אחוז לעולם אינו לבד. תמיד יש שלם מאחוריו
זהו הפרק שהכי הרבה משתמשים בו מחוץ למחברת: מחירים, הנחות, מפות, מרשמים וזמני נסיעה. וזהו גם הפרק שהכי קל לטעות בו, מפני שכל אחוז מדבר על שלם מסוים, וכשהשלם מתחלף באמצע השאלה התשובה מתחלפת איתו. בפרק הזה נסדר את שלוש השאלות של האחוז (מהו החלק, מהו השלם, ומהו השיעור), נראה למה הוזלה והתייקרות באותו שיעור אינן מחזירות לנקודת המוצא, נעבור אל יחס ואל חלוקה לפיו, נקרא קנה מידה במפה, ונסיים בקצב: מהירות, מרחק וזמן, ופגישה של שני גופים בדרך.
בפרק הזה 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות. לכל שאלה סגורה יש הסבר שנפתח מיד אחרי הבדיקה.
חזרה לשער החוברת
הוזלה של 20 אחוזים והתייקרות של 20 אחוזים אינן מחזירות אתכם למחיר שהיה. מחיר של 500 שקלים מוזל ב-20 אחוזים ויורד ל-400. עכשיו הוא מתייקר ב-20 אחוזים, ומגיע ל-480 בלבד. חסרים 20 שקלים, ולא בגלל טעות בחשבון. הסיבה פשוטה: ההוזלה הראשונה חושבה על 500, ואילו ההתייקרות חושבה על 400, שהוא מספר קטן יותר. אותו שיעור בדיוק, ושני סכומים שונים לגמרי. זו הסיבה שאי אפשר לחבר ולחסר אחוזים כאילו היו מספרים רגילים, וזו גם הסיבה שכדאי תמיד לשאול קודם: אחוז ממה?
כל שינוי במחיר הוא כפל אחד
הרבה תלמידים פותרים שאלת הנחה בשני שלבים: קודם מחשבים את ההנחה, ואז מחסרים אותה. זה נכון, וזה גם ארוך, ובעיקר הוא מסתיר את המבנה. הנה הדרך הקצרה: הנחה של 40 אחוזים משאירה 60 אחוזים, ולכן מחיר של 900 שקלים אחרי הנחה כזאת הוא 900 · 0.6, כלומר 540. כפל אחד, ולא שני שלבים. אותו רעיון עובד גם בכיוון השני: התייקרות של 40 אחוזים היא כפל ב-1.4. והיתרון האמיתי מתגלה כשצריך לחזור אחורה. אם ידוע ששילמו 540 אחרי הנחה של 40 אחוזים, אין שום טעם לחשב 40 אחוזים מ-540: השיעור ההוא לא דיבר על 540 מעולם. במקום זאת מחלקים ב-0.6 ומקבלים חזרה 900. הכפל מתאר את הדרך קדימה, והחלוקה מתארת בדיוק את אותה דרך אחורה.
מהו החלק
נתונים השלם והשיעור, ומבקשים את החלק. מכפילים את השלם בשיעור שנכתב כשבר עשרוני. זו הצורה הפשוטה מבין השלוש, ולכן היא זו שנוטים להחיל גם על השתיים האחרות.
מהו השלם
נתונים החלק והשיעור, ומבקשים את השלם. כאן מחלקים ולא מכפילים. זו הפעולה ההפוכה, ומי שמכפיל מקבל מספר קטן מן החלק עצמו, וזה כבר סימן ברור לטעות.
מהו השיעור
נתונים החלק והשלם, ומבקשים כמה אחוזים הוא מהווה. מחלקים את החלק בשלם, ומכפילים ב-100. הסדר קובע: חלק למעלה, שלם למטה, ולא להפך.
שינוי בצעד אחד
הוזלה והתייקרות אינן דורשות שני שלבים. מכפילים במכפיל אחד: להוזלה במה שנשאר, ולהתייקרות במה שהצטבר. כך גם החזרה אחורה נעשית בחלוקה אחת.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות את כל מה שהפרק הזה בודק. כולן חוזרות על חומר של כיתה ח, ואין בהן נושא חדש.
שלוש השאלות של האחוז
אותו משולש, ורק הצלע החסרה משתנה. חלק מתקבל מכפל השלם בשיעור. שלם מתקבל מחלוקת החלק בשיעור. שיעור מתקבל מחלוקת החלק בשלם וכפל ב-100. לפני הפעולה כדאי לשאול מה נתון ומה מבוקש, ואז אין מה לזכור בעל פה.
אחוז ממה
שיעור לבדו אינו אומר דבר. 10 אחוזים משכר לימוד גדולים בהרבה מ-10 אחוזים ממחיר כריך. וכשבשאלה מופיעים שני שלמים שונים, השוואה בין השיעורים לבדם מטעה: צריך להחזיר כל שיעור אל השלם שלו לפני שמשווים.
שינוי, ושינוי על שינוי
הוזלה היא כפל במה שנשאר, והתייקרות היא כפל במה שהצטבר. שני שינויים ברצף הם מכפלה של שני מכפילים, ולא סכום של שני שיעורים. לכן ירידה ועלייה באותו שיעור אינן מבטלות זו את זו, והתוצאה תמיד נמוכה מן המחיר ההתחלתי.
