מתמטיקה

לפני שמתחילים

זה השאלון הראשון של 3 יחידות לימוד בתוכנית החדשה. יש בו שש שאלות, מחולקות לשלושה אשכולות, שתי שאלות בכל אשכול. כל שאלה שווה 20 נקודות, ומותר לענות באופן מלא או חלקי על כמה שאלות שרוצים, אבל סך הנקודות לא יעלה על 100. במילים אחרות, חמש תשובות מלאות כבר מביאות לציון המרבי, ושאלה שישית היא רשת ביטחון למקרה שנפלה טעות באחת האחרות. השאלון אינו מפרט ניקוד לתת-סעיפים.

משך הבחינה שעה וחצי. מותרים מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות.

כאן פתורות כל שש השאלות. בכל שאלה מופיעים הנתונים, השלבים והנימוק לכל שלב, ובסופה הערה קצרה על המקום שבו נופלים.

אשכול חברה ומדע

שאלה 1, גרף של מרחק לפי זמן (20 נקודות)

הנתונים. דורון יצא מביתו ורכב על שביל ישר. הגרף מראה את המרחק שלו מן הבית (בקילומטרים) לפי השעה. לפני שעונים על הסעיפים כדאי לקרוא את הגרף קטע אחר קטע ולרשום מה קורה בכל קטע. כל הסעיפים נשענים על הטבלה הזאת:

כלל הקריאה: קטע עולה פירושו שהוא מתרחק, קטע אופקי פירושו שהמרחק אינו משתנה, כלומר הוא עומד, וקטע יורד פירושו שהוא מתקרב הביתה.

סעיף א: המרחק בשעה 11:30

השעה 11:30 נמצאת בקטע שבין 11:00 ל-12:00. בקטע הזה הקו ישר, והמרחק עולה באופן אחיד מ-20 ל-40 ק"מ. השעה 11:30 היא בדיוק אמצע הקטע, ולכן המרחק הוא באמצע בין 20 ל-40:

אפשר לראות את זה גם ישירות בגרף: מעל 11:30 הקו חוצה את קו הרשת של 30.

בשעה 11:30 היה דורון במרחק 30 ק"מ מביתו.

סעיף ב: העצירות

עצירה מופיעה בגרף כקטע אופקי, כי הזמן ממשיך לרוץ והמרחק אינו משתנה. בגרף יש שני קטעים אופקיים:

דורון עצר פעמיים. העצירה הראשונה נמשכה שעתיים, והעצירה השנייה נמשכה שעה אחת.

סעיף ג: מתי היה המרחק בדיוק 10 ק"מ

נעבור על הקטעים ונבדוק באילו מהם הגרף עובר בגובה 10.

בדרך הלוך. בקטע 6:00 עד 9:00 דורון עבר 20 ק"מ ב-3 שעות, בקצב אחיד. 10 ק"מ הם מחצית מ-20 ק"מ, ולכן הוא הגיע אליהם אחרי מחצית הזמן:

בדרך חזרה. בקטע 13:00 עד 15:00 דורון עבר 40 ק"מ ב-2 שעות, כלומר 20 ק"מ בכל שעה. כדי להיות במרחק 10 ק"מ מן הבית הוא צריך לעבור 40 − 10 = 30 ק"מ מן הנקודה הרחוקה:

בשאר הקטעים המרחק הוא 20 ק"מ ומעלה, ולכן אין שם עוד תשובות.

המרחק של דורון מביתו היה בדיוק 10 ק"מ בשעה 7:30 ובשעה 14:30.

סעיף ד: כמה קילומטרים רכב סך הכול

הגרף מראה מרחק מן הבית, לא את הדרך שנצברה. לכן מחברים את הדרך של כל קטע שבו הוא זז:

דורון רכב סך הכול 80 ק"מ.

סעיף ה: המהירות בדרך חזרה

בדרך חזרה, מ-13:00 עד 15:00, דורון עבר 40 ק"מ, מן המרחק 40 עד הבית, בזמן של 2 שעות:

מהירות הרכיבה בדרך חזרה הייתה 20 קמ"ש.

