 6 > 0 או חיתוך של y = x² עם ישר - הכול חוזר לאותה פרבולה. זה כל המבחן.

לפני שמתחילים

הוראות המבחן ומבנהו

לפניכם מבחן נושא המתמקד ביחידת הריבועיים כולה - לעומק ובסדר עולה. מבנה המבחן: מבחן נושא · הפונקציה והמשוואה הריבועית · מתמטיקה · כיתה ט׳ · זמן 90 דקות · 100 נקודות · מבנה: פרק א רב-ברירה והקלדה (60 נק׳), פרק ב שאלות פתוחות (40 נק׳). בפרק א 24 שאלות בארבעה סטים, מהקל אל הקשה (2.5 נק׳ לשאלה) - חשבו, סמנו או הקלידו את התשובה, בדקו והמשיכו. בפרק ב חמש שאלות פתוחות (8 נק׳ כל אחת, סך 40 נק׳) - פתרו צעד אחר צעד על דף, ואז לחצו כדי לגלות את הפתרון המלא. בכל שלב מותר להיעזר במחשבון של נדב כץ. הנה הפרבולה שכל המבחן סובב סביבה:

אנטומיה של פרבולה: אפסים, קודקוד, ציר סימטריה וחיתוך עם y

דף תזכורת

שש כרטיסיות תזכורת לפני המבחן

תזכורת קצרה לכל חלקי יחידת הריבועיים - הפונקציה בשלוש צורות, פתרון המשוואה בפירוק ובנוסחת השורשים, הדיסקרימיננטה, האי-שוויון הריבועי וחיתוך בין גרפים - לפי דפי הלימוד של כיתה ט׳, לפני שניגשים לפרקי המבחן.

הפונקציה בשלוש צורות

אותה פרבולה, שלוש כתיבות: סטנדרטי y = ax² + bx + c (חיתוך עם y ב-(0, c)), קודקודי y = (x - p)² + k (קודקוד (p, k)), ומכפלה y = a(x - x₁)(x - x₂) (אפסים x₁, x₂).

פתרון המשוואה הריבועית

אם אפשר לפרק - זו הדרך הקצרה: x² - 5x + 6 = 0 → (x - 2)(x - 3) = 0 → x = 2, 3. אחרת נוסחת השורשים עובדת תמיד: x = (-b ± b² - 4ac) / (2a).

הדיסקרימיננטה

Δ = b² - 4ac קובעת כמה פתרונות - וכמה חיתוכים עם ציר ה-x: חיובית → שני פתרונות, אפס → פתרון יחיד (הפרבולה משיקה), שלילית → אין פתרון ממשי (הפרבולה לא חוצה).

אי-שוויון ריבועי

מפרקים, מסמנים אפסים, ומסתכלים על הפרבולה: כלפי מעלה > 0 מחוץ לאפסים ו-< 0 ביניהם. סימן חלש (≤, ≥) כולל את האפסים, למשל x² - 4 ≤ 0 → -2 ≤ x ≤ 2.

חיתוך בין גרפים

נקודת חיתוך שייכת לשני הגרפים, ולכן משווים את הביטויים: x² = x + 2 → x² - x - 2 = 0. פותרים את הריבועית, ומציבים כל שורש חזרה כדי למצוא את y.

קריאת הפרבולה

ציר הסימטריה עובר באמצע האפסים: x = (x₁ + x₂) / 2. בצורת הקודקוד עם k > 0 ופתיחה כלפי מעלה אין חיתוך עם ציר ה-x - הקודקוד מרחף מעליו, למשל y = (x - 4)² + 2.

שני פתרונות (Δ > 0)

Δ > 0: הפרבולה חוצה פעמיים - שני פתרונות

אין פתרון ממשי (Δ < 0)

Δ < 0: הפרבולה לא נוגעת בציר - אין פתרון ממשי

פרק ב · שאלות פתוחות

פרק ב - שאלות פתוחות (40 נקודות)

ענו על חמש השאלות. בכל שאלה פתרו בעצמכם על דף - צעד אחר צעד, בדיוק כמו במבחן - ורק אז לחצו על "לחצו לפתרון המלא" כדי לבדוק. כל המספרים והכללים מבוססים על דפי הלימוד של יחידת הריבועיים בכיתה ט׳.

שאלה 1 · המשוואה הריבועית8 נקודות

פתרו את המשוואה x² - 7x + 12 = 0 בשתי דרכים: (א) בפירוק לגורמים ; (ב) בנוסחת השורשים, כולל חישוב הדיסקרימיננטה. ודאו שקיבלתם את אותם פתרונות.

לחצו לפתרון המלא

(א) פירוק: מחפשים שני מספרים שמכפלתם 12 וסכומם -7 (שניהם שליליים): -3 ו--4, ולכן (x - 3)(x - 4) = 0. מכפלה מתאפסת כשאחד הגורמים אפס, ולכן x = 3 או x = 4.
(ב) נוסחת השורשים: מזהים a = 1, b = -7, c = 12. הדיסקרימיננטה Δ = b² - 4ac = (-7)² - 4 · 1 · 12 = 49 - 48 = 1, ו-1 = 1. מציבים: x = (7 ± 1) / 2, כלומר x = 4 או x = 3 - בדיוק כמו הפירוק.

הפתרונות: x = 3 ו-x = 4 (בשתי הדרכים).

שאלה 2 · ניתוח הפרבולה8 נקודות

נתונה הפונקציה y = x² - 4x + 3. מצאו: (א) את נקודות האפס ; (ב) את ציר הסימטריה ; (ג) את הקודקוד ; (ד) את החיתוך עם ציר ה-y.

