מתמטיקה

לפני שמתחילים

זה השאלון הראשון של 3 יחידות לימוד בתוכנית החדשה. יש בו שש שאלות, מחולקות לשלושה אשכולות, שתי שאלות בכל אשכול. כל שאלה שווה 20 נקודות, ומותר לענות באופן מלא או חלקי על כמה שאלות שרוצים, אבל סך הנקודות לא יעלה על 100. כלומר, חמש תשובות מלאות כבר מביאות לציון המרבי, ושאלה שישית היא רשת ביטחון למקרה שנפלה טעות באחת האחרות. השאלון אינו מפרט ניקוד לתת-סעיפים.

משך הבחינה שעה וחצי. מותרים מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות.

כאן פתורות כל שש השאלות. בכל שאלה מופיעים הנתונים, השלבים והנימוק לכל שלב, ובסופה הערה קצרה על המקום שבו נופלים.

אשכול חברה ומדע

שאלה 1, קפיצה לרוחק (20 נקודות)

הנתונים. נעמה קפצה חמש קפיצות באימון אחד. אלה התוצאות, במטרים:

סעיף א: הממוצע של חמש הקפיצות

ממוצע הוא סכום כל התוצאות, חלקי מספר התוצאות. נחבר קודם:

ועכשיו נחלק במספר הקפיצות:

הממוצע של חמש הקפיצות הוא 3.98 מטר.

סעיף ב: הקפיצה השישית

הקפיצה השישית גדולה ב-30% מן הקפיצה הראשונה, כלומר מ-3.6 מטר. לכן 3.6 הוא הבסיס, ה-100%. נחשב כמה הם 30% ממנו:

ונוסיף את התוספת לבסיס:

אפשר גם בצעד אחד: גדול ב-30% פירושו 130% מן הבסיס, ולכן 1.3 × 3.6 = 4.68.

תוצאת הקפיצה השישית היא 4.68 מטר.

סעיף ג: החציון של שש הקפיצות

כדי למצוא חציון מסדרים את התוצאות מן הקטנה לגדולה. הקפיצה השישית, 4.68, גדולה מכל האחרות, ולכן היא נכנסת בסוף:

יש שש תוצאות, מספר זוגי, ולכן אין תוצאה אחת באמצע. החציון הוא הממוצע של שתי התוצאות האמצעיות, השלישית והרביעית:

החציון של שש הקפיצות הוא 4.05 מטר.

סעיף ד: האם נעמה השיגה את מטרתה

המטרה: ממוצע של 4 מטר לפחות בשש הקפיצות. את סכום חמש הקפיצות הראשונות כבר חישבנו בסעיף א, ונוסיף לו את השישית:

כן, נעמה השיגה את מטרתה. הממוצע של שש הקפיצות הוא 4.097 מטר בקירוב, יותר מ-4 מטר.

דרך נוספת לנמק, בלי לחלק: כדי שהממוצע של שש קפיצות יהיה 4 לפחות, הסכום שלהן צריך להיות לפחות 6 × 4 = 24. הסכום הוא 24.58, יותר מ-24.

איפה נופלים בשאלה 1. בסעיף ב, במילה "הראשונה". מי שמחשב 30% מן הממוצע, או מן הקפיצה האחרונה, מקבל מספר אחר. הבסיס של האחוזים הוא תמיד מה שבא אחרי המילה "מ": גדולה ב-30% מתוצאת הקפיצה הראשונה. בסעיף ג, מי שמחפש תוצאה אחת באמצע ועונה 4 או 4.1 שכח שבמספר זוגי של נתונים החציון הוא ממוצע של שני האמצעיים. ובסעיף ד, "לפחות 4" כולל גם 4 בדיוק, אבל כאן הממוצע גדול מ-4 ממילא.

שאלה 2, קלפים של איילת וחני (20 נקודות)

הנתונים. לאיילת ארבעה קלפים: 1, 2, 3, 4. לחני שלושה קלפים: 0, 1, 2. איילת בוחרת באקראי קלף אחד, ואחריה חני בוחרת באקראי קלף אחד.

