מתמטיקה

לפני שמתחילים

זה השאלון הראשון של 3 יחידות לימוד בתוכנית החדשה. יש בו שש שאלות, מחולקות לשלושה אשכולות, שתי שאלות בכל אשכול. כל שאלה שווה 20 נקודות, ומותר לענות באופן מלא או חלקי על כמה שאלות שרוצים, אבל סך הנקודות לא יעלה על 100. במילים אחרות, חמש תשובות מלאות כבר מביאות לציון המרבי, ושאלה שישית היא רשת ביטחון למקרה שנפלה טעות באחת האחרות. השאלון אינו מפרט ניקוד לתת-סעיפים.

משך הבחינה שעה וארבעים וחמש דקות. מותרים מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות.

כאן פתורות כל שש השאלות. בכל שאלה מופיעים הנתונים, השלבים והנימוק לכל שלב, ובסופה הערה קצרה על המקום שבו נופלים.

אשכול חברה ומדע

שאלה 1, דיאגרמת עיגול (20 נקודות)

הנתונים. בבחירות לעירייה התמודדו שש מפלגות. דיאגרמת העיגול מראה איזה חלק מן הקולות קיבלה כל מפלגה:

סעיף א: האחוז של מפלגה ה

העיגול כולו מייצג את כל הקולות, כלומר 100%. נחבר את חמשת האחוזים הידועים:

מה שנשאר שייך למפלגה ה:

מפלגה ה קיבלה 6% מן הקולות.

סעיף ב: האם ג, ד ו-ה לבדן יכולות להקים קואליציה

לפי ההגדרה שבשאלה, קואליציה צריכה לפחות 51% מן הקולות. נחבר את שלוש המפלגות:

לא. יחד יש להן 31% בלבד, וזה פחות מ-51%.

סעיף ג: איזו מפלגה תשלים קואליציה עם ב ו-ד

קודם כול נבדוק כמה יש לשתי המפלגות יחד:

חסרים להן לפחות 11%, כי 51 − 40 = 11. נעבור על כל אחת מארבע המפלגות האחרות ונבדוק מה יהיה הסכום אם היא תצטרף:

שתי האפשרויות: מפלגה א או מפלגה ו.

איפה נופלים בשאלה 1. במפלגה ג. היא מביאה את הסכום ל-50%, וחצי מן הקולות נשמע מספיק. אבל ההגדרה שבשאלה דורשת לפחות 51%, ו-50 קטן מ-51. מלכודת נוספת היא לעצור אחרי האפשרות הראשונה שנמצאה, כשהשאלה מבקשת במפורש את כל האפשרויות.

שאלה 2, הסתברות מתוך טבלה (20 נקודות)

הנתונים. בשכבה י"ב יש שלוש כיתות, והטבלה מראה בכל כיתה כמה תלמידים התחסנו נגד שפעת וכמה לא התחסנו. לפני שעונים על הסעיפים כדאי להשלים לטבלה שורה של סך הכול ועמודה של סך הכול. כמעט כל סעיף בשאלה נשען על אחד מן המספרים האלה.

סעיף א: מספר התלמידים בשכבה

נחבר את סך הכול של שלוש הכיתות:

בשכבה י"ב יש 98 תלמידים.

סעיף ב: תלמיד מן השכבה שחוסן

בוחרים מכל השכבה, ולכן כל 98 התלמידים הם האפשרויות. מתוכם התחסנו 20 + 28 + 25 = 73 תלמידים.

ההסתברות היא 7398, כלומר 0.745 בקירוב.

סעיף ג: תלמיד מכיתה י"ב2 שחוסן

עכשיו בוחרים רק מתוך כיתה י"ב2. לכן האפשרויות הן 35 התלמידים של הכיתה הזאת בלבד, ולא כל השכבה. מתוכם התחסנו 28.

ההסתברות היא 0.8.

סעיף ד: תלמיד שחוסן, שהוא מכיתה י"ב1

הפעם יודעים מראש שהתלמיד חוסן. לכן האפשרויות הן 73 התלמידים שהתחסנו, מכל הכיתות. מתוכם 20 הם מכיתה י"ב1.

ההסתברות היא 2073, כלומר 0.274 בקירוב.

איפה נופלים בשאלה 2. במכנה. בכל סעיף צריך לשאול את עצמנו מתוך איזו קבוצה בוחרים, וזו הקבוצה שהולכת למכנה. בסעיף ג המכנה הוא 35, תלמידי הכיתה, ולא 98. בסעיף ד המכנה הוא 73, המחוסנים, ולא 30, תלמידי י"ב1. מי שכתב בסעיף ד את 2030 ענה בעצם על שאלה אחרת: מה ההסתברות שתלמיד מי"ב1 חוסן.

אשכול התמצאות במישור ובמרחב

שאלה 3, גינה מלבנית (20 נקודות)

הנתונים. הגינה היא מלבן שצלעו הקצרה 2 מטרים וצלעו הארוכה 4 מטרים. את הצלע הקצרה מגדילים ב-0.5 מטר ואת הצלע הארוכה מקטינים ב-0.5 מטר.