איפה נופלים בשאלה 1. בסעיף ד עונים 40 ק"מ, כי זה הערך הגבוה בגרף. אבל 40 הוא רק המרחק הגדול ביותר מן הבית, ודורון גם חזר את כל הדרך הזאת. בסעיף ב שוכחים את העצירה השנייה, בנקודה הרחוקה, כי נדמה שזו רק "נקודת הסיבוב". גם שם הקו אופקי במשך שעה שלמה, וזו עצירה לכל דבר. בסעיף ג מסתפקים בתשובה אחת, והגרף עובר בגובה 10 פעמיים: פעם בדרך הלוך ופעם בדרך חזרה.

שאלה 2, הסתברות של שני פתקים (20 נקודות)

הנתונים. לתמר יש 5 פתקים ולנטע יש 5 פתקים, ועל הפתקים של כל אחת מהן כתובים המספרים 1 , 2 , 3 , 4 , 5. כל אחת בוחרת באקראי פתק אחד משלה. הבחירה של תמר אינה משפיעה על הבחירה של נטע.

לכל אחת 5 אפשרויות, ולכן לשתיהן יחד יש 5 × 5 = 25 תוצאות, וכולן שוות סיכוי. כדאי לשרטט טבלה של כל 25 התוצאות. בכל משבצת רשום סכום שני המספרים, כי סעיפים ג ו-ד שואלים על הסכום:

ההסתברות של מאורע היא מספר המשבצות המתאימות חלקי 25.

סעיף א: תמר בוחרת 2 ונטע בוחרת 4

יש בטבלה משבצת אחת בלבד שמתאימה: השורה של תמר 2 והעמודה של נטע 4.

אפשר גם לכפול הסתברויות, כי שתי הבחירות בלתי תלויות. ההסתברות שתמר תבחר 2 היא 15, וההסתברות שנטע תבחר 4 היא 15:

ההסתברות היא 125, כלומר 0.04.

סעיף ב: שתיהן בוחרות אותו מספר

המשבצות המתאימות הן אלה שעל האלכסון: (1 , 1) , (2 , 2) , (3 , 3) , (4 , 4) , (5 , 5). יש חמש כאלה.

דרך קצרה יותר: לא משנה איזה מספר תמר בוחרת, נטע צריכה לבחור בדיוק את אותו המספר, פתק אחד מתוך 5. לכן ההסתברות היא 15.

ההסתברות היא 15, כלומר 0.2.

סעיף ג: הסכום 8

נחפש בטבלה את המשבצות שבהן רשום 8. יש שלוש:

ההסתברות היא 325, כלומר 0.12.

סעיף ד: הסכום 11

המספר הגדול ביותר על פתק הוא 5, ולכן הסכום הגדול ביותר האפשרי הוא:

הסכום 11 אינו מופיע באף משבצת בטבלה. זה מאורע בלתי אפשרי.

ההסתברות היא 0.

איפה נופלים בשאלה 2. בסעיף ג סופרים את (3 , 5) ואת (5 , 3) כתוצאה אחת, ומקבלים 225. אבל אלה שתי תוצאות שונות: במקרה אחד תמר בחרה 3, ובמקרה האחר תמר בחרה 5. לעומת זאת (4 , 4) נספרת פעם אחת בלבד. מלכודת נוספת היא לכתוב בסעיף ג את המכנה 9, מספר הסכומים השונים מ-2 עד 10, במקום 25. הסכומים אינם שווי סיכוי, התוצאות הן שוות הסיכוי: לסכום 2 מגיעים בדרך אחת בלבד, ולסכום 6 בחמש דרכים.

אשכול התמצאות במישור ובמרחב

שאלה 3, גלגלי העגלה (20 נקודות)

הנתונים. לעגלה של גילי שני גלגלים קדמיים גדולים וזהים ושני גלגלים אחוריים קטנים וזהים. הרדיוס של הגלגל הקדמי הוא 14 ס"מ.

נזכיר את הנוסחה מדפי הנוסחאות: היקף מעגל שרדיוסו r הוא 2πr.

סעיף א: היקף הגלגל הקדמי

היקף הגלגל הקדמי הוא 28π ס"מ, כלומר 87.96 ס"מ בקירוב.

