שני הצדדים של האפס, ומה קורה כשמחשבים בהם
זה הפרק שפותח את החוברת, והוא גם הפרק שכיתה ז׳ עצמה נפתחה בו. עד כיתה ו׳ כל המספרים ישבו בצד אחד של האפס. בכיתה ז׳ נפתח הצד השני, ואיתו נפתחו גם ארבע שאלות חדשות: מי גדול ממי כשהשניים שליליים, מה קורה כשמחסרים מספר שלילי, איזה סימן יוצא למכפלה, ולמה מינוס שבתוך הסוגריים ומינוס שמחוץ להן אינם אותו דבר. בפרק הזה נסדר את כל אלה, נוסיף חזקות ושורש ריבועי, ונחזור לסדר הפעולות כשיש בו גם שליליים.
בפרק 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות שבהן כותבים ומנמקים. לכל שאלה סגורה יש הסבר שנפתח מיד אחרי הבדיקה.
חזרה לשער החוברת
אותו שלוש, אותו סימן מינוס, ושתי תשובות הפוכות. כתבו −3² וכתבו (−3)². בביטוי הראשון הבסיס הוא 3 בלבד, המינוס נשאר בחוץ ומחכה שהחזקה תסתיים, ולכן התוצאה שלילית. בביטוי השני המינוס נכנס פנימה והבסיס כולו הוא −3, כך ששני גורמים שליליים נפגשים והתוצאה חיובית. ההבדל היחיד הוא זוג סוגריים, וההפרש בין שתי התוצאות הוא 18.
שתי שאלות שכדאי לשאול לפני כל תרגיל
השאלה הראשונה: מה הסימן של התוצאה? בחיבור ובחיסור הכיוון הוא שמכריע. חיבור של ערך חיובי הוא צעד ימינה על הציר, חיבור של ערך שלילי הוא צעד שמאלה, וחיסור הופך את הכיוון. לכן לחסר ערך שלילי הוא לצעוד ימינה, והתוצאה גדלה. בכפל ובחילוק הסימן נקבע בלי לחשב כלל: סימנים זהים נותנים תוצאה חיובית, סימנים מנוגדים נותנים תוצאה שלילית, ובשרשרת של גורמים מספיק לספור כמה מהם שליליים. מספר זוגי של גורמים שליליים → חיובי, מספר אי-זוגי → שלילי.
השאלה השנייה: מה בכלל הבסיס? ערך מוחלט מודד מרחק מן האפס, ולכן הוא לעולם אינו שלילי, ושני ערכים נגדיים חולקים אותו ערך מוחלט בדיוק. בחזקה, הסוגריים הם שקובעים אם הבסיס הוא המספר לבדו או המספר עם הסימן שלו. ובסדר הפעולות אין שינוי לעומת כיתה ו׳: קודם סוגריים, אחריהם חזקות ושורשים, אחריהם כפל וחילוק, ורק בסוף חיבור וחיסור.
חיבור
מתחילים במקום של הערך הראשון וצועדים. ערך חיובי מזיז ימינה, ערך שלילי מזיז שמאלה.
חיסור
חיסור הופך את הכיוון של הצעד. לכן חיסור של ערך שלילי מזיז ימינה, והתוצאה גדלה.
כפל
הסימן נקבע לפני הגודל. סופרים כמה גורמים שליליים יש בשרשרת, ומכריעים לפי זוגיות.
חילוק
אותו כלל סימנים בדיוק כמו בכפל. המחלק לבדו כפוף לתנאי אחד: אסור לו להיות אפס.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות את מה שהפרק הזה בודק. כדאי לחזור אליהן אחרי כל סט.
סדר על הציר
ככל שהולכים ימינה הערך גדל. לכן −2 גדול מ-−9, אף ששתיים קטן מתשע. בשליליים, מי שנראה גדול הוא דווקא הקטן.
ערך נגדי
שני ערכים נגדיים נמצאים במרחק שווה מן האפס, אחד מכל צד. כשמצרפים אותם מגיעים בדיוק חזרה לאפס, וזו כל המשמעות של המילה נגדי.