לחצו לפתרון המלא

(א) אפסים: מפרקים - מכפלה 3, סכום -4: x² - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3), ולכן x = 1 ו-x = 3.
(ב) ציר סימטריה: באמצע האפסים: x = (1 + 3) / 2 = 2.
(ג) קודקוד: שיעור ה-x הוא 2, ומציבים: y = 2² - 4 · 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1, ולכן הקודקוד (2, -1).
(ד) חיתוך עם y: מציבים x = 0: y = c = 3, כלומר הנקודה (0, 3).

אפסים 1 ו-3 · ציר x = 2 · קודקוד (2, -1) · חיתוך עם y ב-(0, 3).

שאלה 3 · אי-שוויון ריבועי8 נקודות

פתרו את האי-שוויון x² - x - 6 > 0. פרקו לגורמים, סמנו את האפסים, קבעו את כיוון הפרבולה, וכתבו את הפתרון.

לחצו לפתרון המלא

פירוק: מחפשים שני מספרים שמכפלתם -6 וסכומם -1: -3 ו-2, ולכן (x - 3)(x + 2) > 0.
אפסים: x = 3 ו-x = -2 - הם מחלקים את ציר ה-x לשלושה קטעים.
כיוון: a = 1 > 0, הפרבולה נפתחת כלפי מעלה, ולכן היא חיובית (> 0) מחוץ לאפסים.

הפתרון: x < -2 או x > 3.

שאלה 4 · חיתוך פרבולה וישר8 נקודות

מצאו את נקודות החיתוך של הפרבולה y = x² עם הישר y = x + 2. השוו את הביטויים, פתרו את המשוואה הריבועית, והציבו חזרה כדי למצוא את y.

לחצו לפתרון המלא

השוואת ביטויים: בנקודת חיתוך ערכי ה-y שווים, ולכן x² = x + 2.
מסדרים לריבועית: x² - x - 2 = 0, ומפרקים ל-(x - 2)(x + 1) = 0, כלומר x = 2 או x = -1.
הצבה חזרה בישר y = x + 2: עבור x = 2 מקבלים y = 4, ועבור x = -1 מקבלים y = 1.

נקודות החיתוך: (2, 4) ו-(-1, 1).

שאלה 5 · מצורת הקודקוד8 נקודות

נתונה הפרבולה y = (x - 4)² - 9. מצאו: (א) את הקודקוד ואת ציר הסימטריה ; (ב) את נקודות האפס ; (ג) את החיתוך עם ציר ה-y.

לחצו לפתרון המלא

(א) קודקוד וציר: זו צורת הקודקוד y = (x - p)² + k עם p = 4 ו-k = -9, ולכן הקודקוד (4, -9) וציר הסימטריה x = 4.
(ב) אפסים: מאפסים - (x - 4)² - 9 = 0, כלומר (x - 4)² = 9, ולכן x - 4 = ±3: x = 7 או x = 1.
(ג) חיתוך עם y: מציבים x = 0: (0 - 4)² - 9 = 16 - 9 = 7, כלומר הנקודה (0, 7).

קודקוד (4, -9), ציר x = 4 · אפסים 1 ו-7 · חיתוך עם y ב-(0, 7).

דוגמה 1

דוגמה 2

דוגמה 3

פרק א · רב-ברירה והקלדה

פרק א - שאלות אוטומטיות (60 נקודות)

ניקוד: 0 / 0

24 שאלות בארבעה סטים, מהקל אל הקשה, על כל חלקי יחידת הריבועיים - קריאת הפרבולה, המשוואה והדיסקרימיננטה, האי-שוויון הריבועי, וחיתוך בין גרפים (2.5 נק׳ לשאלה). בשאלות הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ. בחרו או הקלידו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

שליטה

0חדש

0בלימוד

0בחזרה

0שולט

נקודות לבדיקה עצמית

1שלוש צורות: סטנדרטי y = ax² + bx + c (חיתוך עם y ב-(0, c)), קודקודי (x - p)² + k (קודקוד (p, k)), ומכפלה (אפסים x₁, x₂).
2פתרון המשוואה: פירוק כשאפשר, אחרת x = (-b ± b² - 4ac) / (2a).
3דיסקרימיננטה: Δ = b² - 4ac - חיובי שניים, אפס אחד (משיק), שלילי אפס.
4אי-שוויון: כלפי מעלה > 0 מחוץ לאפסים, < 0 ביניהם; סימן חלש כולל את האפסים.
5חיתוך גרפים: משווים ביטויים x² = x + 2, פותרים ריבועית, ומציבים חזרה ל-y.

יחידת הריבועיים במבט אחד
הנושא	הכלל	דוגמה
המשוואה הריבועית	פירוק, או x = (-b ± b² - 4ac) / (2a)	x² - 5x + 6 = 0 → x = 2, 3
הדיסקרימיננטה	Δ = b² - 4ac קובעת כמה פתרונות	x² + x + 1 = 0 → Δ = -3 → אין
הפונקציה בשלוש צורות	קודקוד (p, k), אפסים x₁, x₂, חיתוך (0, c)	y = x² - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)
אי-שוויון ריבועי	מחוץ לאפסים / בין האפסים לפי הסימן	x² - x - 6 > 0 → x < -2 או x > 3
חיתוך בין גרפים	משווים ביטויים ופותרים ריבועית	y = x² , y = x + 2 → (2, 4), (-1, 1)

מפתח פתרונות (תרגול)