נחשב קודם את מידות הגינה החדשה:

סעיף א: אורך הגדר

אורך הגדר הוא היקף המלבן, כלומר פעמיים סכום שתי צלעות סמוכות.

האורכים שווים, 12 מטרים כל אחד. הסיבה פשוטה: חצי המטר שנוסף לצלע אחת נלקח מן הצלע השנייה, ולכן סכום שתי הצלעות הסמוכות נשאר 6, וההיקף לא משתנה.

סעיף ב: שטח הגינה

שטח מלבן הוא מכפלת שתי צלעותיו.

השטח החדש גדול מן השטח המקורי, כי 8.75 גדול מ-8. ההפרש הוא 0.75 מ"ר.

איפה נופלים בשאלה 3. בסעיף ב, אחרי שראינו בסעיף א שההיקף לא השתנה, קל להסיק שגם השטח לא השתנה. זו מסקנה שגויה: שני מלבנים יכולים להיות בעלי אותו היקף ושטחים שונים. כשההיקף קבוע, ככל שהמלבן קרוב יותר לריבוע, השטח שלו גדול יותר. 2.5 על 3.5 קרוב לריבוע יותר מ-2 על 4, ולכן שטחו גדול יותר. וכמובן, את התשובה מנמקים בחישוב, לא בכלל הזה לבדו.

שאלה 4, מכסים של סירים (20 נקודות)

הנתונים. המכסה של הסיר הכחול הוא עיגול שקוטרו 30 ס"מ. המכסה של הסיר האדום הוא עיגול ששטחו 441π סמ"ר.

הנוסחאות שנצטרך, ושתיהן בדפי הנוסחאות: היקף מעגל P = 2πr, ושטח עיגול S = πr². שתיהן משתמשות ברדיוס, ולכן הצעד הראשון הוא לעבור מן הקוטר לרדיוס:

סעיף א: היקף המכסה הכחול

ההיקף הוא 30π ס"מ, כלומר 94.25 ס"מ בקירוב.

סעיף ב: שטח המכסה הכחול

השטח הוא 225π סמ"ר, כלומר 706.86 סמ"ר בקירוב.

סעיף ג: רדיוס המכסה האדום

נציב את השטח הנתון בנוסחת השטח, ונחלק את שני האגפים ב-π:

רדיוס הוא אורך, ולכן לוקחים רק את השורש החיובי.

רדיוס המכסה האדום הוא 21 ס"מ.

סעיף ד: בכמה אחוזים גדול היקף המכסה האדום

היקף המכסה האדום:

השאלה משווה את האדום אל הכחול, ולכן הכחול הוא הבסיס, 100%. ההפרש בין ההיקפים מתחלק בהיקף הכחול:

היקף המכסה האדום גדול ב-40% מהיקף המכסה הכחול.

אפשר להגיע לאותה תוצאה בדרך קצרה יותר. ההיקף פרופורציונלי לרדיוס, ולכן היחס בין ההיקפים הוא היחס בין הרדיוסים: 21 : 15 = 1.4, כלומר 140% מן הכחול, שהם 40% יותר.

איפה נופלים בשאלה 4. שתי מלכודות. בסעיף ג שוכחים להוציא שורש ועונים 441, שהוא r² ולא r. בסעיף ד מחלקים את ההפרש בהיקף האדום במקום בכחול, ומקבלים בערך 28.6%. המילים "גדול מהיקף המכסה של הסיר הכחול" קובעות שהכחול הוא הבסיס.

אשכול פיננסי כלכלי

שאלה 5, הסעה למשחק כדורסל (20 נקודות)

הנתונים. בבית ספר א' שילם בית הספר 1,500 שקלים, וכל תלמיד שילם 5 שקלים. בבית ספר ב' שילם בית הספר 1,200 שקלים, וכל תלמיד שילם 8 שקלים. בסרטוט שני גרפים, I ו-II, של הסכום הכולל שנאסף כפונקציה של מספר התלמידים. גרף II מתחיל גבוה יותר על הציר האנכי, וגרף I תלול יותר, ושני הגרפים נחתכים.

סעיף א: איזה גרף שייך לבית ספר א'

נקודת ההתחלה של כל גרף, על הציר האנכי, היא הסכום שנאסף כשאף תלמיד לא נסע. זה הסכום שבית הספר עצמו שילם. בבית ספר א' זה 1,500 שקלים ובבית ספר ב' 1,200 שקלים, ולכן הגרף של א' מתחיל גבוה יותר.

סימן שני מאשר את זה: בבית ספר א' כל תלמיד מוסיף 5 שקלים, ובבית ספר ב' 8 שקלים. לכן הגרף של א' עולה לאט יותר, כלומר הוא פחות תלול.

שני הסימנים מצביעים על אותו גרף. הגרף של בית ספר א' הוא גרף II.