ערך מוחלט
מודד מרחק ולא כיוון, ולכן אינו שלילי לעולם. לערך ולנגדי שלו אותו ערך מוחלט, ולכן שוויון בערך מוחלט אינו שוויון בין המספרים עצמם.
חיסור של שלילי
לחסר ערך שלילי זה להפוך כיוון פעמיים, ולכן זה שקול לחיבור. זו הסיבה שהתוצאה גדלה דווקא בפעולת חיסור, וזו הטעות הנפוצה ביותר בפרק.
סימן המכפלה
ספרו כמה גורמים שליליים יש. זוגי → חיובי, אי-זוגי → שלילי. הכלל תקף גם לחילוק, ומאפשר להכריע סימן בלי לחשב.
חזקה ושורש
בחזקה הבסיס נכפל בעצמו כמספר הפעמים שבמעריך. השורש הריבועי החיובי הוא הפעולה ההפוכה, ובכיתה ז׳ מחלצים אותו רק מריבוע שלם.
שלוש דוגמאות פתורות
חיסור של שלילי, שרשרת סימנים בלי לחשב, וסדר פעולות שיש בו חזקה ושורש.
- מזהים את המבנה: מחסרים ערך שלילי, ולכן צפויה תוצאה גדולה מן המספר שהתחלנו בו.
- חיסור הופך את הכיוון. לחסר −11 זה לצעוד 11 צעדים ימינה, ולא שמאלה.
- אפשר לכתוב זאת כחיבור: −4 + 11.
- מתחילים ב-−4, מטפסים ארבעה צעדים עד לאפס, ונשארים עוד שבעה.
- התוצאה 7. שימו לב שהיא גדולה מ-−4, למרות שהפעולה נקראת חיסור.
- בכפל אין צורך בגודל כדי להכריע סימן. סופרים כמה גורמים שליליים יש בשרשרת.
- הגורמים השליליים כאן הם −2, −5 ו-−1, כלומר שלושה.
- שלושה הוא מספר אי-זוגי, ולכן נשאר מינוס אחד שאין לו בן זוג להתבטל איתו.
- בודקים את ההיגיון בזוגות: שני השליליים הראשונים נותנים חיובי, והשלישי הופך אותו לשלילי.
- הסימן שלילי. הגודל כאן כלל לא היה דרוש להכרעה.
- סדר הפעולות: קודם מה שבתוך הסוגריים ואחריו חזקות ושורשים, אחר כך כפל, ורק בסוף חיבור וחיסור.
- (−3)²: הסוגריים לקחו את המינוס פנימה, שני גורמים שליליים, ולכן 9.
- 16 הוא 4, כי 4 בריבוע הוא 16. השורש הריבועי שאנחנו לוקחים הוא החיובי.
- עכשיו הכפל: 2 × 9 נותן 18. הביטוי הפך ל-−5 + 18 − 4.
- משמאל לימין: −5 + 18 נותן 13, ואז יורדים ב-4.
- התוצאה 9. מי שיעלה בריבוע לפני שהוא מטפל בסוגריים יקבל מספר אחר לגמרי.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות, מהקל אל הקשה: קודם הציר, ההשוואה והערך המוחלט, אחר כך ארבע הפעולות וחוקי הסימנים, ולבסוף סט מאתגר של חזקות, שורש וסדר פעולות. אחריהם סט רביעי, משימות פתוחות: שם כותבים בעצמכם, ובלחיצה נפתחות תשובה לדוגמה ואמות מידה לבדיקה עצמית. המשימות הפתוחות אינן נספרות בציון, כי לתשובה שלכם יכולות להיות כמה צורות נכונות.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1הציר מכריע סדר: ימינה גדול יותר, גם כששני המספרים שליליים.
- 2ערך מוחלט הוא מרחק: אינו שלילי, ושווה לשני ערכים נגדיים.
- 3חיסור של שלילי מגדיל: הכיוון מתהפך פעמיים.
- 4סימן לפני גודל: סופרים גורמים שליליים ומכריעים.
- 5סוגריים קובעות בסיס: מינוס בפנים ומינוס בחוץ אינם אותו דבר.
