המשפט מדבר על שטחים, והתשובה יוצאת באורך
משפט פיתגורס נשמע כמו נוסחה לזכור, ובעצם הוא טענה על שטחים: שני הריבועים שנבנים על הניצבים ממלאים יחד בדיוק את הריבוע שנבנה על היתר. מכאן נובע הכול, וגם הזהירות היחידה שצריך: לפני כל חישוב מזהים מי הצלע שמול הזווית הישרה, שכן היא שקובעת אם הפעולה היא חיבור או חיסור. בפרק הזה נחזור על שורש ריבועי ועל אומדנו, נחשב צלעות חסרות במשולש ובמלבן, נפרק צורה מורכבת לחלקים שאפשר להפעיל עליהם את המשפט, נמדוד מקטע אלכסוני במערכת צירים, ונשתמש בו בשאלות אמת של דרך וגידור.
בפרק הזה 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות. לכל שאלה סגורה יש הסבר שנפתח מיד אחרי הבדיקה.
חזרה לשער החוברת
אין כאן נוסחה. יש כאן שני ריבועים שממלאים בדיוק שלישי. ציירו משולש ישר זווית, ובנו על כל אחת משלוש צלעותיו ריבוע. שני הריבועים שיושבים על הניצבים, הקטנים, ממלאים יחד את הריבוע השלישי בדיוק: בלי עודף ובלי חסר. זו הטענה של המשפט, וכל השאר הוא כתיב שלה. לכן כשכתוב a² + b² = c² אין מדובר באורכים שמתחברים, אלא בשטחים. וזה מסביר גם למה 3 + 4 אינו 5 בעולם הזה, אבל 9 + 16 דווקא כן 25.
הצעד הראשון אינו חישוב, אלא זיהוי
הטעות הנפוצה ביותר בפרק הזה אינה בחשבון. היא בכך שמישהו סכם שני מספרים לפני שבדק מי מהם מול הזווית הישרה. היתר הוא הצלע שמול הזווית הישרה, והוא תמיד הארוך מבין השלוש. הניצבים הם שתי הצלעות שיוצרות את הזווית הישרה. וההבחנה הזאת קובעת פעולה שלמה: כשמחפשים את היתר מחברים את שני הריבועים, וכשמחפשים ניצב מחסרים את הריבוע הקטן מן הגדול. יש דרך אחת פשוטה לבדוק את עצמכם: היתר חייב לצאת ארוך משני הניצבים, וניצב חייב לצאת קצר מן היתר. תוצאה שמפרה את הכלל הזה אינה טעות חשבון אלא זיהוי הפוך, ואין טעם לחפש אותה בספרות. ודבר אחרון: לא כל תוצאה יוצאת שלמה, וזה לגמרי בסדר. משאירים אותה בצורת שורש, ומעגלים רק אם השאלה ביקשה במפורש.
מחפשים את היתר
היתר הוא הצלע שמול הזווית הישרה, והארוכה שבשלוש. מרבעים את שני הניצבים, מחברים, ומוציאים שורש.
מחפשים ניצב
נתונים היתר וניצב אחד. מרבעים את שניהם, מחסרים את הקטן מן הגדול, ומוציאים שורש. חיבור כאן הוא הטעות השכיחה ביותר בפרק.
ארבע שלשות ששווה לזהות במבט
| ניצב | ניצב | יתר |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
כל שלשה כזאת עובדת גם בכפולותיה: אם כל שלוש המידות מוכפלות באותו מספר, המשולש נשאר ישר זווית. לכן כדאי לבדוק קודם אם המידות שלפניכם הן כפולה של שלשה מוכרת, ורק אם לא, לגשת לחישוב.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות את כל מה שהפרק הזה בודק. כולן חוזרות על חומר של כיתה ח, ואין בהן נושא חדש.
שורש ריבועי, ואומדן שלו
שורש של מספר הוא הצלע של ריבוע ששטחו אותו מספר. כדי לאמוד שורש שאינו שלם מחפשים את שני הריבועים השלמים הסמוכים לו: 40 נמצא בין 6 ל-7, מפני ש-36 קטן מ-40 ו-49 גדול ממנו. אין צורך במחשבון.
השוואה בלי לחשב
כדי להשוות שורש למספר, מרבעים את המספר ומשווים לתוך השורש. 30 מול 5: מרבעים את 5 ומקבלים 25, שקטן מ-30, ולכן השורש גדול. זהו גם הכלי שמכריע אם ריבוע אחד נכנס בתוך אחר.
מי היתר ומי הניצבים
היתר מול הזווית הישרה, והוא הארוך שבשלוש. הניצבים יוצרים את הזווית הישרה. מחפשים יתר ← מחברים ריבועים. מחפשים ניצב ← מחסרים. אין דרך שלישית, וההכרעה נעשית לפני החישוב ולא אחריו.
