מתמטיקה

לפני שמתחילים

בשאלון שש שאלות, מחולקות לשלושה אשכולות, וכל שאלה שווה 20 נקודות. מותר לענות, באופן מלא או חלקי, על כמה שאלות שרוצים, אבל סך הנקודות לא יעלה על 100. השאלון אינו מפרט ניקוד לתת-סעיפים.

משך הבחינה שעתיים. מותרים מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות.

כאן פתורות כל שש השאלות, כדי שכל בחירה אפשרית של תלמיד תהיה מכוסה. בכל שאלה מופיעים הנתונים, השלבים והנימוק לכל שלב, ובסופה הערה קצרה על המקום שבו נופלים.

אשכול חברה ומדע

שאלה 1, קריאת גרף של תנועה (20 נקודות)

הנתונים. אבי ובני שוחים בבריכה שאורכה 30 מטרים. כל אחד מהם שוחה מתחילת הבריכה אל הקצה השני, נח שם מעט, וחוזר לנקודת ההתחלה, פעם אחת. שניהם התחילו לשחות באותו רגע, ואבי שוחה מהר יותר מבני. בגרף שני קווים, רציף ומקווקו, וכל אחד מהם מתאר את המרחק של שחיין אחד מתחילת הבריכה כפונקצייה של הזמן בשניות.

קודם כול קוראים את הגרף. על ציר הזמן מסומנים המספרים 20 , 40 , 60 , 80 , 100, ובין כל שניים מהם שתי משבצות, ולכן כל משבצת היא 10 שניות. על ציר המרחק מסומנים 20 ו-40, וגם שם כל משבצת היא 10 מטרים. הקטעים האופקיים של שני הקווים נמצאים בגובה 30, וזה בדיוק אורך הבריכה, כלומר הקצה הרחוק.

נרשום את נקודות השבירה של כל קו:

סעיף א: איזה גרף שייך לכל שחיין

שני השחיינים עוברים אותו מרחק, 30 מטרים, עד הקצה. הקו הרציף מגיע לשם כעבור 20 שניות, והקו המקווקו רק כעבור 40 שניות. מי שעובר אותו מרחק בפחות זמן שוחה מהר יותר, ובגרף זה נראה כקו תלול יותר. נחשב גם את המהירויות:

אותו דבר בדרך חזרה: הקו הרציף חוזר ב-20 שניות (מ-30 עד 50), והמקווקו ב-40 שניות (מ-60 עד 100).

נתון שאבי שוחה מהר יותר, ולכן הקו הרציף מתאר את השחייה של אבי, והקו המקווקו מתאר את השחייה של בני.

סעיף ב: כמה זמן נח כל שחיין

בזמן המנוחה המרחק מתחילת הבריכה אינו משתנה, ולכן המנוחה היא הקטע האופקי של כל קו.

אבי נח 10 שניות, ובני נח 20 שניות.

סעיף ג: מתי נפגשו השחיינים

השחיינים נפגשים כשהם נמצאים באותו מרחק מתחילת הבריכה באותו רגע, כלומר בנקודה שבה שני הקווים נחתכים. ברגע 0 שניהם בנקודת ההתחלה, אבל זו היציאה ולא פגישה במהלך השחייה. נקודת החיתוך האחרת נמצאת בגרף מעט אחרי 30 שניות, בין 30 ל-40, ומעל קו ה-20 מטרים.

אפשר לקרוא אותה בעין, ואפשר לחשב אותה בדיוק. בקטע הזה בני עדיין בדרך אל הקצה, ומתקדם 0.75 מטרים בכל שנייה, ולכן המרחק שלו הוא

אבי כבר בדרך חזרה: ברגע 30 הוא בקצה, 30 מטרים מן ההתחלה, ובכל שנייה הוא מתקרב להתחלה ב-1.5 מטרים, ולכן המרחק שלו הוא

נשווה בין שני המרחקים:

ונציב כדי לדעת היכן הם נפגשו:

בדיקה בדרך אחרת: ברגע 30 אבי נמצא ב-30 מטרים ובני ב-0.75 × 30 = 22.5 מטרים. ביניהם 7.5 מטרים, והם שוחים זה לקראת זה, ולכן המרחק ביניהם קטן ב-1.5 + 0.75 = 2.25 מטרים בכל שנייה. 7.5 : 2.25 = 3⅓ שניות, ו-30 + 3⅓ = 33⅓.

השחיינים נפגשו כעבור 33 שניות בערך (בדיוק 33⅓ שניות) מתחילת השחייה, במרחק 25 מטרים מתחילת הבריכה.