לפני הסעיפים כדאי לבנות טבלה של כל האפשרויות. לאיילת 4 אפשרויות ולחני 3, ולכן יש 4 × 3 = 12 זוגות, וכולם שווי סיכוי. בכל משבצת בטבלה רשמנו את הסכום של שני הקלפים, כי נצטרך אותו בסעיף ג:

סעיף א: איילת בוחרת 3 וחני בוחרת 2

מבין 12 הזוגות, רק זוג אחד מתאים: איילת 3 וחני 2.

אותה תוצאה בכפל הסתברויות, כי שתי הבחירות אינן תלויות זו בזו: ההסתברות שאיילת בוחרת 3 היא 14, וההסתברות שחני בוחרת 2 היא 13.

ההסתברות היא 112, כלומר 0.083 בקירוב.

סעיף ב: על שני הקלפים אותו מספר

נחפש מספרים שנמצאים אצל שתיהן. לאיילת אין 0, ולחני אין 3 ואין 4. לכן רק 1 ו-2 משותפים, ויש שני זוגות מתאימים: (1 , 1) ו-(2 , 2).

ההסתברות היא 212, כלומר 16.

סעיף ג(1): אילו סכומים אפשריים

הסכום הקטן ביותר מתקבל מן הקלפים הקטנים ביותר: 1 + 0 = 1. הסכום הגדול ביותר מתקבל מן הקלפים הגדולים ביותר: 4 + 2 = 6. בטבלה רואים שכל מספר שלם ביניהם מופיע לפחות פעם אחת.

הסכומים האפשריים: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

סעיף ג(2): הסכום 4

נספור בטבלה את המשבצות שבהן רשום 4. יש שלוש: איילת 4 וחני 0, איילת 3 וחני 1, איילת 2 וחני 2.

ההסתברות שהסכום יהיה 4 היא 312, כלומר 14.

איפה נופלים בשאלה 2. בסעיף ג(2) יש פיתוי לחשב "שישה סכומים אפשריים, אחד מהם 4, ולכן 16". זה שגוי, כי הסכומים אינם שווי סיכוי: הסכום 1 מתקבל בדרך אחת בלבד, והסכום 4 בשלוש דרכים. את ההסתברות סופרים תמיד על 12 הזוגות, שהם שווי הסיכוי באמת. בסעיף ב שוכחים לפעמים את הזוג (1 , 1) ועונים 112.

אשכול התמצאות במישור ובמרחב

שאלה 3, ארון עם ארבע דלתות (20 נקודות)

הנתונים. החזית של הארון היא מלבן שגובהו 1.8 מטר ורוחבו 3 מטר. בחזית ארבע דלתות זהות, מלבניות. הגובה של כל דלת שווה לגובה הארון, והרוחב של כל דלת הוא רבע מרוחב הארון.

סעיף א: הרוחב של דלת אחת

רבע מן הרוחב של הארון:

הרוחב של דלת אחת הוא 0.75 מטר. בדיקה: ארבע דלתות של 0.75 מטר ממלאות בדיוק 3 מטר, כמו בסרטוט.

סעיף ב: השטח של דלת אחת

הדלת היא מלבן, ושטח מלבן הוא מכפלת הרוחב בגובה. גובה הדלת הוא גובה הארון, 1.8 מטר:

השטח של דלת אחת הוא 1.35 מ"ר.

סעיף ג: האורך של פס עץ אחד

פס העץ מונח על האלכסון של הדלת. האלכסון מחלק את המלבן לשני משולשים ישרי זווית, שהניצבים שלהם הם הרוחב והגובה של הדלת, והאלכסון הוא היתר. לכן נשתמש במשפט פיתגורס:

אורך הוא מספר חיובי, ולכן לוקחים רק את השורש החיובי.

האורך של פס עץ אחד הוא 1.95 מטר.

סעיף ד: המחיר של שני הפסים

שני האלכסונים של מלבן שווים זה לזה, ולכן שני הפסים יחד ארוכים:

כל מטר עולה 82 שקלים:

המחיר של שני פסי העץ הוא 319.8 שקלים.

