כשהתשובה אינה מספר אחד, אלא סיכוי
כל חמשת הפרקים הקודמים עסקו בשאלות שיש להן תשובה אחת ודאית. הפרק הזה עוסק במשהו אחר: מצבים שבהם התשובה אינה ידועה מראש, ובכל זאת אפשר לומר עליה משהו מדויק. זהו התחום שנוסף לכיתה ז׳, והוא נפתח בשלושה שלבים: לארגן נתונים בטבלת שכיחויות, להציג אותם בתרשים ולקרוא תרשים שמישהו אחר בנה, ולהעריך סיכוי כשכל התוצאות שוות בסיכוין. בדרך נלמד גם משהו שאינו רק מתמטי: איך לזהות תרשים שמנפח הבדל קטן, ואיך להציג את אותם נתונים בהגינות.
בפרק 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות.
חזרה לשער החוברת
אותם נתונים בדיוק, ושתי מסקנות הפוכות. שני תרשימים מציגים את אותן שתי עמודות. באחד הציר האנכי מתחיל באפס, ושתי העמודות נראות כמעט זהות. בשני הציר מתחיל קצת מתחת לעמודה הנמוכה, ופתאום נראה שהאחת גבוהה פי כמה מן השנייה. אף מספר לא שונה, ואף אחד לא שיקר. רק נקודת ההתחלה של הציר זזה. לכן בכל תרשים כדאי לבדוק קודם מהיכן הציר מתחיל, ורק אחר כך להסתכל על העמודות.
שלושה שלבים, ושאלה אחת בסוף
שלב ראשון, לארגן. לפני שסופרים משהו צריך להחליט לפי איזה מאפיין ממיינים, והמיון חייב לקיים שני תנאים: הקבוצות אינן חופפות זו לזו, ויחד הן מכסות את כל הפריטים. פריט שנפל בין שתי קבוצות, או פריט שנספר פעמיים, הורס את כל מה שיבוא אחריו. אחרי המיון סופרים, וכותבים ליד כל ערך כמה פעמים הוא הופיע. המספר הזה הוא השכיחות.
שלב שני, להציג. לאותה טבלה יש כמה דרכי הצגה, וכל אחת טובה למשהו אחר. תרשים עמודות נוח להשוואה בין ערכים, ודיאגרמת עיגול נוחה לראות איזה חלק מן השלם כל קבוצה תופסת. אין הצגה נכונה אחת, אבל יש הצגה שמתאימה לשאלה שנשאלה, ויש הצגה שמטעה.
שלב שלישי, לחשב. שכיחות יחסית היא השכיחות חלקי סך כל הפריטים, והיא זו שמאפשרת להשוות בין קבוצות שגודלן שונה: עשרה מתוך ארבעים ועשרה מתוך מאה אינם אותו דבר. ומכאן קצרה הדרך לסיכוי: כשכל התוצאות שוות בסיכוין, הסיכוי לתוצאה הוא בדיוק החלק שהיא תופסת מן השלם. והשאלה שבסוף: האם ההצגה הזאת הוגנת?
לארגן
בוחרים מאפיין למיין לפיו, יוצרים קבוצות, וסופרים כמה פריטים נפלו בכל אחת. התוצאה היא טבלת שכיחויות.
להציג
מעבירים את הטבלה לתרשים. עמודות נוחות להשוואה בין ערכים, ועיגול נוח לראות איזה חלק מן השלם כל קבוצה תופסת.
לחשב
מחלקים כל שכיחות בסך כל הפריטים ומקבלים שכיחות יחסית, וממנה גם את הסיכוי לבחור פריט מן הקבוצה באקראי.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות את מה שהפרק הזה בודק.
מיון תקין
הקבוצות אינן חופפות, והן מכסות את כל הפריטים. אפשר למיין גם נתונים שאינם מספריים, למשל לפי צבע או לפי סוג.
שכיחות
כמה פעמים ערך מסוים הופיע. זו ספירה, לא הערך עצמו, וזה ההבדל שקל ליפול בו בקריאת טבלה.
