להשוות שני גדלים בלי לספור אותם
הפרק הזה בנוי אחרת מן האחרים, וכדאי לדעת זאת מראש. חמשת הפרקים האחרים חוזרים על כיתה ז׳. הפרק הזה מסתכל קדימה: יחס וקנה מידה ואחוזים יושבים בתחום המספרי של כיתה ח׳. עם זאת, את הבסיס שלהם כבר פגשתם ביסודי, ולכן אין כאן דבר שאי אפשר לעשות עכשיו. הפרק בנוי כדי שתגיעו לספטמבר עם ההתחלה כבר בידיים.
יחס אינו אומר כמה יש. הוא אומר פי כמה, וזה מה שהופך אותו לשימושי במקומות שבהם הכמות עצמה משתנה: מתכון, מפה, מבצע בחנות. בפרק נלמד לקרוא יחס ולצמצם אותו, לחלק לפי יחס, לפתור פרופורציה, לקרוא קנה מידה, ולעבור בין אחוז ובין שבר ובחזרה.
בפרק 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות.
חזרה לשער החוברת
אותה הנחה, ובכל זאת לא חוזרים לאותו מקום. מחיר עולה בעשרים אחוזים, ואז יורד בעשרים אחוזים. נשמע כאילו הכול התאזן, אבל לא: העלייה נלקחה מן המחיר המקורי, והירידה נלקחה מן המחיר שכבר גדל. הירידה גדולה מן העלייה, ולכן המחיר הסופי נמוך מזה שהתחלנו בו. אחוז לבדו אינו מספר, הוא חלק ממשהו, ולכן חובה תמיד לשאול ממה בדיוק.
יחס ואחוז הם אותו רעיון בשתי שפות
יחס משווה שני גדלים בלי לנקוב בכמות. כשכותבים 3 : 5 אומרים רק פי כמה, ולכן אפשר לצמצם ולהרחיב אותו בדיוק כמו שבר, בלי שהמשמעות תשתנה. הכלי המרכזי הוא חלוקה לחלקים שווים: מחברים את איברי היחס ומקבלים כמה חלקים יש בסך הכול, מחלקים את הכמות במספר החלקים ומקבלים כמה שווה חלק אחד, ומכאן כל השאר. אותו רעיון בדיוק פועל בקנה מידה, שהוא יחס קבוע בין מידה בשרטוט ובין מידה במציאות.
אחוז הוא יחס שכבר הוסכם מראש על אחד מאיבריו: תמיד מתוך מאה. לכן 25% הם 25100, כלומר 14, כלומר 0.25 - שלוש כתיבות של אותו דבר. שלוש השאלות שאפשר לשאול על אחוז הן תמיד אותן שלוש, ובכל אחת שניים מן הנתונים ידועים והשלישי מבוקש: מהו החלק, מהו האחוז, ומהו השלם. כשמזהים איזו מן השלוש נשאלה, הדרך נקבעת מעצמה.
מהו החלק
השלם ידוע והאחוז ידוע, ומחפשים כמה זה יוצא בפועל. זו השאלה הישירה, וזו שפוגשים בה מבצע בחנות.
מהו האחוז
השלם ידוע והחלק ידוע, ומחפשים איזה חלק ממאה הוא מהווה. כאן מחלקים חלק בשלם, ולעולם לא להפך.
מהו השלם
החלק ידוע והאחוז ידוע, והשלם הוא הנעלם. זו השאלה ההפוכה, והיא זו שהכי קל לפתור בכיוון הלא נכון.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות את מה שהפרק הזה בודק.
סדר ביחס
ביחס הסדר נושא משמעות. 3 : 5 ו-5 : 3 מתארים שני מצבים הפוכים, ולכן חובה לומר בין אילו גדלים היחס נכתב.
צמצום והרחבה
כפל או חילוק של שני האיברים באותו מספר אינם משנים את היחס. זה בדיוק אותו כלל שמכיר השבר, וזו הסיבה שיחס אפשר לכתוב כשבר.
