כל מהלך במשוואה חייב להיות חוקי
זהו הפרק הראשון בחוברת, והוא הבסיס לכל השאר: הפונקציה הקווית שבפרק 2 נשענת עליו, וגם בעיות האחוזים והתנועה שבפרק 3. משוואה אינה שרשרת של טריקים לזכור, אלא שוויון שצריך לשמור עליו, ולכן כל מהלך מותר בדיוק בתנאי אחד: שנעשה אותו לשני העברים גם יחד. בפרק הזה נסדר את ארבעת המהלכים החוקיים, נראה למה איבר שעובר את סימן השוויון מחליף סימן, ניזהר במקום שבו הכי הרבה תלמידים נופלים (הכפלה במכנה ששוכחת את האיברים שאין בהם שבר), ואז נעבור אל מערכות: למה למשוואה אחת בשני נעלמים יש אינסוף פתרונות, ואיך משוואה שנייה סוגרת אותם לזוג אחד.
בפרק הזה 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות שבהן כותבים, מתקנים ומנמקים. לכל שאלה סגורה יש הסבר שנפתח מיד אחרי הבדיקה.
חזרה לשער החוברת
משוואה אחת בשני נעלמים היא שאלה פתוחה. שתיים יחד הן שאלה סגורה. קחו את x + y = 10. אפשר לבחור x = 1 ולקבל y = 9, אפשר x = 7 ולקבל y = 3, ואפשר להמשיך כך בלי סוף, כי לכל ערך שנקבע לאחד המשתנים יש בדיוק ערך אחד שמשלים אותו. כל הזוגות האלה יושבים על ישר אחד, וכולם נכונים. עכשיו נוסיף משוואה שנייה שגם היא חייבת להתקיים, ופתאום כמעט כולם נפסלים: נשאר בדרך כלל זוג אחד, המקום שבו שני הישרים נפגשים. זה כל הרעיון של מערכת.
למה איבר שעובר מחליף סימן
רוב התלמידים למדו את הכלל "עובר אגף, מחליף סימן" כמו לחש, ואז שוכחים אותו בדיוק ברגע הלא נכון. אבל זה אינו כלל בפני עצמו, אלא קיצור. קחו את 4x + 9 = x + 30. כדי לאסוף את הנעלמים בעבר אחד מחסרים x משני העברים, ומקבלים 3x + 9 = 30. כדי לאסוף את המספרים מחסרים 9 משני העברים, ומקבלים 3x = 21. ומכאן x = 7. שימו לב מה קרה: x לא "עבר" לשום מקום, וגם 9 לא. פשוט ביצענו את אותה פעולה עצמה על שני העברים, והשוויון נשאר שוויון. מי שזוכר את זה אינו צריך לזכור מתי הסימן מתהפך, כי הוא רואה למה. וגם הבדיקה מקבלת פשר: מציבים 7 חזרה, שני העברים יוצאים 37, ולכן הפתרון עומד.
העברת אגף
איבר שעובר את סימן השוויון מחליף סימן. זה אינו כלל שרירותי: הוא קיצור של החיסור שביצענו משני העברים גם יחד.
פתיחת סוגריים
המספר שלפני הסוגריים מוכפל בכל איבר שבתוכם, ולא רק בראשון. ואחר כך מכנסים איברים דומים.
סילוק מכנה
מכפילים את שני העברים כולם במכנה המשותף. גם איבר שאין בו שבר מוכפל, ודווקא שם נשברת השרשרת.
כפל צולב
כשיש שוויון בין שני שברים בלבד, מונה של אחד כפול מכנה של השני. זהו קיצור של סילוק מכנה, ולא כלל נפרד.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות את כל מה שהפרק הזה בודק. כולן חוזרות על חומר של כיתה ח, ואין בהן נושא חדש.
מה מותר לעשות למשוואה
מותר להוסיף, לחסר, להכפיל ולחלק את שני העברים באותו דבר (ובחילוק, בכל דבר שאינו אפס). כל מהלך כזה נותן משוואה שקולה: אותה קבוצת פתרונות בדיוק. מהלך שנעשה לעבר אחד בלבד אינו שקול, ומשם והלאה כבר פותרים משוואה אחרת.
סוגריים, ואז כינוס
המספר שלפני הסוגריים מוכפל בכל איבר בפנים. אחרי הפתיחה מכנסים איברים דומים: הנעלמים אל הנעלמים והמספרים אל המספרים. סימן מינוס לפני סוגריים הופך את הסימן של כל איבר בתוכם, וזו הנפילה השכיחה ביותר בשלב הזה.
שבר במשוואה
מוצאים מכנה משותף ומכפילים בו את שני העברים. הזהירות היחידה, והיא גדולה: מכפילים גם את האיברים שאין בהם שבר. מי שמכפיל רק את השברים מאבד איבר שלם, ואז מקבל תשובה שלא תעבור את הבדיקה.