איפה נופלים בשאלה 3. בסעיף ג מחשבים את האלכסון של הארון כולו, עם הרוחב 3 מטר, במקום האלכסון של דלת אחת. הסרטוט מראה את ה-X על דלת אחת בלבד, ולכן הרוחב הוא 0.75. בסעיף ד שוכחים להכפיל ב-2 ומחשבים מחיר של פס אחד, 159.9 שקלים, כשהשאלה מבקשת את שני הפסים.

שאלה 4, צלחות במסעדה (20 נקודות)

הנתונים. הצלחת הלבנה, למנה הראשונה, היא עיגול שרדיוסו 10 ס"מ. השטח של הצלחת האפורה, למנה העיקרית, גדול ב-96% מן השטח של הצלחת הלבנה.

הנוסחאות שנצטרך, ושתיהן בדפי הנוסחאות: שטח עיגול S = πr², והיקף מעגל P = 2πr.

סעיף א: שטח הצלחת הלבנה

שטח הצלחת הלבנה הוא 100π סמ"ר, כלומר 314.16 סמ"ר בקירוב.

סעיף ב: היקף הצלחת הלבנה

היקף הצלחת הלבנה הוא 20π ס"מ, כלומר 62.83 ס"מ בקירוב.

סעיף ג: שטח הצלחת האפורה

"גדול ב-96%" פירושו שלשטח הלבן מוסיפים עוד 96% ממנו. השטח הלבן הוא הבסיס, 100%, ולכן השטח האפור הוא 196% מן השטח הלבן:

שטח הצלחת האפורה הוא 196π סמ"ר, כלומר 615.75 סמ"ר בקירוב.

סעיף ד: הרדיוס של הצלחת האפורה

נציב את השטח שמצאנו בנוסחת השטח, ונחלק את שני האגפים ב-π:

רדיוס הוא אורך, ולכן לוקחים רק את השורש החיובי.

הרדיוס של הצלחת האפורה הוא 14 ס"מ.

כדאי לשים לב לתוצאה: השטח גדל פי 1.96, אבל הרדיוס גדל רק פי 1.4, מ-10 ל-14. השטח תלוי בריבוע הרדיוס, ו-1.4² = 1.96.

איפה נופלים בשאלה 4. בסעיף ג מחשבים 96% מן השטח, 96π, ושוכחים להוסיף אותם לשטח המקורי. התוצאה קטנה מן הצלחת הלבנה, וזה סימן ברור שמשהו לא בסדר, כי הצלחת האפורה גדולה יותר. בסעיף ד שוכחים להוציא שורש ועונים 196, שהוא r² ולא r. ויש גם מי שמחשב 10 × 1.96 = 19.6, כאילו הרדיוס גדל באותו אחוז כמו השטח.

אשכול פיננסי כלכלי

שאלה 5, ההוצאות של מספרה (20 נקודות)

הנתונים. הפיקטוגרמה מתארת את ההוצאות של מספרה בחודש אחד. לפי המקרא, יש שלושה סמלים ולכל אחד ערך אחר:

• ערימת מטבעות: 150 שקלים.
• שטר: 250 שקלים.
• תיבת אוצר: 1,500 שקלים.

סעיף א: סך כל ההוצאות

נספור את הסמלים בכל עמודה ונכפיל כל סמל בערך שלו:

ונחבר את חמש ההוצאות:

סך כל ההוצאות של המספרה בחודש זה הוא 12,000 שקלים.

סעיף ב: האם ההכנסות גבוהות מן ההוצאות

היו 100 לקוחות. חצי מהם, כלומר 50, שילמו 80 שקלים, ו-50 הנותרים שילמו 170 שקלים:

נשווה להוצאות שמצאנו בסעיף א:

כן. ההכנסות היו 12,500 שקלים, וההוצאות 12,000 שקלים. ההכנסות גבוהות מן ההוצאות ב-500 שקלים.