סעיף ב(1): הרדיוס של הגלגל האחורי

נתון שהיקף הגלגל האחורי הוא 16.8π ס"מ. נציב בנוסחת ההיקף ונפתור:

(חילקנו את שני האגפים ב-π, ואחר כך ב-2.)

הרדיוס של הגלגל האחורי הוא 8.4 ס"מ.

סעיף ב(2): בכמה אחוזים קטן הרדיוס האחורי מן הקדמי

כשהשאלה אומרת "קטן מן הרדיוס של הגלגל הקדמי", הרדיוס הקדמי הוא הבסיס, ה-100%.

ההפרש בין שני הרדיוסים:

איזה חלק מן הבסיס הוא ההפרש הזה:

נבדוק: 40% מ-14 הם 5.6, ו-14 − 5.6 = 8.4. מתאים.

הרדיוס של הגלגל האחורי קטן ב-40% מן הרדיוס של הגלגל הקדמי.

סעיף ג: כמה מטרים עברה העגלה

כשגלגל מסתובב סיבוב שלם אחד בלי להחליק, העגלה מתקדמת בדיוק כמו היקף הגלגל. הגלגל האחורי הסתובב 1,200 פעמים, ולכן הדרך היא 1,200 פעמים ההיקף של הגלגל האחורי:

השאלה מבקשת מטרים. במטר יש 100 ס"מ, ולכן מחלקים ב-100:

מי שמחשב עם π = 3.14 מקבל 201.6 × 3.14 = 633.02 מטרים, וזו תשובה נכונה באותה מידה.

העגלה עברה בטיול 201.6π מטרים, כלומר 633 מטרים בקירוב.

איפה נופלים בשאלה 3. בסעיף ב(2) מחלקים את ההפרש ברדיוס האחורי: 5.6 : 8.4 ≈ 0.667, ומקבלים 66.7%. זה עונה על שאלה אחרת, בכמה אחוזים הקדמי גדול מן האחורי. כאן הבסיס הוא הרדיוס שאליו משווים, הקדמי. בסעיף ג משתמשים בהיקף של הגלגל הקדמי, אף שהנתון 1,200 מדבר על הגלגל האחורי, ושוכחים להמיר סנטימטרים למטרים.

שאלה 4, אריחי המרפסת (20 נקודות)

הנתונים. האריח הלבן הוא מלבן. הצלע הארוכה שלו 60 ס"מ והאלכסון שלו 75 ס"מ. האריח האפור הוא ריבוע.

סעיף א: הצלע הקצרה של האריח הלבן

במלבן כל הזוויות ישרות. האלכסון מחלק את המלבן לשני משולשים ישרי זווית, ובכל אחד מהם הניצבים הם שתי הצלעות של המלבן, והיתר הוא האלכסון. נסמן את הצלע הקצרה ב-a ונשתמש במשפט פיתגורס:

(אורך צלע הוא חיובי, ולכן לוקחים רק את השורש החיובי.)

הצלע הקצרה של האריח הלבן היא 45 ס"מ.

סעיף ב: הצלע של האריח האפור

קודם נחשב את היקף האריח הלבן, מלבן של 60 על 45:

היקף האריח האפור קטן ב-110 ס"מ:

לריבוע ארבע צלעות שוות, ולכן:

אורך הצלע של האריח האפור הוא 25 ס"מ.

סעיף ג: פי כמה גדול השטח של האריח הלבן

"פי כמה" שואלים בחילוק:

השטח של האריח הלבן גדול פי 4.32 מן השטח של האריח האפור.

איפה נופלים בשאלה 4. בסעיף א מחברים במקום לחסר: 60² + 75², כאילו האלכסון הוא ניצב. האלכסון הוא תמיד הצלע הארוכה במשולש, היתר, ולכן מחסרים. בסעיף ב מחלקים את ההיקף 100 ב-2 במקום ב-4. בסעיף ג מחסרים את השטחים ועונים 2075. "פי כמה" הוא חילוק, "בכמה" הוא חיסור.

