שני חצאים, והרגל אחת משותפת
הפרק האחרון בחוברת מחבר שני נושאים שנראים רחוקים, ובעצם דורשים בדיוק את אותו הרגל: לקרוא מספר מתוך ייצוג, ולא מן הדמיון. בחצי הראשון נעבוד על הרשת: נסמן קודקודים לפי שיעוריהם, נמדוד מקטעים, נחשב שטחים של משולשים ומרובעים בשלוש דרכים שונות, ונזיז קודקוד כך שהשטח יישמר או ייחצה. בחצי השני נעבור לנתונים: טבלת שכיחויות, שכיח, ממוצע, חציון, שכיחות יחסית וטווח, ובעיקר השאלה שמבדילה בין ממוצע לחציון, והיא מה קורה כשמצטרף ערך אחד חריג.
בפרק הזה 18 שאלות בשלושה סטים, ועוד ארבע משימות פתוחות. לכל שאלה סגורה יש הסבר שנפתח מיד אחרי הבדיקה.
חזרה לשער החוברת
ממוצע וחציון עונים על שתי שאלות שונות, ולכן ערך חריג אחד מזיז רק אחד מהם. קחו רשימה של חמישה מספרים: 4, 6, 6, 9, 15. הממוצע כאן הוא 8, והחציון הוא 6. ההפרש אינו טעות: הממוצע מתחשב בכל ערך, ולכן המספר 15 מושך אותו כלפי מעלה. החציון מתחשב במיקום בלבד, ולכן הוא רואה את 15 כמספר אחד שנמצא בקצה, בלי אכפת לו כמה גדול הוא. אילו היה 15 הופך ל-100, הממוצע היה קופץ אל 25, והחציון היה נשאר 6 בדיוק. וזו הסיבה שכאשר מדווחים על שכר או על מחירי דירות, בוחרים בקפידה איזה מן השניים לפרסם.
למה מחפשים קודם צלע שמקבילה לציר
על הרשת יש דבר אחד שקל למדוד ודבר אחד שקשה. מקטע שמקביל לאחד הצירים נמדד בהפרש אחד: מקטע אופקי הוא ההפרש בין שני השיעורים הראשונים, ומקטע אנכי הוא ההפרש בין שני השיעורים השניים. מקטע אלכסוני אינו נמדד כך כלל, והוא דורש משולש עזר. לכן, כשמבקשים שטח משולש, הצעד הראשון אינו חישוב אלא חיפוש: יש כאן צלע שמקבילה לציר? אם כן, היא הבסיס, והגובה אליה הוא ההפרש בכיוון השני, וגם הוא הפרש אחד. משולש שקודקודיו (2, 1), (9, 1) ו-(5, 6) נראה מסובך, ובעצם הצלע הראשונה שלו אופקית באורך 9 − 2 כלומר 7, והגובה אליה הוא 6 − 1 כלומר 5, ולכן השטח הוא 7 · 52 שהוא 17.5. וכשאין אף צלע נוחה, כולאים את הצורה במלבן שצלעותיו מקבילות לצירים, מחשבים את שטחו ומחסרים את הפינות. הדרך הזאת ארוכה יותר, אבל היא אף פעם לא נכשלת.
שלוש דרכים לחשב שטח על הרשת
בסיס על ציר
כשצלע מונחת על אחד הצירים או מקבילה לו, אורכה הוא הפרש בין שני שיעורים, והגובה אליה הוא ההפרש בכיוון השני. זו הדרך הקצרה, וכדאי לחפש אותה ראשונה.
השלמה למלבן וחיסור
כשאין אף צלע נוחה, כולאים את הצורה במלבן שצלעותיו מקבילות לצירים, מחשבים את שטחו, ומחסרים ממנו את המשולשים שנוספו בפינות. תמיד עובד.
פירוק למשולשים
מרובע נחתך באלכסון לשני משולשים, ומחשבים כל אחד בנפרד. שווה לוודא שהאלכסון שבחרתם באמת מפריד את הצורה, ולא יוצא ממנה.
