מתמטיקה

לפני שמתחילים

בשאלון שש שאלות, וכל שאלה שווה 20 נקודות. מותר לענות על כמה שאלות שרוצים, במלואן או בחלקן, אבל סך הנקודות לא יעלה על 100. חמש שאלות מלאות כבר מביאות לציון המרבי, ולכן שאלה שישית היא רשת ביטחון: היא יכולה לכסות על נקודות שאבדו בשאלה אחרת.

משך הבחינה שעתיים. מותרים מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות.

השאלות מחולקות לשלושה אשכולות, שתי שאלות בכל אחד: חברה ומדע (שאלות 1 ו-2), התמצאות במישור ובמרחב (שאלות 3 ו-4), ופיננסי כלכלי (שאלות 5 ו-6).

כאן פתורות כל שש השאלות. בכל שאלה מופיעים הנתונים, השלבים והנימוק לכל שלב, ובסופה הערה קצרה על המקום שבו נופלים. השאלון מבקש לרשום במחברת את שלבי הפתרון גם כשהחישוב נעשה במחשבון, וכך כתוב גם כאן.

אשכול חברה ומדע

שאלה 1, ממוצע מתוך דיאגרמת עמודות (20 נקודות)

הנתונים. הגרף מראה כמה שעות גלשה סמדר באינטרנט בכל אחד מארבעה חודשים בשנת

1. כל עמודה מגיעה בדיוק עד אחד מקווי הרשת, ולכן קוראים את הגובה שלה ישר

מן הציר:

סעיף א: הממוצע

ממוצע הוא סכום כל הנתונים חלקי מספר הנתונים. כאן יש ארבעה נתונים, אחד לכל חודש:

הממוצע הוא 65 שעות גלישה בחודש.

סעיף ב: בכמה גדל הממוצע בשנת 2021

בשנת 2021 נוספו 20 שעות בפברואר, ושאר החודשים לא השתנו. אפשר פשוט לחשב את הממוצע החדש:

ויש גם דרך קצרה, וכדאי להכיר אותה: הסכום גדל ב-20, והסכום הזה מתחלק תמיד בארבעה. לכן הממוצע גדל ב-

הממוצע גדל ב-5 שעות.

סעיף ג: שעות הגלישה בינואר 2022

כאן המצב הפוך: הממוצע ידוע, וחסר נתון אחד. נעבור דרך הסכום. אם הממוצע של ארבעה חודשים הוא 67, הסכום שלהם הוא

שלושת החודשים האחרים נשארו כמו בשנת 2020:

וכל מה שנשאר מן הסכום שייך לינואר:

נבדוק את עצמנו:

בינואר 2022 גלשה סמדר 68 שעות.

איפה נופלים בשאלה 1. בסעיף ב רבים עונים 20, כי זו התוספת של פברואר. אבל השאלה שואלת על הממוצע, והתוספת מתפזרת על ארבעה חודשים. בסעיף ג אל תנסו לנחש את ינואר מתוך הממוצע הישן; הדרך הבטוחה היא תמיד לחשב את הסכום, להוריד ממנו את הידוע, ולבדוק בסוף שהממוצע יוצא 67.

שאלה 2, הסתברות בהטלת שתי קוביות (20 נקודות)

הנתונים. מטילים שתי קוביות מאוזנות וזהות. על הפאות של כל קובייה כתובים המספרים 1 עד 6.

כמה תוצאות יש. כל תוצאה של ההטלה היא זוג: המספר שיצא בקובייה הראשונה והמספר שיצא בשנייה. בראשונה יש 6 אפשרויות, ולכל אחת מהן 6 אפשרויות בשנייה:

הקוביות מאוזנות, ולכן כל 36 הזוגות שווי סיכוי. מכאן כלל העבודה לכל השאלה:

שימו לב: גם כשהקוביות זהות למראה, הן שתי קוביות נפרדות. הזוג "2 בראשונה ו-6 בשנייה" שונה מן הזוג "6 בראשונה ו-2 בשנייה", וכל אחד מהם נספר לחוד.

הנה טבלה של סכומי כל 36 הזוגות. השורה היא המספר בקובייה הראשונה, והעמודה היא המספר בקובייה השנייה:

כל סעיף מעכשיו הוא ספירה של תאים בטבלה.

סעיף א: אותו מספר בשתי הקוביות

הזוגות שבהם יוצא אותו מספר הם האלכסון של הטבלה:

שישה זוגות מתוך 36:

ההסתברות היא 16, בערך 0.167.

סעיף ב: הסכום 2

הסכום 2 מתקבל רק כששתי הקוביות מראות 1, כי זה המספר הקטן ביותר על כל קובייה. יש זוג אחד בלבד, (1,1):

ההסתברות היא 136, בערך 0.028.

