לחתוך את הכפל, ולפרק את החילוק
שני התרגילים שנראים הכי מפחידים בכיתה ד׳ הם בעצם אותו רעיון משני צדדים. בכפל נצייר מלבן ונחתוך אותו לארבעה אריחים קטנים, וכל אריח הוא תרגיל שאתם כבר יודעים בעל פה. בחילוק ארוך נעשה בדיוק את ההפך: נפרק את המספר הגדול לאלפים, למאות ולעשרות, ונחלק חלק אחרי חלק. בדרך נכיר את השארית ונגלה שהמשמעות שלה תלויה בסיפור, נזכיר למה אסור לחלק ב-0, ונסגור בסדר הפעולות, שהוא מה שמחזיק ביטוי אחד שבו יש גם כפל וגם חיבור וגם סוגריים.
בפרק 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות שבהן כותבים ומנמקים. לכל שאלה סגורה יש הסבר שנפתח מיד אחרי הבדיקה.
חזרה לשער החוברת
תרגיל קשה שהוא בעצם תרגיל קל, פחות קצת. כמה זה 7 × 99? אפשר לפתור במאונך, ואפשר לשים לב ש-99 הוא כמעט 100. 7 × 100 הם 700, וזה בעל פה. אבל לקחנו 7 פעמים אחד יותר מדי, ולכן מורידים 7 ומקבלים 693. שנייה אחת במקום תרגיל שלם. וזה עובד תמיד: כשמספר קרוב למספר עגול, כדאי לעבור דרך העגול, ואז לתקן.
מלבן שנחתך, ומספר שמתפרק
כפל הוא שטח. את 34 × 26 אפשר לצייר כמלבן שאורכו 34 ורוחבו 26. עכשיו מפרקים כל צלע לפי ערך המקום, 30 + 4 ו-20 + 6, ושני קווים חוצים מחלקים את המלבן לארבעה אריחים: 30 × 20 = 600, 30 × 6 = 180, 4 × 20 = 80 ו-4 × 6 = 24. מחברים את הארבעה ומקבלים 884. השטח לא השתנה, רק פירקנו אותו לחתיכות שיודעים בעל פה. חילוק ארוך הוא אותו רעיון הפוך: במקום להרכיב, מפרקים. עובדים משמאל לימין, שואלים כמה פעמים המחלק נכנס בחלק שלפנינו, כותבים את הספרה במנה בדיוק מעל המקום שלה, מכפילים בחזרה, מחסרים, ומורידים למטה את הספרה הבאה. אם בסוף נשאר משהו שכבר לא מספיק למנה שלמה, זו השארית, והיא תמיד קטנה מן המחלק. ולבסוף, כשבתרגיל אחד יש כמה פעולות, סדר הפעולות מכריע: קודם סוגריים, אחר כך כפל וחילוק, ורק בסוף חיבור וחיסור.
| × | 30 | 4 |
| 20 | 600 | 80 |
| 6 | 180 | 24 |
| 8 | 3 | |||
| 12 | 1 | 0 | 0 | 0 |
- ב-1 וב-10 המחלק אינו נכנס אף פעם.
- ב-100 הוא נכנס 8 פעמים (96), ונשאר 4.
- מורידים ספרה, מקבלים 40, ובו הוא נכנס 3 פעמים (36).
- אין עוד ספרות, ולכן 4 הוא השארית.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות את כל מה שהפרק הזה בודק.
עשרות ומאות שלמות
כופלים את הספרות ומצרפים את האפסים: 40 × 700 הוא 4 × 7 = 28 ועוד שלושה אפסים, כלומר 28,000.
מלבן וארבעה אריחים
מפרקים כל צלע לפי ערך המקום, מחשבים ארבע מכפלות קטנות, ומחברים. אף אריח לא נשכח.
דרך מספר עגול
8 × 199 הוא 8 × 200 פחות 8, כלומר 1,592. תיקון אחד בכיוון ההפוך.
