הפתרון המלא · מתמטיקה ב׳ · שאלון 35371 · קיץ, מועד א׳ תשפ״ד 2024

לפני שמתחילים

בשאלון שש שאלות, וכל שאלה שווה 23 נקודות. מותר לענות על כמה שאלות שרוצים, במלואן או בחלקן, אבל סך הנקודות לא יעלה על 100. ארבע שאלות מלאות מביאות 92 נקודות, ולכן כדאי לענות לפחות על חמש: השאלה החמישית משלימה את החסר וגם מכסה על נקודות שאבדו בדרך.

משך הבחינה שעתיים וחצי. מותרים מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות. כותבים את כל החישובים והתשובות בגוף השאלון, ומסבירים כל פעולה, גם כשהחישוב עצמו נעשה במחשבון.

השאלות מחולקות לשלושה אשכולות, שתי שאלות בכל אחד: חברה ומדע (שאלות 1 ו-2), התמצאות במישור ובמרחב (שאלות 3 ו-4), ופיננסי כלכלי (שאלות 5 ו-6).

כאן פתורות כל שש השאלות. בכל שאלה מופיעים הנתונים, השלבים והנימוק לכל שלב, ובסופה הערה קצרה על המקום שבו נופלים.

אשכול חברה ומדע

שאלה 1, גדילה מעריכית (23 נקודות)

הנתונים. מספר התושבים בעיר א' גדל בכל שנה ב-6%. בתחילת שנת 2010 היו בעיר 24,000 תושבים. גם בעיר ב' מספר התושבים גדל בכל שנה באחוז קבוע, ובגרף מסומנים שני נתונים: 20,000 תושבים בתחילת 2010 ו-25,195 תושבים בתחילת 2013.

הכלי לכל השאלה. כשכמות גדלה בכל שנה באותו אחוז, בכל שנה היא נכפלת באותו מספר. גדילה של 6% פירושה שבכל שנה יש לנו את כל מה שהיה, 100%, ועוד 6%, כלומר 106% ממה שהיה בשנה הקודמת:

q = 1 + 6100 = 1.06

ואחרי t שנים:

N = N₀ × q^t

כאן N₀ היא הכמות בהתחלה ו-N היא הכמות אחרי t שנים.

סעיף א(1): עיר א' בתחילת 2015

מתחילת 2010 עד תחילת 2015 עוברות 5 שנים, ולכן כופלים חמש פעמים ב-1.06:

N = 24,000 × 1.06⁵

1.06⁵ ≈ 1.33823

N ≈ 24,000 × 1.33823 ≈ 32,117.4

מספר תושבים הוא מספר שלם, ולכן מעגלים.

בתחילת 2015 היו בעיר א' בערך 32,117 תושבים.

סעיף א(2): עיר א' בתחילת 2008

עכשיו הולכים אחורה בזמן. את מספר התושבים בתחילת 2008 לא יודעים, ולכן נסמן אותו ב-N₀. משנת 2008 עד שנת 2010 עברו שנתיים, ובסופן היו 24,000 תושבים:

N₀ × 1.06² = 24,000

N₀ × 1.1236 = 24,000

N₀ = 24,000 ÷ 1.1236 ≈ 21,359.9

בתחילת 2008 היו בעיר א' בערך 21,360 תושבים.

נבדוק: 21,360 × 1.1236 ≈ 24,000. מתאים.

סעיף ב: עיר ב' בתחילת 2013

הקו המקווקו בגרף יורד מן העקומה אל השנה 2013, והקו האופקי שיוצא מאותה נקודה פוגש את ציר מספר התושבים בערך 25,195.

בתחילת 2013 היו בעיר ב' 25,195 תושבים.

סעיף ג: איפה הגדילה מהירה יותר

נמצא את מספר הגדילה q של עיר ב'. בתחילת 2010 היו בה 20,000 תושבים, ואחרי שלוש שנים, בתחילת 2013, היו בה 25,195:

20,000 × q³ = 25,195

q³ = 25,195 ÷ 20,000 = 1.25975

q = ∛1.25975 ≈ 1.08

מספר גדילה 1.08 פירושו 108% מן השנה הקודמת, כלומר גדילה של 8% בכל שנה.

עיר א': 6% בשנה

עיר ב': 8% בשנה

בעיר ב' מספר התושבים גדל באחוז גדול יותר בכל שנה: 8% לעומת 6%.

יש גם דרך בדיקה בלי שורש שלישי: אילו עיר ב' הייתה גדלה ב-6% בלבד, אחרי שלוש שנים היו בה

20,000 × 1.06³ ≈ 23,820

תושבים. בפועל היו בה 25,195, יותר מזה, ולכן האחוז שלה גדול מ-6%.

איפה נופלים בשאלה 1. בסעיף א(2) רבים "מורידים 6%" בכל שנה אחורה, כלומר כופלים ב-0.94. זו טעות: 6% מחושבים כל שנה מן השנה הקודמת, ולכן אחורה צריך לחלק ב-1.06, לא לכפול ב-0.94. התוצאה השגויה, בערך 21,206, נראית סבירה ולכן קשה לתפוס אותה. בסעיף ג אל תשוו את מספרי התושבים עצמם: העיר הגדולה יותר אינה בהכרח העיר שגדלה מהר יותר. משווים אחוזים.

שאלה 2, הסתברות בשני גלגלי מזל (23 נקודות)

הנתונים. גלגל א' מחולק לשלוש גזרות שוות, ועליהן המספרים 1 , 2 , 3. בגלגל ב' יש גזרה של חצי עיגול ועליה המספר 1, ועוד שתי גזרות של רבע עיגול כל אחת, ועליהן המספרים 2 ו-4. מסובבים כל גלגל פעם אחת.

