מתמטיקה

לפני שמתחילים

בשאלון שש שאלות, וכל שאלה שווה 20 נקודות. מותר לענות על כמה שאלות שרוצים, במלואן או בחלקן, אבל סך הנקודות לא יעלה על 100. חמש שאלות מלאות כבר מביאות לציון המרבי, ולכן שאלה שישית היא רשת ביטחון: היא יכולה לכסות על נקודות שאבדו בשאלה אחרת. השאלון אינו מפרט ניקוד לתת-סעיפים.

משך הבחינה שעה וארבעים וחמש דקות. מותרים מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות.

השאלות מחולקות לשלושה אשכולות, שתי שאלות בכל אחד: חברה ומדע (שאלות 1 ו-2), התמצאות במישור ובמרחב (שאלות 3 ו-4), ופיננסי כלכלי (שאלות 5 ו-6).

כאן פתורות כל שש השאלות. בכל שאלה מופיעים הנתונים, השלבים והנימוק לכל שלב, ובסופה הערה קצרה על המקום שבו נופלים. השאלון מבקש לרשום במחברת את שלבי הפתרון גם כשהחישוב נעשה במחשבון, וכך כתוב גם כאן.

אשכול חברה ומדע

שאלה 1, ממוצע ואחוזים מתוך דיאגרמת עמודות (20 נקודות)

הנתונים. הדיאגרמה מראה כמה ספורטאים זכו בכל מספר של מדליות. על הציר האופקי מספר המדליות, ועל הציר האנכי מספר הספורטאים. כל עמודה מגיעה בדיוק לאחד מקווי הרשת, ולכן קוראים את הגובה ישר מן הציר:

שימו לב לסדר: הגובה של העמודה הוא כמה ספורטאים, והמספר שמתחתיה הוא כמה מדליות לכל אחד מהם. זה ההבדל שכל השאלה בנויה עליו.

סעיף א(1): כמה ספורטאים השתתפו

כל ספורטאי נספר בדיוק בעמודה אחת, ולכן מחברים את גובהי כל העמודות:

בתחרות השתתפו 25 ספורטאים.

סעיף א(2): המספר הממוצע של המדליות

ממוצע הוא סך כל המדליות חלקי מספר הספורטאים. את סך המדליות מוצאים עמודה אחרי עמודה: מספר המדליות כפול מספר הספורטאים שזכו בו.

הממוצע הוא 1.8 מדליות לספורטאי.

סעיף ב: אחוז הספורטאים שזכו ביותר מן הממוצע

הממוצע הוא 1.8. מספר המדליות הוא מספר שלם, ולכן "מעל 1.8" פירושו 2 מדליות או יותר. סופרים את הספורטאים בשלוש העמודות האלה:

עכשיו הופכים לאחוזים מתוך כל 25 הספורטאים:

60% מן הספורטאים זכו ביותר מדליות מן הממוצע.

סעיף ג: מה קורה לממוצע כשמוסיפים ספורטאי שזכה ב-2 מדליות

אפשר לענות בלי לחשב בכלל: הספורטאי החדש זכה ב-2 מדליות, וזה יותר מן הממוצע 1.8. כשמוסיפים לקבוצה נתון שגדול מן הממוצע שלה, הוא מושך את הממוצע כלפי מעלה. לכן הממוצע גדל.

ואם רוצים לראות את זה במספרים, מחשבים את הממוצע החדש. נוסף ספורטאי אחד ונוספו 2 מדליות:

ואכן 1.81 גדול מ-1.8.

הממוצע גדל, כי הספורטאי הנוסף זכה ב-2 מדליות, יותר מן הממוצע 1.8.

איפה נופלים בשאלה 1. בסעיף א(2) יש מי שמחבר 0 + 1 + 2 + 3 + 4 ומחלק ב-5, ומקבל 2. זה ממוצע של מספרי המדליות האפשריים, לא של הספורטאים; כל מספר מדליות צריך לקבל משקל לפי מספר הספורטאים שזכו בו. בסעיף ב שוכחים לפעמים שמדובר באחוזים, ועונים 15 במקום 60%. ובסעיף ג אסור לענות רק "גדל": השאלה מבקשת נימוק, והנימוק הוא ש-2 גדול מ-1.8.