שכיחות יחסית
השכיחות חלקי סך כל הפריטים. אפשר לכתוב אותה כשבר, כשבר עשרוני או באחוזים, ורק היא מאפשרת להשוות בין קבוצות בגדלים שונים.
דרכי הצגה
עמודות נוחות להשוואה בין ערכים, עיגול נוח לראות חלק מן השלם, וסמלים מתאימים כשכל סמל מייצג כמות קבועה.
סולם הסיכויים
מן הבלתי אפשרי ועד הוודאי. לתוצאה שלא תתממש מייחסים אפס, ולתוצאה שתתממש בוודאות מייחסים אחד, וכל השאר ביניהם.
סיכוי
כשכל התוצאות שוות בסיכוין, הסיכוי לתוצאה הוא חלקה מן השלם. לכן חובה לספור נכון מהו השלם, ולא רק את מה ששאלו עליו.
שלוש דוגמאות פתורות
בניית טבלה והשלמת תא חסר, קריאת דיאגרמת עיגול, וחישוב סיכוי ומשלימו.
- בודקים שהמיון תקין. ארבע הקבוצות אינן חופפות, שכן אי אפשר להגיע גם ברגל וגם באוטובוס באותו בוקר, והן מכסות את כולם.
- מוצאים את התא החסר. סכום שלוש הקבוצות הידועות הוא 27, ולכן בהסעה מגיעים 3 תלמידים.
- בודקים את הטבלה. סכום כל השכיחויות חייב להיות מספר המשתתפים, וכאן הוא אכן 30.
- מוסיפים שכיחות יחסית. מחלקים כל שכיחות במספר המשתתפים: 0.4, 0.3, 0.2 ו-0.1.
- הטבלה שלמה, ויש לה שתי בדיקות עצמיות: סכום השכיחויות מחזיר את מספר המשתתפים, וסכום השכיחויות היחסיות מחזיר בדיוק שלם אחד.
- מה מייצג העיגול כולו. העיגול השלם הוא תמיד כלל הנתונים, וכאן הוא כלל התלמידים שנשאלו.
- לכן כל שאלה כאן היא שאלת חלק מכמות, ולא שאלה על זוויות.
- חצי מכלל התלמידים הוא 40 תלמידים, וזה פלח הכדורגל.
- שמינית מכלל התלמידים היא 10 תלמידים, וזה פלח השחייה.
- 40 ו-10. בדיקה: שני הפלחים יחד תופסים חמש שמיניות מן העיגול, וגם 50 מתוך 80 התלמידים הם חמש שמיניות. שני החישובים מסכימים.
- סופרים את השלם. זו הטעות הנפוצה כאן: השלם הוא כל הגולות שבכד, ולכן 20 גולות.
- כל הגולות שוות בסיכוין להיבחר, ולכן הסיכוי לצבע הוא בדיוק חלקו מן השלם.
- הסיכוי לכחולה הוא 520, שהוא 14 ובאחוזים 25%.
- לגולה שאינה כחולה יש שתי דרכים: לחבר 7 ו-8 ולחלק, או להשלים את הסיכוי הקודם לשלם.
- 25% לכחולה ו-75% לשאינה כחולה. שני הסיכויים משלימים יחד לשלם אחד, וזו בדיקה שאפשר לעשות תמיד.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות, מהקל אל הקשה: קודם מיון, שכיחות וקריאת תרשימים, אחר כך חלקים מן השלם ושכיחות יחסית, ולבסוף סט מאתגר של השוואות הוגנות וסיכויים. אחריהם סט רביעי, משימות פתוחות, ובהן גם משימה שמבקשת מכם לנמק בעל פה ולא רק לרשום תוצאה.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1מיון תקין: קבוצות שאינן חופפות, ושמכסות את הכול.
- 2שכיחות היא ספירה, ולא הערך שנספר.
- 3שכיחות יחסית היא מה שמאפשר להשוות בין קבוצות בגדלים שונים.
- 4לכל הצגה יש מטרה, ויש הצגות שמנפחות הבדל קטן.
- 5סיכוי הוא חלק מן השלם, כשכל התוצאות שוות בסיכוין.