סעיף ג: האם ההוצאה הגדולה ביותר היא פרסום

הטענה אינה נכונה. נכון שעמודת הפרסום היא הגבוהה ביותר, שישה סמלים, אבל בפיקטוגרמה הזאת לכל סמל ערך אחר. גובה העמודה מראה כמה סמלים יש בה, לא כמה כסף היא מייצגת. בעמודת הפרסום חצי מן הסמלים הם ערימות מטבעות, הזולים ביותר, והחצי השני שטרות, ולכן ההוצאה על פרסום היא 1,200 שקלים בלבד, השנייה הקטנה מבין חמש ההוצאות. ההוצאה הגדולה ביותר היא משכורות: 6,000 שקלים, בארבעה סמלים בלבד.

סעיף ד: אחוז ההוצאות על ציוד

החלק הוא ההוצאה על ציוד, והשלם הוא כלל ההוצאות:

ההוצאות על ציוד היו 6.25% מכלל ההוצאות.

איפה נופלים בשאלה 5. בספירה. בפיקטוגרמה רגילה כל סמל שווה אותו ערך, וכאן לא. מי שסופר סמלים ולא מכפיל כל אחד בערך שלו טועה גם בסעיף א וגם בסעיף ג, וזו בדיוק הטעות שהטענה בסעיף ג מנסה לפתות אליה. כדאי גם לבדוק בכל עמודה אילו סמלים יש בה: בעמודת המיסים, למשל, הסמל התחתון הוא תיבה ולא שטר. בסעיף ב יש מי שמחשב ממוצע של 80 ו-170 ושוכח להכפיל ב-100 לקוחות.

שאלה 6, גירעון בחשבון הבנק (20 נקודות)

הנתונים. אחרי טיול בחו"ל מצב החשבון של נעמי הוא (−3,700) שקלים, כלומר גירעון של 3,700 שקלים. מאז שחזרה מן הטיול היא אינה מושכת כסף, ומעבירה לחשבון 460 שקלים בכל חודש.

סעיף א: מצב החשבון כעבור 3 חודשים

בשלושה חודשים נעמי העבירה:

נוסיף את הסכום הזה למצב ההתחלתי:

כעבור 3 חודשים מצב החשבון הוא (−2,320) שקלים, כלומר עדיין יש גירעון, של 2,320 שקלים.

סעיף ב: האם כעבור 9 חודשים עדיין יש גירעון

בתשעה חודשים נעמי העבירה:

לא. כעבור 9 חודשים מצב החשבון הוא 440 שקלים, מספר חיובי, ולכן אין עוד גירעון. הסכום שהעבירה, 4,140 שקלים, גדול מן הגירעון שהיה, 3,700 שקלים.

סעיף ג: הביטוי שמתאר את מצב החשבון

נכליל את מה שעשינו בסעיפים א ו-ב. מתחילים מ-(−3,700), ובכל חודש מוסיפים 460. אחרי x חודשים נוספו x × 460 שקלים:

הביטוי המתאים הוא ביטוי III: −3,700 + 460x.

כדאי לבדוק את הביטוי על התוצאות שכבר יש לנו: כש-x = 3 מתקבל −3700 + 1380 = −2320, וכש-x = 9 מתקבל −3700 + 4140 = 440, בדיוק כמו בסעיפים א ו-ב.

ולמה האחרים אינם מתאימים: בביטויים I ו-II המספרים התחלפו, כאילו בכל חודש עוברים 3,700 שקלים. בביטוי IV מפחיתים 460 בכל חודש, כאילו נעמי ממשיכה למשוך כסף, והגירעון היה רק גדל.

סעיף ד: מתי היו בחשבון 1,820 שקלים

נשווה את הביטוי מסעיף ג ל-1,820:

בדיקה: −3700 + 460 × 12 = −3700 + 5520 = 1820. נכון.

בחשבון היו 1,820 שקלים כעבור 12 חודשים.

איפה נופלים בשאלה 6. בסימנים. בסעיף א יש מי שמחבר 3,700 + 1,380 ומקבל 5,080, כאילו נעמי התחילה ביתרה חיובית. בסעיף ד, כשמעבירים את (−3,700) לאגף השני, הוא הופך לחיבור: 1,820 + 3,700, ולא 1,820 − 3,700. ובסעיף ב צריך לנמק בחישוב: לא מספיק לכתוב "היא כבר העבירה הרבה כסף".

התשובות בקצרה