אשכול פיננסי כלכלי

שאלה 5, דוכן כלי כתיבה (20 נקודות)

הנתונים. המחירים של חמשת המוצרים:

סעיף א: המחיר הממוצע של הקנייה של נדב

נדב קנה מוצר אחד מכל סוג, כלומר 5 מוצרים. ממוצע הוא הסכום חלקי מספר הפריטים:

המחיר הממוצע למוצר שקנה נדב הוא 48 שקלים.

סעיף ב: האם הממוצע של נועם גדול או קטן

נועם קנה את אותם חמישה מוצרים, ועוד ילקוט שישי בהנחה של 20%. אחרי הנחה של 20% משלמים 80% מן המחיר:

הסכום שנועם שילם על 6 המוצרים:

הממוצע של נועם גדול יותר: 58.67 שקלים בקירוב, לעומת 48 שקלים אצל נדב.

הנימוק בלי חישוב מלא: נועם קנה את כל מה שקנה נדב, ועוד מוצר אחד שעלה 112 שקלים. 112 גדול מן הממוצע 48. כשמוסיפים לקבוצה ערך שגדול מן הממוצע שלה, הממוצע עולה.

סעיף ג: המוצר השכיח

נקרא את גובה העמודות בדיאגרמה. כל קו רשת אופקי מייצג מוצר אחד:

השכיח הוא הערך שמופיע הכי הרבה פעמים. העמודה הגבוהה ביותר היא של העט, 20 מוצרים.

המוצר השכיח שנמכר ביום זה הוא עט.

סעיף ד: ההכנסה של הדוכן ביום זה

לכל מוצר נכפול את מספר היחידות שנמכרו במחיר של יחידה, ואחר כך נחבר:

ההכנסה של הדוכן ביום זה הייתה 1,966 שקלים.

איפה נופלים בשאלה 5. בסעיף ג עונים 20, שהוא מספר העטים שנמכרו, במקום "עט". השכיח הוא תמיד ערך של הנתון, כאן שם של מוצר, לא השכיחות שלו. יש גם מי שעונים "ילקוט" כי הוא היקר ביותר, אבל השאלה היא מה נמכר הכי הרבה. בסעיף ב מחשבים את הילקוט הנוסף במחיר מלא, 140, או מחלקים את הסכום ב-5 במקום ב-6.

שאלה 6, חולצות בחנות ובאתר (20 נקודות)

הנתונים.

שימו לב שדמי המשלוח משולמים פעם אחת להזמנה, לא על כל חולצה.

סעיף א: כמה חולצות קונים בחנות ב-270 שקלים

אפשר לקנות בחנות 6 חולצות.

סעיף ב: היכן משתלם ליואב לקנות 4 חולצות

נחשב את המחיר בכל אחת מן הדרכים:

משתלם יותר להזמין באתר האינטרנט. ההזמנה באתר עולה 175 שקלים, ובחנות 180 שקלים, ולכן יואב חוסך 5 שקלים.

סעיף ג: ביטוי למחיר ההזמנה של יעל

יעל הזמינה x חולצות באתר. כל חולצה עולה 40 שקלים, ולכן החולצות עולות 40x שקלים. להזמנה כולה מוסיפים 15 שקלים משלוח, פעם אחת:

המחיר סך הכול של ההזמנה הוא 40x + 15 שקלים.

סעיף ד: מספר החולצות של יעל

יעל שילמה 535 שקלים. נשווה את הביטוי מסעיף ג ל-535 ונפתור:

נבדוק: 40 × 13 + 15 = 520 + 15 = 535. מתאים.

x = 13. יעל הזמינה 13 חולצות.

איפה נופלים בשאלה 6. בסעיף ג כותבים 55x, כלומר מוסיפים את דמי המשלוח לכל חולצה. המשלוח משולם פעם אחת להזמנה, ולכן הוא מתווסף פעם אחת, כמספר קבוע שאינו מוכפל ב-x. מי שטעה כאן מקבל בסעיף ד משוואה שאין לה פתרון שלם, ובבדיקה רואים מיד שמשהו לא מסתדר. בסעיף ב שוכחים את המשלוח ומשווים 160 ל-180.

התשובות בקצרה