שאלה 2, הסתברות: בחירת אבן דומינו (20 נקודות)

הנתונים. יש 28 אבני דומינו, ועל כל אבן שני מספרים מ-0 עד 6. כל זוג מספרים מופיע פעם אחת בלבד: האבן 2|5 והאבן 5|2 הן אותה אבן, ולכן בתרשים כל שורה מתחילה מן הזוג הכפול ולא חוזרת אחורה. בוחרים אבן אחת באקראי, כלומר לכל אחת מ-28 האבנים יש אותו סיכוי.

לכן בכל סעיף ההסתברות היא

וכל העבודה היא לספור נכון את האבנים המתאימות בתרשים.

סעיף א: האבן 6|6

יש אבן אחת בלבד שעליה 6 ו-6, בשורה האחרונה של התרשים.

ההסתברות היא 128.

סעיף ב: "דאבל", שני מספרים זהים

אלה האבנים שבתחילת כל שורה בתרשים:

שבע אבנים, אחת לכל מספר מ-0 עד 6.

ההסתברות היא 728 = 14.

סעיף ג: סכום המספרים הוא 7

נעבור על המספר הקטן שעל האבן ונשאל מה צריך להיות המספר השני:

• 0 צריך 7, ואין מספר כזה על דומינו.
• 1 צריך 6: האבן 1|6.
• 2 צריך 5: האבן 2|5.
• 3 צריך 4: האבן 3|4.
• מ-4 והלאה חוזרים על אותן אבנים (4|3 היא 3|4), ולכן לא נוספות אבנים חדשות.

שלוש אבנים בסך הכול.

ההסתברות היא 328.

סעיף ד: מכפלת המספרים היא 6

מחפשים שני מספרים מ-0 עד 6 שמכפלתם 6:

• 1 × 6 = 6: האבן 1|6.
• 2 × 3 = 6: האבן 2|3.

כל אבן שיש עליה 0 נותנת מכפלה 0, ושום זוג אחר לא נותן 6. שתי אבנים.

ההסתברות היא 228 = 114.

איפה נופלים בשאלה 2. הטעות הגדולה היא לחשוב על שתי קוביות, שבהן יש 36 תוצאות ו-2|5 שונה מ-5|2. בדומינו כל זוג מופיע פעם אחת, ולכן בסעיף ג עונים 328 ולא 628, ובסעיף ד 228 ולא 428. ובסעיף ג כדאי לבדוק שלא שכחתם את 0|7: אין אבן כזאת, כי המספר הגדול ביותר הוא 6.

אשכול התמצאות במישור ובמרחב

שאלה 3, ריבוע: צלע, אלכסון והגדלה באחוזים (20 נקודות)

הנתונים. המגרש הוא ריבוע ששטחו 1,225 מ"ר.

סעיף א: אורך הצלע

שטח ריבוע הוא צלע כפול צלע. נסמן את הצלע ב-a:

אורך צלע הוא מספר חיובי, ולכן לוקחים רק את השורש החיובי. בדיקה: 35 × 35 = 1,225.

אורך צלע המגרש 35 מטרים.

סעיף ב: אורך האלכסון

האלכסון חוצה את הריבוע לשני משולשים ישרי זווית. בכל אחד מהם הניצבים הם שתי צלעות של הריבוע, והיתר הוא האלכסון. נסמן את האלכסון ב-d ונשתמש במשפט פיתגורס:

אפשר לכתוב גם את התוצאה המדויקת: √2450 = 35√2.

אורך האלכסון 35√2, בערך 49.5 מטרים.

סעיף ג: הצלע של המגרש החדש

הגדלה ב-20% פירושה שהצלע החדשה היא 100% + 20% = 120% מן הצלע הישנה, כלומר פי 1.2:

או בשני שלבים: 20% מ-35 הם 7, ו-35 + 7 = 42.

אורך הצלע של המגרש החדש 42 מטרים.

