שני מספרים שכל הפרק תלוי בהם
כמעט כל שאלת זוויות בכיתה ז׳ נשענת על שניים בלבד: קו ישר סוגר 180°, וסיבוב שלם סוגר 360°. מהם נגזר הכול. סכום הזוויות במשולש הוא 180°, סכום הזוויות במרובע הוא 360°, זוויות צמודות משלימות ל-180°, וזוויות סביב נקודת מפגש סוגרות 360°. בפרק הזה נסדר את המשפחה כולה, נלמד להסיק מתכונות של מרובע ולא רק לזהות לפי שם, ונסיים בשלוש התנועות שמזיזות צורה במישור בלי לשנות אותה: הזזה, שיקוף וסיבוב.
בפרק 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות שבהן מנמקים ומצרפים כלל לכל שלב.
חזרה לשער החוברת
מספיק לדעת זווית אחת מתוך ארבע. כששני ישרים נחתכים נוצרות ארבע זוויות, ונדמה שיש כאן ארבעה נעלמים. אין. שתיים מהן שוות זו לזו מפני שהן יושבות זו מול זו בנקודת המפגש, ושתי שכנות סוגרות יחד קו ישר. לכן ברגע שמישהו נוקב בזווית אחת, שלוש האחרות כבר נקבעו ואין להן שום חופש. זה מה שהופך את השרטוט הזה לכלי ולא רק לתמונה.
לצרף כלל לכל שלב
בגאומטריה של כיתה ז׳ תשובה נכונה שאין לצידה כלל היא חצי תשובה. הדרך הבטוחה היא לכתוב לכל שלב את הכלל שהפעיל אותו, ואלה הכללים שהפרק כולו נשען עליהם. זוויות צמודות יושבות זו לצד זו על אותו ישר וסכומן 180°. זוויות קודקודיות יושבות זו מול זו בנקודת המפגש והן שוות. חוצה זווית מפצל אותה לשתי זוויות שוות, ולכן כל אחת מהן היא מחצית. במשולש סכום הזוויות 180°, ובמרובע הסכום 360°. במשולש שיש בו שתי צלעות שוות גם שתי הזוויות שמולן שוות, ובמשולש שכל צלעותיו שוות שלוש הזוויות שוות זו לזו.
ומרובעים מזהים לפי תכונות, לא לפי מראה. מלבן הוא מרובע שכל זוויותיו ישרות, וממנו נגזר שאלכסוניו שווים וחוצים זה את זה. ריבוע הוא מלבן שגם כל צלעותיו שוות, ולכן אצלו האלכסונים גם ניצבים. השאלה שכדאי לשאול מול כל שרטוט היא לא איך זה נראה, אלא אילו סימונים באמת נתונים כאן, ומה מספיק להסיק מהם.
צמודות
שתיהן על אותו ישר, זו לצד זו, וחולקות שוק. סכומן הוא בדיוק קו ישר, ולכן אחת קובעת את השנייה.
קודקודיות
יושבות זו מול זו בנקודת המפגש ואינן נוגעות זו בזו. הן שוות בגודלן, בכל זווית חיתוך שהיא.
במשולש
שלוש הזוויות יחד סוגרות קו ישר אחד. מול צלעות שוות עומדות זוויות שוות, וזה מה שפותר את שווה השוקיים.
במרובע
ארבע הזוויות סוגרות סיבוב שלם. מרובע מזוהה מן הסימונים שבשרטוט, ולא מן הצורה שהוא מזכיר לעין.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות את מה שהפרק הזה בודק.
מיון זוויות
חדה קטנה מזווית ישרה, ישרה היא רבע סיבוב, קהה גדולה ממנה וקטנה מקו ישר, ושטוחה היא קו ישר בדיוק.
צמודות וקודקודיות
שכנות על ישר משלימות זו את זו לקו ישר. זוויות שיושבות זו מול זו בנקודת המפגש שוות בגודלן, תמיד.
חוצה זווית
קרן שיוצאת מן הקודקוד ומפצלת את הזווית לשתי זוויות שוות. משם והלאה כל אחת מהן היא מחצית הזווית המקורית.
ניצבות והקבלה
שני ישרים שכל אחד מהם ניצב לישר שלישי אינם יכולים להיפגש, ולכן הם מקבילים. זו הסקה, ולא דבר שרואים בעין.
מרובעים לפי תכונות
מזהים לפי הסימונים שבשרטוט ולא לפי המראה. אותה צורה יכולה להיראות ריבוע ולא להיות ריבוע, אם הנתון חסר.
שלוש התנועות
הזזה מזיזה בלי לסובב, שיקוף הופך צד מול ישר, וסיבוב מסובב סביב נקודה. בשלושתן הגדלים נשמרים, ורק המקום משתנה.
שלוש דוגמאות פתורות
שרשרת זוויות סביב נקודת מפגש, הסקה במשולש שווה שוקיים, וזוויות שמסומנות באותיות.
- מסמנים את הנתונה, ומחפשים מי שכנה לה על אותו ישר. השכנה צמודה לה, וסכומן קו ישר.
- לכן השכנה היא ההפרש בין קו ישר ובין הנתונה, כלומר 145°. הכלל: זוויות צמודות.
- הזווית שיושבת מול הנתונה בנקודת המפגש שווה לה בדיוק, ולכן היא 35°. הכלל: זוויות קודקודיות.
- מאותו נימוק, הזווית שמול השכנה היא 145°. הכלל: זוויות קודקודיות.
- ארבע הזוויות הן 35°, 145°, 35° ו-145°. בדיקה: סכומן הוא סיבוב שלם.
- במשולש שווה שוקיים שתי הצלעות השוות נקראות שוקיים, והזוויות שמולן הן זוויות הבסיס.
- הכלל: מול צלעות שוות במשולש יש זוויות שוות. לכן זווית הבסיס השנייה שווה לראשונה, והיא 52°.
- הכלל: סכום הזוויות במשולש הוא 180°. שתי זוויות הבסיס יחד תופסות 104°.
- זווית הראש היא מה שנשאר, כלומר 76°.
- 52° ו-76°. בדיקה: הסכום של שלוש הזוויות מחזיר בדיוק את סכום הזוויות במשולש.
- מזהים את הקשר. הזוויות צמודות, ולכן סכומן הוא קו ישר, וזו המשוואה.
- רושמים: (2x + 10) + 3x = 180, ומכנסים איברים דומים באגף שמאל.
- מקבלים 5x + 10 = 180, מעבירים את המספר ומחלקים במקדם, ומגיעים ל-x = 34.
- חוזרים אל הזוויות עצמן, כי הנעלם אינו התשובה: הראשונה היא 78° והשנייה 102°.
- 78° ו-102°. הבדיקה היחידה שמאשרת את שתיהן יחד היא שסכומן קו ישר.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות, מהקל אל הקשה: קודם מיון וזוויות בסיסיות ומשולשים, אחר כך מרובעים וניצבות והקבלה, ולבסוף סט מאתגר של אלכסונים, זוויות באותיות וטרנספורמציות במערכת הצירים. אחריהם סט רביעי, משימות פתוחות.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1שני מספרים: קו ישר סוגר 180°, סיבוב שלם סוגר 360°.
- 2סביב נקודת מפגש: צמודות משלימות, וקודקודיות שוות.
- 3במשולש: 180°, ומול צלעות שוות זוויות שוות.
- 4מרובעים: מזהים מתוך הסימונים, לא מתוך המראה.
- 5שלוש תנועות: הזזה, שיקוף וסיבוב, וכולן שומרות גדלים.