כפל צולב ונעלם במכנה
כששני שברים לבדם משני עברי השוויון, אפשר לקצר: מונה של אחד כפול מכנה של השני. כשהנעלם יושב במכנה, מוסיפים שלב אחרון: לבדוק קבילות. ערך שמאפס מכנה נפסל, מפני שחילוק באפס אינו מוגדר.
זוג סדור ומשוואה בשני נעלמים
זוג סדור נכתב לפי הסדר: קודם ערך ה-x, אחריו ערך ה-y. הוא מקיים משוואה אם אחרי ההצבה שני העברים משתווים. למשוואה אחת בשני נעלמים יש אינסוף פתרונות: בוחרים ערך לאחד, ומחשבים ממנו את השני.
שתי דרכים לפתור מערכת
הצבה נוחה כשאחד המשתנים כבר מבודד: מציבים את הביטוי שלו במשוואה השנייה. חיסור (או חיבור) נוח כשהמקדמים של אותו משתנה שווים או נגדיים: מחברים או מחסרים את המשוואות, והמשתנה מתבטל. הצורה שבה המערכת כתובה היא שמכריעה, ולא הרגל.
שלוש דוגמאות פתורות
משוואה שיש בה סוגריים בשני העברים, משוואה שכולה שברים, ומערכת שנפתרת בהצבה. בכל אחת מהן הבדיקה היא חלק מן הפתרון ולא תוספת.
- פותחים את שני זוגות הסוגריים. משמאל 2x + 12, ומימין 5x − 15. שימו לב שהמספר שלפני הסוגריים הוכפל בשני האיברים, ולא רק בראשון.
- אוספים נעלמים לעבר אחד. מחסרים 2x משני העברים ומקבלים 12 = 3x − 15.
- אוספים מספרים לעבר השני. מוסיפים 15 לשני העברים ומקבלים 27 = 3x.
- מחלקים ב-3. מתקבל x = 9.
- בדיקה: משמאל 2 · 15 שהוא 30, ומימין 5 · 6 שהוא גם 30. שני העברים השתוו, ולכן הפתרון עומד.
- זהו שוויון בין שני שברים בלבד, ולכן מותר כפל צולב: מונה של אחד כפול מכנה של השני.
- מקבלים 2(x + 21) = 4(x + 9). אפשר להגיע לאותו מקום גם בהכפלת שני העברים במכנה המשותף, וזה בדיוק אותו דבר.
- פותחים סוגריים: 2x + 42 = 4x + 36.
- אוספים נעלמים לעבר אחד ומספרים לשני: 42 − 36 = 4x − 2x, כלומר 6 = 2x, ומכאן x = 3.
- בדיקה: 244 הוא 6, ו-122 הוא גם 6. שווה, ולכן נכון. שימו לב שהנעלם יצא כאן קטן מכל המספרים שבמשוואה, וזה בסדר גמור.
- במשוואה הראשונה y כבר מבודד, ולכן הצבה היא הדרך הקצרה. אין צורך לארגן שום דבר לפניה.
- מציבים את x − 4 במקום y במשוואה השנייה: 2x + (x − 4) = 11.
- מכנסים: 3x − 4 = 11, ומוסיפים 4 לשני העברים: 3x = 15, ולכן x = 5.
- חוזרים אל המשוואה המבודדת כדי למצוא את המשתנה השני: y = 5 − 4, כלומר y = 1.
- בדיקה בשתי המשוואות: 1 = 5 − 4 מתקיים, וגם 10 + 1 = 11 מתקיים. הזוג הוא (5, 1). בדיקה במשוואה אחת בלבד אינה מספיקה, כי כל זוג על ישר אחד מקיים אותה.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות, מהקל אל הקשה: קודם משוואות עם נעלם משני העברים ועם סוגריים, אחר כך שברים, מכנה משותף וכפל צולב, ולבסוף מערכות משוואות. אחריהם סט רביעי, ארבע משימות פתוחות: שם מתקנים מהלך שבור, מחברים מערכת, מתרגמים בעיה מילולית ומנמקים בחירה של שיטה. המשימות הפתוחות אינן נספרות בציון, כי נימוק והמצאה של דוגמה אינם ניתנים לבדיקה אוטומטית.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1מהלך חוקי נעשה לשני העברים גם יחד. משם מגיע כלל החלפת הסימן.
- 2סוגריים: מכפילים את כל האיברים בפנים, ואז מכנסים איברים דומים.
- 3מכנה: מכפילים את שני העברים, וגם את האיברים שאין בהם שבר.
- 4נעלם במכנה: אחרי הפתרון בודקים קבילות, כי מכנה אינו יכול להתאפס.
- 5משוואה אחת בשני נעלמים: אינסוף זוגות. מערכת: בדרך כלל זוג אחד.
- 6הצבה או חיסור: בוחרים לפי הצורה שבה המערכת כתובה.