סעיף ד: בכמה אחוזים גדל השטח

מחשבים את השטח החדש ומשווים לישן:

השינוי באחוזים הוא ההפרש חלקי הערך המקורי, כפול 100:

ויש דרך קצרה שכדאי להכיר: כל צלע גדלה פי 1.2, והשטח הוא צלע כפול צלע, ולכן הוא גדל פי 1.2 × 1.2 = 1.44, כלומר ב-44%.

שטח המגרש החדש גדול ב-44% משטח המגרש המקורי.

איפה נופלים בשאלה 3. בסעיף ד רבים עונים 20%, כי "הצלע גדלה ב-20%". אבל השטח תלוי בשתי הצלעות, וכל אחת מהן גדלה, ולכן השטח גדל ביותר: 44%. עוד טעות נפוצה היא לחלק את ההפרש בשטח החדש (539 ÷ 1764) במקום בשטח המקורי; השאלה שואלת בכמה החדש גדול מן המקורי, ולכן מחלקים במקורי.

שאלה 4, מלבן וחצי עיגול: שטח והיקף (20 נקודות)

הנתונים. הראי בנוי ממלבן ABCD ומחצי עיגול שצמוד אליו מלמעלה. בסרטוט הצלע התחתונה AB היא 50 ס"מ, והצלע הצדדית AD היא 80 ס"מ. הצלע העליונה CD היא קוטר של העיגול, ובמלבן הצלעות הנגדיות שוות, ולכן

ורדיוס העיגול הוא חצי מן הקוטר:

סעיף א(1): שטח חצי העיגול

שטח עיגול שלם הוא π × r². חצי עיגול הוא חצי מזה:

שטח חצי העיגול 312.5π, בערך 981.75 סמ"ר. (מי שמציב π = 3.14 מקבל 981.25 סמ"ר, וגם זו תשובה טובה.)

סעיף א(2): שטח הראי כולו

שטח הראי הוא שטח המלבן ועוד שטח חצי העיגול. שטח המלבן הוא אורך כפול רוחב:

שטח הראי כולו בערך 4,981.75 סמ"ר.

סעיף ב: אורך מסגרת הברזל

המסגרת עוברת סביב הקצה החיצוני של הראי. בואו נלך לאורך הקצה: מ-A ל-B בתחתית, מ-B ל-C בצד ימין, משם לאורך הקשת של חצי העיגול עד D, ובחזרה למטה מ-D ל-A. הקו המקווקו CD נמצא בתוך הראי, ולכן אין לו מסגרת.

שלוש הצלעות הישרות:

הקשת היא חצי מהיקף העיגול. היקף עיגול שלם הוא 2 × π × r:

ועכשיו מחברים:

אורך המסגרת הנדרש 210 + 25π, בערך 288.54 ס"מ, כלומר בערך 2.89 מטרים.

סעיף ג: האם 360 שקלים מספיקים

המחיר נתון למטר, והאורך שמצאנו בסנטימטרים, ולכן קודם ממירים: במטר יש 100 ס"מ.

עכשיו כופלים במחיר של מטר אחד:

כן, הסכום מספיק. המסגרת עולה בערך 346.25 שקלים, ולנדב נשארים בערך 13.75 שקלים. (עם π = 3.14 יוצא 346.20 שקלים, ומגיעים לאותה מסקנה.)

איפה נופלים בשאלה 4. בסעיף ב יש מי שמחשב את ההיקף של המלבן כולו (50 + 80 + 50 + 80 = 260) ומוסיף את הקשת. כך נכנסת לחשבון הצלע CD, שאינה בקצה של הראי, ומתקבלים 338.54 ס"מ. אחרים לוקחים היקף של עיגול שלם במקום חצי. ובסעיף ג קל לכפול 288.54 ב-120 ולקבל יותר מ-34,000 שקלים: בדקו תמיד שהיחידות מתאימות, סנטימטרים מול מחיר למטר.

אשכול פיננסי כלכלי

שאלה 5, גרף מדרגות: מחיר משלוח לפי משקל (20 נקודות)

הנתונים. הגרף בנוי מקטעים אופקיים, "מדרגות". בכל קטע המחיר קבוע, ובקצוות יש עיגולים: עיגול מלא פירושו שהנקודה שייכת לקטע, ועיגול ריק פירושו שהיא לא שייכת אליו. מן הגרף קוראים:

למשל, ב-50 גרם העיגול המלא נמצא בגובה 4 והעיגול הריק בגובה 9, ולכן חבילה של 50 גרם בדיוק עולה 4 שקלים.