שלושה מדדים, שלוש שאלות שונות
ממוצע
מחלקים את הסכום במספר הפריטים. הוא מתחשב בכל ערך, ולכן מספר אחד חריג מזיז אותו. בטבלת שכיחויות שוקלים כל ערך במספר הפעמים שהוא מופיע.
חציון
מסדרים ולוקחים את האמצע. באורך אי זוגי זה ערך אחד; באורך זוגי זה הממוצע של שני האמצעיים. הוא מתחשב במיקום ולא בגודל, ולכן חריג כמעט אינו מזיז אותו.
שכיח וטווח
שכיח הוא הערך שחוזר הכי הרבה, ויכולים להיות כמה או אף אחד. טווח הוא ההפרש בין הגדול לקטן, ולכן הוא מודד פיזור ולא מרכז.
מה חשוב לזכור
שש כרטיסיות שמכסות את כל מה שהפרק הזה בודק. כולן חוזרות על חומר של כיתה ח, ואין בהן נושא חדש.
שיעורים ואורך מקטע
בזוג סדור הרכיב הראשון נמדד על הציר האופקי והשני על האנכי. מקטע מקביל לציר נמדד בהפרש אחד, ותמיד לוקחים את ההפרש כאורך חיובי. מקטע אלכסוני דורש משולש עזר, ואי אפשר לחסר את שיעוריו זה מזה.
שטח משולש על הרשת
מחפשים צלע מקבילה לציר ולוקחים אותה כבסיס, והגובה אליה הוא ההפרש בכיוון השני. כשאין צלע כזאת, כולאים במלבן ומחסרים את המשולשים שבפינות, או חותכים את הצורה באלכסון לשני משולשים.
הזזת קודקוד
שטח משולש תלוי בבסיס ובגובה בלבד. לכן אפשר להזיז קודקוד לאורך קו מקביל לבסיס, והשטח לא ישתנה כלל. וכדי להקטין את השטח למחצית, מספיק להוריד את הקודקוד לחצי הגובה, בלי לגעת בבסיס.
ממוצע, וממוצע משוקלל
ממוצע הוא הסכום מחולק במספר הפריטים. בטבלת שכיחויות אסור לחשב ממוצע של הערכים בלבד: כל ערך נשקל במספר הפעמים שהוא מופיע, מחברים את כל המכפלות, ומחלקים בסך כל הפריטים ולא במספר השורות.
חציון, שכיח וטווח
חציון: מסדרים ולוקחים את האמצע. באורך אי זוגי זה ערך אחד, ובאורך זוגי זה הממוצע של שני האמצעיים. שכיח: הערך שחוזר הכי הרבה, ויכולים להיות כמה או אף אחד. טווח: ההפרש בין הגדול לקטן, והוא מודד פיזור.
שכיחות יחסית
מספר המופעים של ערך מחולק בסך כל הפריטים. אפשר לכתוב אותה בשלוש צורות שאומרות בדיוק אותו דבר: שבר פשוט מצומצם, מספר עשרוני, ושיעור באחוזים. סכום כל השכיחויות היחסיות בטבלה הוא תמיד 1, כלומר 100 אחוזים.
שלוש דוגמאות פתורות
שטח מרובע בשתי דרכים שמאמתות זו את זו, מציאת קודקוד שמקיים דרישה על השטח, וממוצע מטבלת שכיחויות שאותו קל לחשב לא נכון.
- הצורה: קודקודיה הם (1, 1), (9, 1), (9, 4) ו-(1, 8).
- מזהים אותה. שתי הצלעות שעולות מן הבסיס אנכיות ולכן מקבילות זו לזו, ואורכן שונה: אחת 4 − 1 כלומר 3, והשנייה 8 − 1 כלומר 7. זהו טרפז שגובהו הוא הבסיס האופקי.
- מודדים את הגובה: 9 − 1 כלומר 8.