חלוקה לפי יחס
סוכמים את איברי היחס ומקבלים את מספר החלקים. מחלקים את הכמות במספר הזה ומגלים כמה שווה חלק אחד, ואז כופלים לפי הצורך.
מן היחס אל השלם
יחס בין שתי תת-קבוצות אומר גם מה חלקה של כל אחת בשלם. ביחס של שני איברים, השלם הוא סכומם, ולא אחד מהם.
קנה מידה
יחס קבוע בין השרטוט ובין המציאות. מן השרטוט אל המציאות כופלים, ומן המציאות אל השרטוט מחלקים, ותמיד מיישרים יחידות קודם.
שלוש שאלות האחוז
מהו החלק, מהו האחוז, ומהו השלם. בכל שאלה שניים ידועים ואחד מבוקש, וזיהוי הסוג הוא כל ההבדל.
שלוש דוגמאות פתורות
חלוקה לפי יחס, מציאת המחיר שקדם להנחה, וקריאת קנה מידה מן המציאות אל השרטוט.
- מחברים את איברי היחס ומגלים לכמה חלקים שווים הסכום מתחלק: 4 + 5 נותן תשעה חלקים.
- מחלקים את הסכום במספר החלקים ומגלים כמה שווה חלק אחד: 360 : 9 נותן 40 שקלים.
- האחות הראשונה מקבלת ארבעה חלקים כאלה, כלומר 40 × 4.
- האחות השנייה מקבלת חמישה חלקים, כלומר 40 × 5.
- 160 שקלים ו-200 שקלים. בדיקה כפולה: הסכום שלהם הוא בדיוק הסכום המקורי, והיחס ביניהם מצטמצם חזרה ל-4 : 5.
- שואלים ראשית ממה נלקחה ההנחה. היא נלקחה מן המחיר המקורי, שהוא הנעלם כאן.
- אם ירדו שלושים אחוזים, מה ששולם הוא מה שנשאר: 100% − 30% כלומר 70% מן המחיר המקורי.
- הסכום ששולם הוא הידוע, והאחוז שהוא מהווה ידוע גם הוא. זו שאלת מציאת השלם.
- אחוז אחד מן המחיר הוא 273 : 70, כלומר 3.9 שקלים, והשלם הוא מאה כאלה.
- 390 שקלים. בדיקה: הנחה של שלושים אחוזים ממחיר זה היא 117 שקלים, ומה שנותר הוא בדיוק הסכום ששולם.
- קנה מידה משווה שתי מידות, ולכן מיישרים יחידות לפני הכול. אורך המגרש בסנטימטרים הוא 9600.
- קוראים את קנה המידה במילים: כל סנטימטר אחד בשרטוט מייצג שש מאות סנטימטרים במציאות.
- הכיוון כאן הוא מן המציאות אל השרטוט, ולכן מחלקים ולא כופלים.
- 9600 : 600 נותן 16.
- 16 סנטימטרים. בדיקה בכיוון ההפוך: שש עשרה כפול שש מאות מחזיר בדיוק את האורך שבמציאות.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות, מהקל אל הקשה: קודם קריאה וצמצום וחלוקה לפי יחס, אחר כך פרופורציה וקנה מידה ושלוש שאלות האחוז, ולבסוף סט מאתגר של הנחות ועליות והשוואות בין שלמים שונים. אחריהם סט רביעי, משימות פתוחות.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1יחס אומר פי כמה, ולא כמה. לכן אפשר לצמצם אותו.
- 2חלוקה לפי יחס: סוכמים חלקים, מוצאים חלק אחד, וכופלים.
- 3קנה מידה: אל המציאות כופלים, אל השרטוט מחלקים, ויחידות קודם.
- 4שלוש שאלות האחוז: החלק, האחוז, והשלם.
- 5אחוז הוא ממשהו: עלייה וירידה באותו אחוז אינן מבטלות זו את זו.