שלשות ששווה לזכור
3, 4, 5 · 5, 12, 13 · 8, 15, 17 · 7, 24, 25. כל שלשה עובדת גם בכפולותיה: מכפילים את שלושתן באותו מספר, והמשולש נשאר ישר זווית. זיהוי כזה חוסך חישוב שלם.
גובה לבסיס במשולש שווה שוקיים
הגובה לבסיס חוצה את הבסיס לשני חלקים שווים, ולכן הוא יוצר שני משולשים ישרי זווית זהים. בכל אחד מהם השוק היא היתר, וחצי הבסיס הוא ניצב אחד. זו הדרך היחידה שנצטרך כדי למצוא גובה, היקף ושטח בצורה כזאת.
אורך מקטע במערכת צירים
מקטע המקביל לציר נמדד בהפרש בין שני השיעורים. מקטע אלכסוני אינו נמדד כך: בונים לו משולש עזר ישר זווית, שבו ההפרש האופקי הוא ניצב אחד וההפרש האנכי הוא הניצב השני, והמקטע עצמו הוא היתר.
שלוש דוגמאות פתורות
מציאת ניצב חסר, גובה לבסיס במשולש שווה שוקיים, ואורך מקטע אלכסוני בין שתי נקודות. בשלושתן הזיהוי קודם לחישוב.
- מזהים קודם. 20 הוא היתר, כי כך נמסר, והוא אכן הארוך מבין המספרים שיש לנו. הנעלם הוא ניצב, ולכן הפעולה תהיה חיסור.
- מרבעים את שניהם: 20 · 20 הוא 400, ו-16 · 16 הוא 256.
- מחסרים את הקטן מן הגדול: 400 − 256 הוא 144.
- מוציאים שורש: 144 הוא 12, ולכן הניצב השני אורכו 12.
- בדיקה כפולה: 256 + 144 הוא 400, כמו שנדרש, וגם 12 אכן קצר מ-20, כמו שניצב חייב להיות.
- מורידים את הגובה לבסיס. במשולש שווה שוקיים הוא חוצה את הבסיס, ולכן כל חצי אורכו 142, כלומר 7.
- עכשיו יש משולש ישר זווית שהיתר שלו הוא השוק, 25, וניצב אחד שלו הוא חצי הבסיס, 7. הגובה הוא הניצב החסר.
- מחשבים: 25 · 25 הוא 625, 7 · 7 הוא 49, וההפרש הוא 576.
- מוציאים שורש: 576 הוא 24, וזה הגובה.
- בדיקה: 49 + 576 הוא 625. שימו לב שבלי החצייה של הבסיס היינו מציבים 14 במקום 7, ומקבלים תשובה שגויה שנראית סבירה לגמרי.
- המקטע אלכסוני, ולכן אי אפשר למדוד אותו בהפרש אחד. בונים לו משולש עזר ישר זווית.
- הניצב האופקי הוא ההפרש בין השיעורים הראשונים: 2 − (−3) שהוא 5.
- הניצב האנכי הוא ההפרש בין השיעורים השניים: 14 − 2 שהוא 12.
- המקטע עצמו הוא היתר: 25 + 144 הוא 169, ו-169 הוא 13.
- בדיקה על הדרך: 5 ו-12 ו-13 הם שלשה מוכרת, ולכן היה אפשר לזהות אותה כבר בשלב הניצבים ולחסוך את החישוב. שימו לב גם שהאורך יצא חיובי, כמו שכל אורך חייב, אף ששני הפרשים היו יכולים לצאת שליליים לו חיסרנו בסדר ההפוך.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות, מהקל אל הקשה: קודם שורשים והמשפט עצמו, אחר כך היקף, שטח ואלכסון במלבן, ולבסוף גובה לבסיס, מערכת צירים ושאלות אמת. אחריהם סט רביעי, ארבע משימות פתוחות. המשימות הפתוחות אינן נספרות בציון, כי פירוק של צורה ושיפוט מנומק אינם ניתנים לבדיקה אוטומטית.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1המשפט מדבר על שטחים: שני הריבועים הקטנים ממלאים את הגדול.
- 2קודם זיהוי: יתר ← מחברים, ניצב ← מחסרים.
- 3בדיקה מיידית: היתר ארוך משני הניצבים, וניצב קצר מן היתר.
- 4שלשות מוכרות וכפולותיהן חוסכות חישוב שלם.
- 5גובה לבסיס בשווה שוקיים חוצה אותו, ולכן מציבים חצי בסיס.
- 6מקטע אלכסוני נמדד דרך משולש עזר, ולא בהפרש אחד.