סעיף ד: באותו כיוון או בכיוונים מנוגדים

ברגע הפגישה הקו הרציף יורד, כלומר המרחק של אבי מתחילת הבריכה הולך וקטן: הוא בדרך חזרה. הקו המקווקו עולה, כלומר המרחק של בני הולך וגדל: הוא עוד בדרך אל הקצה, ויגיע אליו רק ברגע 40.

בנקודת הפגישה השחיינים שחו בכיוונים מנוגדים.

סעיף ה: בכמה שניות הקדים אבי את בני

אבי חזר לתחילת הבריכה כעבור 50 שניות, ובני כעבור 100 שניות:

אבי סיים את שחייתו 50 שניות לפני בני.

איפה נופלים בשאלה 1. בסעיף א יש מי שמתאים לאבי את הקו הארוך יותר, כי "הוא הגיע רחוק". שני הקווים מגיעים לאותו מרחק, 30 מטרים, וההבדל הוא רק בזמן, ולכן המהיר הוא הקו התלול. בסעיף ב רושמים לפעמים את רגע ההגעה לקצה, 20 או 40, במקום את אורך הקטע האופקי. בסעיף ג נוטים לענות 30 שניות, כי שם אבי מתחיל לחזור, אבל הקווים נחתכים רק מעט אחר כך.

שאלה 2, סטטיסטיקה והסתברות מתוך טבלת שכיחויות (20 נקודות)

הנתונים. הטבלה מתארת את מספר הילדים במשפחה ביישוב מסוים:

ראשית נחשב כמה משפחות יש ביישוב, כי המספר הזה ישמש אותנו כמעט בכל סעיף:

ביישוב 32 משפחות.

סעיף א: דיאגרמת מקלות

על הציר האופקי רושמים את מספר הילדים במשפחה, 1 , 2 , 3 , 4 , 5. על הציר האנכי רושמים את מספר המשפחות, מ-0 עד 12, למשל בקפיצות של 2. מעל כל ערך מעלים מקל (עמודה צרה) שגובהו מספר המשפחות. המקלות נפרדים זה מזה, כי המשתנה בדיד: אין משפחה עם 2.5 ילדים.

גובהי המקלות משמאל לימין: 4 , 8 , 12 , 6 , 2. כך נראית הדיאגרמה:

12 |       ██
10 |       ██
 8 |    ██ ██
 6 |    ██ ██ ██
 4 | ██ ██ ██ ██
 2 | ██ ██ ██ ██ ██
     1  2  3  4  5

הציר האנכי הוא מספר המשפחות, והאופקי הוא מספר הילדים במשפחה. לא לשכוח לרשום את שמות הצירים על הדיאגרמה.

סעיף ב: מספר הילדים הממוצע למשפחה

הממוצע הוא סך כל הילדים ביישוב חלקי מספר המשפחות. כדי למצוא את סך הילדים מכפילים כל ערך בשכיחות שלו:

מספר הילדים הממוצע למשפחה ביישוב הוא 2.8125, כלומר בערך 2.81.

סעיף ג: החציון

החציון הוא הערך שנמצא באמצע, אחרי שמסדרים את כל 32 המשפחות לפי מספר הילדים מן הקטן אל הגדול. מספר המשפחות זוגי, ולכן באמצע יש שתי משפחות, המשפחה ה-16 והמשפחה ה-17, והחציון הוא הממוצע של שני הערכים שלהן.

נספור לפי הסדר:

המשפחה ה-16 והמשפחה ה-17 נמצאות שתיהן בקבוצה של 13 עד 24, ולשתיהן 3 ילדים:

החציון הוא 3 ילדים.

סעיף ד: השכיח

השכיח הוא הערך שמופיע הכי הרבה פעמים, כלומר זה שהשכיחות שלו הגדולה ביותר. השכיחות הגדולה בטבלה היא 12, והיא שייכת לערך 3.

המספר השכיח של ילדים במשפחה הוא 3, כי ל-12 משפחות, יותר מכל ערך אחר, יש 3 ילדים.

סעיף ה: בחירה מקרית של משפחה

כל המשפחות שוות סיכוי להיבחר, ולכן ההסתברות היא מספר המשפחות המתאימות חלקי 32.

(1) משפחות עם 2 ילדים או עם 3 ילדים:

ההסתברות היא 58, כלומר 0.625.

(2) בסעיף ד מצאנו שהשכיח הוא 3. מספר ילדים קטן מן השכיח פירושו 1 ילד או 2 ילדים:

ההסתברות היא 38, כלומר 0.375.

איפה נופלים בשאלה 2. בסעיף ב מחלקים את סכום השכיחויות, 32, ב-5, ומקבלים 6.4, שאינו קשור כלל למספר הילדים. צריך להכפיל כל ערך בשכיחות שלו. בסעיף ד עונים 12 במקום 3: 12 הוא מספר המשפחות, והשכיח הוא מספר הילדים. בסעיף ה(2) שוכחים שהמילה "השכיח" מפנה לתשובה של סעיף ד, ובודקים "קטן מ-12".