המנה מעל המקום
בחילוק ארוך כל ספרה במנה יושבת מעל המקום שממנו היא באה. ספרה שזזה בית אחד משנה את התשובה פי 10.
שארית קטנה מן המחלק
אם השארית הגיעה לגודל המחלק, אפשר עוד מנה שלמה. בדיקה: מנה × מחלק + שארית = מחולק.
סדר הפעולות
קודם סוגריים, אחר כך כפל וחילוק, ובסוף חיבור וחיסור. ואסור לחלק ב-0 לעולם.
שלוש דוגמאות פתורות
כפל דו ספרתי דרך מודל המלבן, חילוק ארוך שנשארת בו שארית, וביטוי אחד שיש בו סוגריים, כפל וחילוק.
- מציירים מלבן שאורכו 36 ורוחבו 24, ומפרקים כל צלע: 30 + 6 ו-20 + 4.
- שני קווים חוצים מחלקים את המלבן לארבעה אריחים, ולכל אריח מכפלה קטנה משלו.
- 30 × 20 = 600 · 30 × 4 = 120 · 6 × 20 = 120 · 6 × 4 = 24.
- מחברים את ארבעת האריחים: 600 + 120 + 120 + 24 = 864.
- 864. שימו לב שהאריח הגדול, 600, הוא כבר יותר משני שלישים מן התשובה, ולכן הוא גם אומדן מהיר.
- זהו התרגיל 1,000 : 12, ופותרים אותו בחילוק ארוך משמאל לימין.
- ב-1 וב-10 המחלק 12 אינו נכנס אפילו פעם אחת, ולכן מתחילים מ-100.
- 12 נכנס ב-100 שמונה פעמים (12 × 8 = 96), נשאר 4, וכותבים 8 מעל בית העשרות.
- מורידים את הספרה הבאה ומקבלים 40. 12 נכנס בו שלוש פעמים (12 × 3 = 36), נשאר 4, וכותבים 3 מעל בית היחידות.
- אין עוד ספרות להוריד, ולכן 4 הוא השארית. בדיקה: 83 × 12 + 4 = 1,000.
- 83 חבילות מלאות, ונשארות 4 חוברות. ואם רוצים שאף חוברת לא תישאר בחוץ, צריך 84 חבילות, והאחרונה תהיה חלקית. הסיפור, ולא החשבון, הוא שקובע.
- מדרגה ראשונה, סוגריים: 85 − 45 = 40. הביטוי הופך ל-40 × 7 + 120 : 4.
- מדרגה שנייה, כפל וחילוק: 40 × 7 = 280, וגם 120 : 4 = 30. שתיהן באותה מדרגה, ולכן אין חשיבות למי מהן מחשבים קודם.
- הביטוי הופך ל-280 + 30.
- מדרגה שלישית, חיבור: 280 + 30 = 310.
- 310. מי שהיה מחבר 280 ל-120 לפני החילוק היה מקבל 100, וזו בדיוק הטעות שסדר הפעולות מונע.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות, מהקל אל הקשה: קודם כפל ופירוק, אחר כך חילוק ושארית, ולבסוף סט מאתגר של סדר פעולות ובעיות רב שלביות. אחריהם סט רביעי, משימות פתוחות: שם כותבים בעצמכם, ובלחיצה נפתחות תשובה לדוגמה ואמות מידה לבדיקה עצמית. המשימות הפתוחות אינן נספרות בציון, כי לתשובה שלכם יכולות להיות כמה צורות נכונות.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1כפל הוא שטח: מפרקים לפי ערך המקום, ומחברים ארבעה אריחים.
- 2דרך מספר עגול: כשהמספר כמעט עגול, עוברים דרכו ואז מתקנים.
- 3חילוק ארוך: משמאל לימין, והמנה יושבת מעל המקום שלה.
- 4שארית: תמיד קטנה מן המחלק, ומשמעותה תלויה בסיפור.
- 5סדר פעולות: סוגריים, אחר כך כפל וחילוק, ובסוף חיבור וחיסור.
