הנדסה, מדידות ונתונים
הפרק האחרון בחוברת אוסף את כל מה שנמדד בכיתה ד׳. נתחיל בצורות ובתכונות שלהן: מיון משולשים, ריבוע ומלבן, אלכסונים וקווי סימטרייה. נמשיך למדידות: שטח והיקף של מלבן, נפח ושטח פנים של תיבה, ויחידות אורך שמסודרות כמו סולם. ונסיים בנתונים ובסיכויים: לקרוא דיאגרמת עמודות, לבנות אחת, ולהבדיל בין מה שוודאי, מה אפשרי ומה בלתי אפשרי.
בפרק הזה 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות שבהן כותבים ומנמקים. לכל שאלה סגורה יש הסבר משלה שנפתח מיד אחרי הבדיקה.
חזרה לשער החוברת
שטח והיקף אינם הולכים יחד. קחו מלבן 8 × 3: השטח שלו 24 סמ״ר וההיקף 22 ס״מ. עכשיו הזיזו קצת: מלבן 6 × 4 - השטח נשאר 24 סמ״ר, אבל ההיקף ירד ל-20 ס״מ. אותו שטח בדיוק, והיקף אחר. הסיבה היא ששטח סופר משבצות בפנים, והיקף מודד את הגדר סביב. שני דברים שונים, שתי יחידות שונות, ואין שום סיבה שינועו יחד.
לפני שמחשבים, שואלים: מה בדיוק נמדד כאן
כל שאלת מדידה מתחילה בזיהוי מה מבקשים, כי הנוסחה והיחידה נגזרות מזה. היקף הוא אורך הקו שמקיף את הצורה, ולכן מחברים אורכים ומודדים בס״מ: במלבן 2 × (אורך + רוחב). שטח הוא כמה משבצות ממלאות את הצורה, ולכן כופלים ומודדים בסמ״ר: במלבן אורך × רוחב. נפח הוא כמה קוביות ממלאות את הגוף, ולכן כופלים שלוש מידות ומודדים בסמ״ק: בתיבה אורך × רוחב × גובה. ושטח פנים של תיבה אינו הנפח: פורשים את התיבה לשש פאות, מחשבים שטח של כל אחת ומחברים. בתיבה יש שלושה זוגות פאות זהות, ולכן 2 × (א×ר + א×ג + ר×ג). ומעל הכול היחידות: ס״מ, סמ״ר וסמ״ק אינם אותה יחידה, ותשובה בלי יחידה נכונה אינה תשובה שלמה. גם ביחידות האורך הסדר קבוע כמו סולם: 1 ק״מ = 1,000 מ׳, 1 מ׳ = 100 ס״מ, 1 ס״מ = 10 מ״מ.
היקף
אורך הקו סביב הצורה. מחברים אורכים.
שטח
כמה משבצות ממלאות את הצורה. כופלים שתי מידות.
נפח
כמה קוביות ממלאות את הגוף. כופלים שלוש מידות.
שטח פנים
סכום שש הפאות של התיבה, בשלושה זוגות זהים.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות בדיוק את מה שהפרק הזה בודק.
שני שמות למשולש
ממיינים לפי צלעות (שווה צלעות, שווה שוקיים, שונה צלעות) וגם לפי זוויות (חד, ישר, קהה). לכל משולש שם מכל רשימה.
ריבוע הוא מלבן
במלבן ארבע זוויות ישרות וצלעות נגדיות שוות. בריבוע יש בנוסף כל הצלעות שוות, ולכן כל ריבוע הוא מלבן, אבל לא להפך.
אלכסון
קטע שמחבר שני קדקודים שאינם שכנים. במשולש אין אף אחד, במרובע יש 2, ובמחומש יש 5.
שטח מול היקף
שטח מלבן א × ר בסמ״ר, והיקפו 2 × (א + ר) בס״מ. אפשר שיהיה שטח שווה והיקף שונה.
תיבה
נפח א × ר × ג בסמ״ק. שטח פנים הוא סכום שש הפאות, כלומר 2 × (א×ר + א×ג + ר×ג) בסמ״ר.
סולם היחידות
1 ק״מ = 1,000 מ׳, 1 מ׳ = 100 ס״מ, 1 ס״מ = 10 מ״מ. כל שלב קטן פי 10 מזה שמעליו.
שלוש דוגמאות פתורות
היקף שממנו חוזרים אל הרוחב, שטח פנים של תיבה שאינו הנפח שלה, וקריאה של דיאגרמת עמודות כפולה.
- ההיקף בנוי משני אורכים ושני רוחבים, כלומר 2 × (אורך + רוחב).
- לכן חצי מההיקף הוא אורך אחד ורוחב אחד יחד: 30 : 2 = 15 ס״מ.
- מתוך ה-15 האורך תופס 9, ולכן הרוחב הוא 15 − 9 = 6 ס״מ.
- בדיקה: 2 × (9 + 6) = 2 × 15 = 30. מתאים לנתון.
- הרוחב 6 ס״מ. שימו לב שהשטח כאן הוא 9 × 6 = 54 סמ״ר, וזה מספר אחר לגמרי.
- נייר עוטף את הפאות, ולכן זו שאלת שטח פנים ולא שאלת נפח.
- לתיבה שש פאות, בשלושה זוגות זהים. מחשבים פאה אחת מכל זוג.
- 4 × 3 = 12 סמ״ר, 4 × 2 = 8 סמ״ר, 3 × 2 = 6 סמ״ר.
- מחברים ומכפילים בשניים: 12 + 8 + 6 = 26, ואז 26 × 2 = 52 סמ״ר.
- 52 סמ״ר. הנפח של אותה תיבה הוא 4 × 3 × 2 = 24 סמ״ק - מספר אחר, ויחידה אחרת.
- בדיאגרמה כפולה כל חודש מקבל שתי עמודות, אחת לכל שנה, וההשוואה היא בין גובהי העמודות.
- הפער בינואר: 120 − 90 = 30 מ״מ.
- הפער בפברואר: 70 − 50 = 20 מ״מ.
- 30 גדול מ-20, ולכן ינואר. ובכמה? 30 − 20 = 10 מ״מ.
- בינואר, והפער שם גדול ב-10 מ״מ מזה של פברואר. שימו לב שבינואר השנה השנייה גבוהה יותר, ובפברואר דווקא הראשונה.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות, מהקל אל הקשה: קודם צורות ותכונותיהן, אחר כך מדידות של שטח, היקף, נפח ויחידות אורך, ולבסוף סט מאתגר של זמן, נתונים וסיכויים. אחריהם סט רביעי, משימות פתוחות: שם כותבים בעצמכם, ובלחיצה נפתחות תשובה לדוגמה ואמות מידה לבדיקה עצמית. המשימות הפתוחות אינן נספרות בציון, כי לתשובה שלכם יכולות להיות כמה צורות נכונות.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1לכל משולש שני שמות: אחד לפי צלעות ואחד לפי זוויות.
- 2אלכסון: מחבר קדקודים שאינם שכנים. במרובע 2, במחומש 5.
- 3שטח והיקף אינם קשורים: אותו שטח יכול לתת היקפים שונים.
- 4תיבה: נפח כופל שלוש מידות, ושטח פנים מחבר שש פאות.
- 5יחידות: ס״מ, סמ״ר וסמ״ק אינם אותו דבר, ותשובה בלי יחידה חסרה.
- 6סיכויים: ודאי, אפשרי ובלתי אפשרי, ואפשר גם להשוות מי סביר יותר.