אשכול התמצאות במישור ובמרחב

שאלה 3, מלבן: אחוזים והיקף (20 נקודות)

הנתונים. חניון של בית משותף הוא מלבן, ואחת הצלעות שלו גדולה ב-20 מטרים מן הצלע השנייה. הדיירים הגדילו את הצלע הגדולה ב-20% ואת הצלע הקטנה פי 2. היקף החניון אחרי ההרחבה הוא 80 מטרים. השאלה: מה היו מידות החניון המקורי, ומה היה ההיקף שלו.

נסמן. נסמן ב-a את הצלע הקטנה של החניון המקורי, במטרים. אז:

מה קרה בהרחבה. הגדלה ב-20% פירושה שהצלע נעשית 120% ממה שהייתה, כלומר כופלים אותה ב-1.2. הגדלה פי 2 פירושה כפל ב-2:

המשוואה. ההיקף של מלבן הוא פעמיים סכום שתי הצלעות הסמוכות, ונתון שההיקף החדש הוא 80:

ומכאן

מידות החניון המקורי היו 5 מטרים על 25 מטרים.

ההיקף המקורי:

היקף החניון המקורי היה 60 מטרים.

בדיקה: אחרי ההרחבה הצלע הגדולה היא 25 × 1.2 = 30, והקטנה 5 × 2 = 10. ההיקף 2 × (30 + 10) = 80, כנתון. זה מתאים גם לסרטוט: לצלע הארוכה נוספה רצועה צרה (5 מטרים מתוך 30), והצלע הקצרה הוכפלה.

איפה נופלים בשאלה 3. הטעות השכיחה היא להוסיף 20 מטרים לצלע הגדולה במקום להגדיל אותה ב-20%. "גדולה ב-20 מטרים" ו"הוגדלה ב-20%" הם שני משפטים שונים בשאלה: הראשון הוא הפרש, השני הוא כפל ב-1.2. טעות נוספת היא לעצור אחרי המידות ולשכוח שהשאלה מבקשת גם את ההיקף המקורי.

שאלה 4, משפט פיתגורס ואחוזים משטח (20 נקודות)

הנתונים. לדלית חדר שמידותיו 4.2 מטרים על 3.8 מטרים. היא רוצה שטיח שיכסה לא יותר מ-20% משטח החדר. בחנות ראתה שטיח מלבני. בסרטוט נתונים אורך צלע אחת של השטיח, 2.3 מטרים, ואורך האלכסון שלו, 2.8 מטרים.

סעיף א: מידות השטיח

האלכסון מחלק את המלבן לשני משולשים ישרי זווית. בכל אחד מהם שתי הצלעות של המלבן הן הניצבים, והאלכסון הוא היתר. נסמן ב-b את הצלע החסרה, ולפי משפט פיתגורס:

מידות השטיח הן 2.3 מטרים על 1.6 מטרים בקירוב (1.597 מטרים).

שימו לב שהסרטוט אינו בקנה מידה: בסרטוט הצלע של 2.3 מטרים נראית הקצרה, אבל החישוב מראה שהצלע השנייה קצרה ממנה. סומכים על המספרים, לא על המראה.

סעיף ב: האם השטיח עונה על הדרישה

שטח החדר:

השטח המרבי שדלית מוכנה לכסות, 20% משטח החדר:

שטח השטיח:

נשווה: 3.67 גדול מ-3.192. אפשר לראות זאת גם באחוזים:

לא, השטיח אינו עונה על הדרישה של דלית. שטחו כ-3.67 מ"ר, והוא מכסה כ-23% משטח החדר, יותר מ-20%. גם אם מעגלים את הצלע ל-1.6 מטרים מקבלים 3.68 מ"ר, ואותה מסקנה.

איפה נופלים בשאלה 4. בסעיף א יש מי שמחבר את הריבועים במקום לחסר, כאילו 2.8 הוא ניצב, ומקבל צלע גדולה מן האלכסון. האלכסון הוא היתר, והוא תמיד הצלע הארוכה במשולש. בסעיף ב משווים לפעמים את שטח השטיח לשטח החדר כולו, ומסיקים שהשטיח "קטן מן החדר ולכן מתאים". הדרישה היא 20% מן החדר, לא החדר כולו.