- דרך ראשונה, נוסחת הטרפז: חצי סכום הבסיסים כפול הגובה, כלומר 3 + 72 כפול 8, שהוא 5 · 8 ומתקבל 40.
- דרך שנייה, פירוק לשני משולשים באלכסון. משולש אחד בסיסו 8 וגובהו 3, ושטחו 12. השני בסיסו 8 וגובהו 7, ושטחו 28.
- בדיקה: 12 + 28 הוא 40, בדיוק כמו בדרך הראשונה. שתי דרכים שנפגשות באותו מספר הן אימות אמיתי, ולא רק חזרה על אותו חישוב.
- הצורה: קצות הבסיס הם (0, 0) ו-(12, 0), והקודקוד השלישי יושב ב-(5, 8).
- מחשבים את השטח המקורי. הבסיס מונח על הציר האופקי ואורכו 12, והגובה אליו הוא הרכיב השני של הקודקוד, כלומר 8. השטח הוא 12 · 82 שהוא 48.
- שואלים מה בדיוק צריך להשתנות. הבסיס נשאר, ולכן רק הגובה יכול לזוז. השטח פרופורציוני לגובה, ולכן רבע מן השטח פירושו רבע מן הגובה.
- מחשבים את הגובה החדש: 84 כלומר 2.
- בוחרים נקודה בגובה הזה. למשל (5, 2), אבל גם (11, 2) ואפילו (−4, 2) מתאימות בדיוק באותה מידה, מפני שהשטח אינו מרגיש כלל את התזוזה לצדדים.
- בדיקה: 12 · 22 הוא 12, ואכן 484 הוא 12. שימו לב שיש כאן אינסוף תשובות נכונות, וכולן על ישר אחד אופקי.
- הטבלה: הערך 3 מופיע 4 פעמים, הערך 5 מופיע 6 פעמים, והערך 8 מופיע 10 פעמים.
- הטעות הנפוצה: לחשב 3 + 5 + 83 ולקבל בערך 5.33. זה ממוצע של שלושה מספרים, ולא של הנתונים, מפני שהוא מתייחס אל 3 ואל 8 כאילו משקלם זהה.
- הדרך הנכונה, שקלול: 3 · 4 הוא 12, 5 · 6 הוא 30, ו-8 · 10 הוא 80. הסכום כולו הוא 12 + 30 + 80 שהוא 122.
- מחלקים במספר הפריטים ולא במספר השורות: 4 + 6 + 10 הוא 20, ולכן הממוצע הוא 12220 שהוא 6.1.
- בדיקת היגיון: הערך 8 הוא הנפוץ ביותר, ולכן הממוצע צריך להימשך כלפי מעלה, אל הצד שלו. 6.1 אכן גדול מ-5.33, וזה בדיוק מה שהיינו מצפים לו.
תרגול הפרק
שלושה סטים של שש שאלות, מהקל אל הקשה: קודם שיעורים, מקטעים ושטחים פשוטים על הרשת, אחר כך מרובעים, הזזת קודקוד והשוואת שטחים, ולבסוף כל מדדי הנתונים. אחריהם סט רביעי, ארבע משימות פתוחות. המשימות הפתוחות אינן נספרות בציון, כי בנייה של דוגמה ובחירה מנומקת אינן ניתנות לבדיקה אוטומטית.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה יש בפרק הזה
- 1מקטע מקביל לציר נמדד בהפרש אחד. אלכסוני דורש משולש עזר.
- 2שטח על הרשת: בסיס על ציר, או השלמה למלבן וחיסור.
- 3הזזת קודקוד לאורך קו מקביל לבסיס אינה משנה את השטח כלל.
- 4ממוצע משוקלל: כל ערך כפול שכיחותו, לחלק לסך הפריטים.
- 5חציון נקבע לפי מיקום, ולכן ערך חריג כמעט אינו מזיז אותו.
- 6שכיחות יחסית נכתבת כשבר, כעשרוני וכאחוז, וסכומן תמיד שלם.