יחס וצמצומו
יחס משווה בין כמויות, ואינו אומר כמה יש. 18 : 24 ו-3 : 4 הם אותו יחס בדיוק, ולכן מצמצמים עד הסוף. חלוקה לפי יחס נעשית בשלושה צעדים: סוכמים את מספרי היחס, מחלקים כדי למצוא חלק אחד, ומכפילים כל מספר בחלק הזה.
קנה מידה
קנה מידה הוא יחס בין המידה בייצוג לבין המידה במציאות. 1 : 200 פירושו שכל יחידה במפה היא 200 יחידות בשטח. מן המפה אל המציאות מכפילים, ומן המציאות אל המפה מחלקים. וזהירות אחת: שטח אינו גדל באותו יחס שבו גדל אורך, אלא בריבועו.
קצב, מרחק וזמן
קצב הוא כמה משתנה גודל אחד על כל יחידה של גודל אחר. מהירות היא מרחק לחלק לזמן, ומכאן שמרחק הוא מהירות כפול זמן. כששני גופים נעים זה לקראת זה, המרחק ביניהם נסגר בסכום המהירויות, ולכן זמן הפגישה הוא המרחק מחולק בסכום הזה.
שלוש דוגמאות פתורות
חזרה אחורה ממחיר שכבר הוזל, חלוקה של סכום לפי יחס, ופגישה של שני נוסעים בדרך. שלושתן נבדקות בסוף מול הנתון שממנו יצאנו.
- לא מחשבים 35 אחוזים מ-273. השיעור הזה מעולם לא דיבר על 273, אלא על המחיר שאותו אנחנו מחפשים.
- שואלים מה נשאר. הנחה של 35 אחוזים משאירה 65 אחוזים, ולכן 273 הם 65 אחוזים מן המחיר המקורי.
- מכאן זו שאלת "מהו השלם". מחלקים: 2730.65, ומתקבל 420.
- אפשר גם במשוואה, אם נוח יותר: 0.65x = 273, ומכאן x = 420. אותה פעולה בדיוק, בכתיב אחר.
- בדיקה קדימה: ההנחה היא 420 · 0.35 שהוא 147, ו-420 − 147 הוא 273. חזרנו בדיוק לנתון.
- סוכמים את מספרי היחס: 5 + 7 שהוא 12. זהו מספר החלקים השווים שאליהם מתחלק הסכום.
- מחשבים חלק אחד: 48012, ומתקבל 40 שקלים לחלק.
- מכפילים כל מספר ביחס בחלק: 5 · 40 שהוא 200, ו-7 · 40 שהוא 280.
- בודקים את הסכום: 200 + 280 הוא 480, כמו שנדרש.
- ובודקים גם את היחס עצמו: 200 : 280 מצטמצם ב-40 וחוזר ל-5 : 7. בדיקת הסכום לבדה אינה מספיקה, כי גם חלוקה שגויה יכולה לסכום נכון.
- שואלים באיזה קצב נסגר המרחק ביניהם. הם נעים זה לקראת זה, ולכן בכל שעה המרחק מתקצר בשתי הדרכים גם יחד: 18 + 14 שהוא 32 ק״מ בשעה.
- עכשיו זו שאלת זמן פשוטה: המרחק מחולק בקצב הסגירה. 9632, ומתקבלות 3 שעות.
- אפשר גם במשוואה: הדרך של הראשון ועוד הדרך של השני שוות למרחק, ולכן 18t + 14t = 96, כלומר 32t = 96 ו-t = 3.
- מחשבים כמה עשה כל אחד: 18 · 3 שהוא 54 ק״מ, ו-14 · 3 שהוא 42 ק״מ.
- בדיקה: 54 + 42 הוא 96, בדיוק המרחק שממנו יצאו. שימו לב שהם לא עשו דרך שווה, ובכל זאת נפגשו באותו רגע.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות, מהקל אל הקשה: קודם שלוש השאלות של האחוז והנחות פשוטות, אחר כך שינוי על שינוי, השוואת שיעורים, קריאת דיאגרמה ויחס, ולבסוף קנה מידה, שארית, קצב ופגישה בדרך. אחריהם סט רביעי, ארבע משימות פתוחות. המשימות הפתוחות אינן נספרות בציון, כי המצאת דוגמה ושיפוט של היגד אינם ניתנים לבדיקה אוטומטית.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1שלוש שאלות, משולש אחד: חלק, שלם ושיעור, ורק החסר משתנה.
- 2אחוז ממה: שיעור בלי שלם אינו אומר דבר, וגם אינו ניתן להשוואה.
- 3שינוי הוא כפל אחד, וחזרה אחורה היא חלוקה באותו מכפיל.
- 4יחס מצומצם אינו מגלה כמות. חלוקה לפיו: סוכמים, מחלקים, מכפילים.
- 5קנה מידה: מן המפה למציאות מכפילים, והשטח גדל בריבוע היחס.
- 6פגישה בדרך: המרחק נסגר בסכום המהירויות.