סעיף ג: הסכום 8

נעבור על המספר בקובייה הראשונה, ונשאל מה צריך לצאת בשנייה כדי להשלים ל-8:

אם בראשונה יוצא 1, השנייה הייתה צריכה להראות 7, ואין מספר כזה. לכן יש חמישה זוגות:

ההסתברות היא 536, בערך 0.139.

סעיף ד: סכום גדול מ-10

"גדול מ-10" פירושו 11 או 12. הסכום 10 עצמו אינו נכלל.

שלושה זוגות מתוך 36:

ההסתברות היא 112, בערך 0.083.

איפה נופלים בשאלה 2. הטעות הנפוצה ביותר היא לספור את (2,6) ואת (6,2) כתוצאה אחת, כי "הקוביות זהות". אז בסעיף ג יוצאים רק שלושה זוגות במקום חמישה. הטעות השנייה היא בסעיף ד: לכלול גם את הסכום 10, ולקבל 636 במקום 336.

אשכול התמצאות במישור ובמרחב

שאלה 3, היקף ושטח של עיגול (20 נקודות)

הנתונים. בסיס הטרמפולינה הוא עיגול, ורדיוס הבסיס 1.2 מטרים.

נזכיר את שתי הנוסחאות מדפי הנוסחאות, כש-r הוא הרדיוס:

את π לוקחים מן המקש במחשבון. מי שמחשב עם 3.14 יקבל את אותן תשובות אחרי עיגול לשתי ספרות אחרי הנקודה.

סעיף א: היקף הבסיס

היקף הבסיס הוא 2.4π מטרים, בערך 7.54 מטרים.

סעיף ב: שטח הבסיס

קודם מעלים את הרדיוס בריבוע, ורק אחר כך כופלים ב-π:

שטח הבסיס הוא 1.44π מ"ר, בערך 4.52 מ"ר.

סעיף ג: הרדיוס של טרמפולינה שהיקפה 11.3 מטרים

הפעם ההיקף ידוע, והרדיוס הוא הנעלם. נציב בנוסחת ההיקף:

נחלק את שני האגפים ב-2π:

נבדוק: 2 × π × 1.8 ≈ 11.31, וזה ההיקף הנתון אחרי עיגול.

אורך הרדיוס הוא בערך 1.8 מטרים.

איפה נופלים בשאלה 3. בסעיף ב כותבים 1.2² = 2.4, כלומר כופלים ב-2 במקום לכפול את המספר בעצמו. בסעיף ג נוטים לחלק רק ב-2 או רק ב-π. ההיקף הוא 2 כפול π כפול הרדיוס, ולכן מחלקים בשניהם יחד, ב-2π.

שאלה 4, מלבן, היקף ומשפט פיתגורס (20 נקודות)

הנתונים. מגרש המשחקים הוא המלבן ABCD. אורך הצלע AB הוא x, והצלע BC גדולה ממנה ב-7 מטרים.

סעיף א: הצלע BC

"גדולה ב-7" פירושו מוסיפים 7:

BC = x + 7

סעיף ב: מציאת x

הגדר מקיפה את המגרש, ולכן אורך הגדר הוא ההיקף של המלבן. במלבן כל צלע מופיעה פעמיים, כי הצלעות הנגדיות שוות: CD = AB = x, ו-AD = BC = x + 7. נחבר את ארבע הצלעות:

מכאן AB = 5 מטרים ו-BC = 5 + 7 = 12 מטרים. נבדוק: 2 × 5 + 2 × 12 = 10 + 24 = 34.

x = 5 מטרים.

סעיף ג: המרחק שהלך חנן

חנן הלך בקו ישר מ-A ל-C, כלומר לאורך האלכסון AC. במלבן כל הזוויות ישרות, ולכן המשולש ABC הוא משולש ישר זווית, שהזווית הישרה שלו ב-B. הניצבים הם AB ו-BC, והאלכסון AC הוא היתר. לפי משפט פיתגורס:

חנן הלך 13 מטרים.

איפה נופלים בשאלה 4. בסעיף ב יש מי שכותב x + (x + 7) = 34, כלומר סופר רק שתי צלעות במקום ארבע, ומקבל x = 13.5. בסעיף ג יש מי שמחבר 5 + 12 = 17 ושוכח את פיתגורס. הקו הישר באלכסון תמיד קצר מן ההליכה לאורך שתי הצלעות, וזו בדיקה מהירה: 13 קטן מ-17.

אשכול פיננסי כלכלי

שאלה 5, דיאגרמת תמונות ושינוי באחוזים (20 נקודות)

הנתונים. הדיאגרמה מראה כמה מכוניות פרטיות מסוג מסוים נמכרו בכל שנה, מ-2012 עד 2017. לפי המקרא, מכונית בהירה (רק קווי מתאר) מייצגת 1,000 מכוניות, ומכונית כהה מייצגת 500 מכוניות.