סעיף ב: התאמת הביטויים

הסכום הכולל הוא הסכום הקבוע של בית הספר, ועוד מספר התלמידים כפול התשלום של כל תלמיד:

• בית ספר א': ביטוי (1), 1,500 + 5x.
• בית ספר ב': ביטוי (3), 1,200 + 8x.

כדאי להבין גם למה האחרים אינם מתאימים. ביטוי (2), 1,500x + 5, אומר שכל תלמיד משלם 1,500 שקלים, כלומר המספרים התחלפו. ביטוי (4), 1,200 + 5x, מערבב את הסכום של בית ספר ב' עם התשלום לתלמיד של בית ספר א'.

סעיף ג: נקודת החיתוך של הגרפים

בנקודת החיתוך שני בתי הספר אספו אותו סכום עם אותו מספר תלמידים. לכן נשווה את שני הביטויים:

נציב בביטוי של א' כדי למצוא את הסכום:

ובדיקה בביטוי של ב': 1200 + 8 × 100 = 2000. יוצא אותו סכום, כמו שצריך.

נקודת החיתוך היא (100 , 2000). כש-100 תלמידים נוסעים מכל בית ספר, בכל אחד מהם נאספים 2,000 שקלים.

סעיף ד: איפה שילמו יותר תלמידים

בכל בית ספר נאספו 2,600 שקלים. נציב בכל ביטוי ונמצא את מספר התלמידים.

בית ספר א':

בית ספר ב':

בבית ספר א' שילמו יותר תלמידים: 220, לעומת 175 בבית ספר ב'.

אפשר לראות את זה גם בגרף. הסכום 2,600 גבוה מ-2,000, כלומר הוא נמצא אחרי נקודת החיתוך. משם והלאה גרף I, של בית ספר ב', נמצא מעל גרף II. לכן בית ספר ב' מגיע ל-2,600 קודם, עם פחות תלמידים, ובית ספר א' צריך יותר תלמידים כדי להגיע לאותו סכום.

איפה נופלים בשאלה 5. בסעיף א מתבלבלים בין "הגרף הגבוה" לבין "הגרף התלול". הגרף של א' מתחיל גבוה יותר אבל עולה לאט יותר, ושתי העובדות מובילות לאותה תשובה. בסעיף ד יש תחושה שבית הספר שבו כל תלמיד משלם יותר יגייס גם יותר תלמידים. ההפך נכון: כשכל תלמיד מביא יותר כסף, צריך פחות תלמידים כדי להגיע לאותו סכום.

שאלה 6, שכר עובדים (20 נקודות)

הנתונים. במפעל שתי דרגות שכר. 25 עובדים בדרגה הנמוכה ו-75 עובדים בדרגה הגבוהה, ובסך הכול 100 עובדים. השכר לשעה בדרגה הגבוהה גדול ב-16 שקלים מן השכר בדרגה הנמוכה, והשכר הממוצע במפעל הוא 64 שקלים לשעה.

סעיף א: השכר בדרגה הנמוכה

נסמן ב-x את השכר לשעה בדרגה הנמוכה. אז השכר בדרגה הגבוהה הוא x + 16.

הממוצע הוא סך כל השכר חלקי מספר העובדים. לא מספיק לחבר את שני השכרים ולחלק ב-2, כי בכל דרגה מספר עובדים אחר. לכן כל שכר נכפל במספר העובדים שמקבלים אותו:

נכפול את שני האגפים ב-100 ונפתח סוגריים:

השכר בדרגה הגבוהה: 52 + 16 = 68 שקלים לשעה.

נבדוק את עצמנו מול הנתון:

השכר לשעה בדרגה הנמוכה הוא 52 שקלים.

סעיף ב: השכר השכיח

השכיח הוא הערך שמופיע הכי הרבה פעמים. השכר 68 שקלים מופיע אצל 75 עובדים, והשכר 52 שקלים מופיע אצל 25 עובדים בלבד.

השכר השכיח הוא 68 שקלים לשעה.

סעיף ג: חציון השכר

נסדר את שכר 100 העובדים מן הנמוך לגבוה. במקומות 1 עד 25 נמצא השכר 52, ובמקומות 26 עד 100 נמצא השכר 68.

מספר העובדים זוגי, ולכן החציון הוא הממוצע של שני הערכים האמצעיים, אלה שבמקום ה-50 ובמקום ה-51. שני המקומות האלה נמצאים בקבוצה של 68, ולכן:

חציון השכר הוא 68 שקלים לשעה. אפשר לראות את זה גם בלי לספור מקומות: יותר ממחצית העובדים, 75 מתוך 100, מקבלים 68 שקלים, ולכן האמצע של הרשימה חייב ליפול עליהם.

איפה נופלים בשאלה 6. בסעיף א מחשבים ממוצע פשוט של שני השכרים, כאילו בכל דרגה מספר עובדים שווה, ומקבלים x = 56, שגוי. בסעיף ב עונים 75, שהוא מספר העובדים, במקום 68, שהוא השכר. השכיח הוא תמיד ערך של הנתון, לא השכיחות שלו.

התשובות בקצרה