סעיף א: חבילה של 400 גרם

המשקל 400 נמצא בין 350 ל-500, כלומר במדרגה העליונה.

מחיר המשלוח 23 שקלים.

סעיף ב: המשקל הגבוה ביותר במחיר 20 שקלים

המדרגה של 20 שקלים מתחילה אחרי 200 גרם (עיגול ריק) ונגמרת ב-350 גרם, ושם העיגול מלא. לכן 350 גרם עדיין עולים 20 שקלים, וכל משקל גבוה יותר כבר עולה 23.

המשקל הגבוה ביותר הוא 350 גרם.

סעיף ג: כמה חסכה דינה

אם דינה הייתה שולחת כל חבילה בנפרד:

• חבילה של 30 גרם נמצאת במדרגה של עד 50 גרם: 4 שקלים.
• חבילה של 150 גרם נמצאת במדרגה שבין 50 ל-200 גרם: 9 שקלים.

כשהיא מאחדת את החבילות, המשקל הוא

ו-180 גרם נמצאים עדיין במדרגה שבין 50 ל-200 גרם: 9 שקלים.

דינה חסכה 4 שקלים.

איפה נופלים בשאלה 5. הכול תלוי בעיגולים. בסעיף ב יש מי שעונה 200, כי שם מתחילה המדרגה של 20 שקלים; אבל שם העיגול ריק, ו-200 גרם עולים 9 שקלים. בסעיף ג שוכחים לפעמים לחשב את מחיר החבילה המאוחדת, ועונים 13. השאלה היא כמה חסכה, כלומר ההפרש בין שני המחירים.

שאלה 6, השוואת שתי אפשרויות תשלום ומשוואה (20 נקודות)

הנתונים. בבית הספר לנהיגה שתי אפשרויות:

• אפשרות א': 5,120 שקלים בסך הכול, בלי קשר למספר השיעורים.
• אפשרות ב': 160 שקלים לכל שיעור.

סעיף א: 15 שיעורים לפי אפשרות ב'

לפי אפשרות ב' משלמים 160 שקלים על כל שיעור:

15 שיעורים עולים 2,400 שקלים.

סעיף ב: מה משתלם לנועה, שצריכה 28 שיעורים

לפי אפשרות א' נועה תשלם 5,120 שקלים, כמה שיעורים שלא יידרשו לה.

לפי אפשרות ב':

משווים:

לנועה משתלמת יותר אפשרות ב': היא תשלם 4,480 שקלים, 640 שקלים פחות מאשר באפשרות א'.

סעיף ג(1): הסכום ששילמה אורלי

אורלי שילמה לפי אפשרות ב', כלומר 160 שקלים על כל אחד מ-x השיעורים. בדיוק כמו בסעיף א, רק שבמקום 15 כותבים x:

אורלי שילמה 160x שקלים.

סעיף ג(2): מתי שתי האפשרויות שוות

לפי אפשרות ב' המחיר הוא 160x, ולפי אפשרות א' המחיר הוא 5,120. נתון שהם שווים, ולכן נבנה משוואה:

בדיקה: 32 × 160 = 5,120, בדיוק המחיר של אפשרות א'.

x = 32: אורלי נדרשה ל-32 שיעורי נהיגה.

כדאי לשים לב מה המספר הזה אומר: עד 32 שיעורים אפשרות ב' זולה יותר או שווה, ומעל 32 שיעורים אפשרות א' משתלמת. זה מתאים לסעיף ב: 28 קטן מ-32, ולכן לנועה משתלמת אפשרות ב'.

איפה נופלים בשאלה 6. בסעיף ב יש מי שמשווה בין 160 ל-5,120, כלומר בין מחיר של שיעור אחד למחיר של כל הקורס. צריך להשוות סכום מול סכום: 28 שיעורים לפי אפשרות ב' מול 5,120. בסעיף ג(1) התשובה היא ביטוי, 160x, ולא מספר.

התשובות בקצרה