לפני שעונים על סעיף כלשהו, כדאי לספור את כל השנים פעם אחת ולסדר בטבלה:

למשל בשנת 2013: חמש מכוניות בהירות ועוד מכונית כהה אחת, כלומר 5 × 1,000 + 500 = 5,500.

סעיף א: שנת 2014

בעמודה של 2014 יש ארבע מכוניות בהירות ומעליהן מכונית כהה אחת:

בשנת 2014 נמכרו 4,500 מכוניות.

סעיף ב: השנה שבה נמכרו 5,500 מכוניות

כדי להגיע ל-5,500 צריך חמש מכוניות בהירות ועוד מכונית כהה אחת. בטבלה רק שנה אחת מתאימה.

בשנת 2013 נמכרו 5,500 מכוניות.

סעיף ג: השנה שבה נמכרו הכי מעט מכוניות

העמודה הנמוכה ביותר היא של 2016: שלוש מכוניות בהירות בלבד, בלי מכונית כהה. שנת 2015 נראית קרובה, אבל יש בה עוד מכונית כהה, כלומר 500 מכוניות יותר.

בשנת 2016 נמכרו הכי מעט מכוניות, 3,000 מכוניות.

סעיף ד: בכמה אחוזים גדלו המכירות מ-2012 ל-2013

שינוי באחוזים מחשבים תמיד ביחס לערך שממנו התחלנו, וכאן זו שנת 2012.

הגידול במספר המכוניות:

ועכשיו נשאל כמה אחוזים הם 1,500 מתוך 4,000:

נבדוק: 4,000 × 1.375 = 5,500.

מספר המכוניות שנמכרו גדל ב-37.5 אחוזים.

איפה נופלים בשאלה 5. בספירה שוכחים שהמכונית הכהה שווה רק 500, וסופרים אותה כאלף. בסעיף ד מחלקים ב-5,500 במקום ב-4,000 ומקבלים בערך 27.3 אחוזים. המילים "בהשוואה לשנת 2012" אומרות במה מחלקים: בשנת 2012.

שאלה 6, חבילת סלולר (20 נקודות)

הנתונים. החבילה עולה 90 שקלים לחודש וכוללת עד 600 דקות שיחה. כל דקה מעבר ל-600 עולה עוד 0.25 שקלים.

כדאי לראות את התשלום החודשי כשני חלקים: חלק קבוע של 90 שקלים, שמשלמים תמיד, וחלק משתנה, שתלוי רק בדקות הנוספות.

סעיף א: תוספת על 100 דקות חריגה

התוספת היא מספר הדקות הנוספות כפול המחיר של דקה נוספת:

תוספת התשלום היא 25 שקלים.

סעיף ב: התשלום של ספיר

ספיר דיברה 720 דקות. רק הדקות שמעבר ל-600 עולות כסף נוסף:

ספיר שילמה בחודש זה 120 שקלים סך הכול.

סעיף ג: הדקות הנוספות של דביר

הפעם התשלום ידוע ומחפשים את הדקות. קודם נוריד את החלק הקבוע, כדי לדעת כמה שילם דביר על הדקות הנוספות בלבד:

כל דקה נוספת עולה 0.25 שקלים, כלומר רבע שקל. נחלק:

מי שמעדיף לחשוב ברבעים: בכל שקל יש ארבעה רבעים, ולכן 40 שקלים קונים 40 × 4 = 160 דקות. נבדוק: 90 + 160 × 0.25 = 90 + 40 = 130.

דביר השתמש ב-160 דקות שיחה נוספות, כלומר דיבר באותו חודש 760 דקות בסך הכול.

סעיף ד: הביטוי שמתאר את התשלום

לפי שני החלקים שראינו, התשלום הוא 90 שקלים קבועים ועוד 0.25 שקלים על כל אחת מ-x הדקות הנוספות:

הביטוי הנכון הוא ביטוי (4), 90 + 0.25x.

למה שלושת האחרים אינם מתאימים:

• ביטוי (1), 90 + x, מחייב שקל שלם על כל דקה נוספת, ולא רבע שקל.
• ביטוי (2), 90x + 0.25, כופל את מחיר החבילה במספר הדקות. מנוי שחרג ב-10 דקות היה משלם לפיו 900 שקלים ורבע, וזה כמובן לא הגיוני.
• ביטוי (3), 0.25x, מתאר רק את התוספת ושוכח את 90 השקלים הקבועים.

בדיקה עם סעיף ג: ב-x = 160 הביטוי נותן 90 + 0.25 × 160 = 90 + 40 = 130, בדיוק התשלום של דביר.

איפה נופלים בשאלה 6. בסעיף ב כופלים את כל 720 הדקות ב-0.25 ושוכחים ש-600 הדקות הראשונות כבר כלולות בחבילה. בסעיף ג מחלקים את כל 130 השקלים ב-0.25 ומקבלים 520, בלי להוריד קודם את 90 השקלים הקבועים.

התשובות בקצרה