אשכול פיננסי כלכלי

שאלה 5, שני ישרים: חיתוך והשוואה (20 נקודות)

הנתונים. לדרבי כדורסל בין שתי נבחרות בתי ספר צריך הסעה. בבית ספר א נתן המנהל 1,500 שקלים, וכל תלמיד שילם 5 שקלים. בבית ספר ב נתן המנהל 1,200 שקלים, וכל תלמיד שילם 8 שקלים. נסמן ב-x את מספר התלמידים ששילמו, וב-y את הסכום שנאסף בשקלים. התבניות הנתונות:

בסרטוט שני ישרים, ועליהם האותיות א ו-ב.

סעיף א: התאמת התבניות לישרים

בכל תבנית שני מספרים, ולכל אחד מהם משמעות בגרף:

• המספר החופשי הוא הסכום כאשר x = 0, כלומר כסף המנהל, והוא הנקודה שבה הישר חותך את הציר האנכי. בתבנית (1) הוא 1,500, ובתבנית (2) הוא 1,200. הישר של תבנית (1) חותך את הציר האנכי גבוה יותר.
• המקדם של x הוא השיפוע, הסכום שנוסף על כל תלמיד. בתבנית (1) הוא 5, ובתבנית (2) הוא 8. הישר של תבנית (2) תלול יותר.

בסרטוט, הישר שעליו האות ב מתחיל גבוה יותר על הציר האנכי ועולה במתינות, והישר שעליו האות א מתחיל נמוך יותר ועולה בתלילות. שני הסימנים מצביעים לאותו כיוון:

תבנית (1), y = 5x + 1500, מתאימה לישר המסומן ב. תבנית (2), y = 8x + 1200, מתאימה לישר המסומן א.

הערה: לפי הסיפור, תבנית (1) היא הכסף של בית ספר א, ותבנית (2) היא הכסף של בית ספר ב. האותיות שעל הישרים בסרטוט אינן תואמות את שמות בתי הספר. ההתאמה בסעיף הזה נעשית לפי צורת הישרים בסרטוט, כפי שהשאלה מבקשת.

סעיף ב: נקודת החיתוך של הישרים

בנקודת החיתוך שני הסכומים שווים:

ונציב באחת התבניות:

בדיקה בתבנית השנייה: 8 × 100 + 1200 = 2000.

נקודת החיתוך היא (100 , 2000). פירושה: כשבכל בית ספר משלמים 100 תלמידים, בשני בתי הספר נאסף אותו סכום, 2,000 שקלים.

סעיף ג: באיזה בית ספר שילמו יותר תלמידים

בכל אחד מבתי הספר נאספו 2,800 שקלים. נציב y = 2800 בכל תבנית.

בית ספר א:

בית ספר ב:

בבית ספר א מספר התלמידים ששילמו היה גדול יותר: 260 תלמידים, לעומת 200 בבית ספר ב.

אפשר גם להבין זאת מן הגרף: אחרי נקודת החיתוך, ב-2,000 שקלים, הישר התלול של בית ספר ב מגיע לכל סכום גדול יותר עם פחות תלמידים, כי כל תלמיד בו משלם יותר.

איפה נופלים בשאלה 5. בסעיף א מתאימים לפי האות בלבד, תבנית (1) לישר א, בלי לבדוק את הסרטוט. ההתאמה נקבעת לפי נקודת החיתוך עם הציר האנכי והשיפוע. בסעיף ג יש מי שמחלק את 2,800 במחיר לתלמיד, ושוכח להפחית קודם את כסף המנהל.

שאלה 6, דיאגרמת עיגול ואחוזים (20 נקודות)

הנתונים. דיאגרמת העיגול מתארת את חלוקת ההוצאות הממוצעת של משפחת סלע בחודש:

סעיף א: אחוז ההוצאות על "שונות"

כל העיגול הוא 100% מן ההוצאות:

משפחת סלע מוציאה 18% מן ההוצאות על "שונות".

סעיף ב: חודש שבו ההוצאה הייתה 5,000 שקלים

בסופרמרקט שילמה המשפחה 2,500 שקלים, ועל חינוך הוציאה 1,000 שקלים.

סעיף ג: חודש שבו החשבונות היו 1,240 שקלים

החשבונות הם 12% מן ההוצאה החודשית. נסמן ב-T את ההוצאה החודשית:

אפשר גם בשני צעדים: 1% הוא 1240 : 12 ≈ 103.33 שקלים, ו-100% הם פי 100 מזה.

ההוצאה החודשית של המשפחה הייתה 10,333.33 שקלים בקירוב (10,333⅓ שקלים).

בדיקה: 10,333⅓ × 0.12 = 1,240.

איפה נופלים בשאלה 6. בסעיף ג כופלים 1,240 ב-0.12 במקום לחלק, ומקבלים 148.8 שקלים, הוצאה חודשית קטנה מן החשבונות עצמם. כדאי לשאול תמיד: האם השלם שקיבלתי גדול מן החלק שהיה נתון? אם לא, החשבון הפוך.

התשובות בקצרה