ההסתברות בכל גלגל. ההסתברות שגלגל ייעצר על גזרה שווה לחלק של הגזרה מן העיגול כולו:

גלגל א'	1	2	3
ההסתברות	13	13	13

גלגל ב'	1	2	4
ההסתברות	12	14	14

שימו לב: גם בגלגל ב' יש שלוש גזרות, אבל הן לא שוות. לכן אין כאן 13 לכל מספר.

שני הגלגלים מסתובבים בנפרד, ואחד לא משפיע על השני. לכן ההסתברות לזוג תוצאות היא מכפלת ההסתברויות. הנה כל תשעת הזוגות. בכל תא כתובים הסכום של שני המספרים, ובסוגריים ההסתברות של הזוג:

גלגל א' \ גלגל ב'	1	2	4
1	2 (16)	3 (112)	5 (112)
2	3 (16)	4 (112)	6 (112)
3	4 (16)	5 (112)	7 (112)

למשל, בתא של 1 בגלגל א' ו-1 בגלגל ב': 13 × 12 = 16. סכום כל התשעה הוא 1, כמו שצריך: 3 × 16 + 6 × 112 = 12 + 12 = 1.

סעיף א: גלגל א' נעצר על מספר גדול מ-1

המספרים בגלגל א' שגדולים מ-1 הם 2 ו-3, שתי גזרות מתוך שלוש שוות:

13 + 13 = 23

ההסתברות היא 23.

סעיף ב: שני הגלגלים נעצרים על 2

צריך 2 בגלגל א' וגם 2 בגלגל ב'. "וגם" של שני גלגלים נפרדים פירושו כפל:

13 × 14 = 112

ההסתברות היא 112.

סעיף ג: שני הגלגלים נעצרים על אותו מספר

איזה מספרים מופיעים בשני הגלגלים? רק 1 ו-2. המספר 3 נמצא רק בגלגל א', והמספר 4 רק בגלגל ב'. לכן יש שתי דרכים, והן לא יכולות לקרות יחד, ולכן מחברים:

(1 , 1): 13 × 12= 16(2 , 2): 13 × 14= 112

16 + 112 = 212 + 112 = 312 = 14

ההסתברות היא 14.

סעיף ד: סכום המספרים הוא 5

נעבור על המספר בגלגל א', ונבדוק מה חסר כדי להגיע ל-5:

גלגל א' 1 ← צריך 4 בגלגל ב': יש. 13 × 14 = 112

גלגל א' 2 ← צריך 3 בגלגל ב': אין.

גלגל א' 3 ← צריך 2 בגלגל ב': יש. 13 × 14 = 112

112 + 112 = 212 = 16

אפשר לראות את זה גם בטבלה: הסכום 5 מופיע בשני תאים, וכל אחד מהם 112.

ההסתברות היא 16.

איפה נופלים בשאלה 2. המלכודת המרכזית היא גלגל ב'. מי שרואה "שלוש גזרות" ונותן לכל מספר 13 יקבל בסעיף ב 19 במקום 112, וכל שאר הסעיפים ייצאו שגויים. מלכודת שנייה בסעיף ד: לשכוח לבדוק כל אפשרות של גלגל א', או לספור את (2 , 3) כאילו יש 3 בגלגל ב'.

אשכול התמצאות במישור ובמרחב

שאלה 3, משולשים שווי שוקיים ודמיון (23 נקודות)

הנתונים. שתי מראות בצורת משולשים שווי שוקיים: ABC שבו AB = AC, ו-DEF שבו DE = DF. המשולשים דומים. במראה ABC הבסיס BC הוא 40 ס"מ, והשוק היא 52 ס"מ. AK הוא הגובה לבסיס BC.

סעיף א: הגובה AK

במשולש שווה שוקיים, הגובה לבסיס הוא גם תיכון: הוא חוצה את הבסיס לשני חלקים שווים. לכן

BK = 40 ÷ 2 = 20 ס"מ

המשולש ABK ישר זווית ב-K, והיתר שלו הוא השוק AB. לפי משפט פיתגורס:

AK² + BK²= AB²AK² + 20²= 52²

AK² = 2704 − 400 = 2304

AK = √2304 = 48

AK = 48 ס"מ.

סעיף ב: שטח המראה ABC

שטח משולש הוא בסיס כפול הגובה אליו, חלקי 2:

S = (BC × AK) ÷ 2 = (40 × 48) ÷ 2 = 960

שטח המראה ABC הוא 960 סמ"ר.

סעיף ג: הבסיס EF

יחס הדמיון בין ABC ל-DEF הוא 2, כלומר כל צלע ב-ABC גדולה פי 2 מן הצלע המתאימה לה ב-DEF. הבסיס EF מתאים לבסיס BC:

EF = 40 ÷ 2 = 20

EF = 20 ס"מ.

סעיף ד: שטח המראה DEF

כאן צריך זהירות. כשהצלעות קטנות פי 2, השטח קטן פי 2² = 4, כי גם הבסיס וגם הגובה קטנים פי 2:

S(DEF) = 960 ÷ 4 = 240

אפשר לבדוק ישירות: הגובה של DEF הוא 48 ÷ 2 = 24, ולכן

S(DEF) = (20 × 24) ÷ 2 = 240

שטח המראה DEF הוא 240 סמ"ר.

סעיף ה: האם השרשרת מספיקה

ההיקף הוא סכום הצלעות. במראה ABC:

52 + 52 + 40 = 144 ס"מ

ההיקף של DEF קטן פי 2, כמו כל אורך במשולש (שוקיים של 26 ובסיס של 20):

144 ÷ 2 = 72 ס"מ

ושתי המראות יחד:

144 + 72 = 216 ס"מ = 2.16 מטרים

השרשרת היא 2 מטרים, כלומר 200 ס"מ, ו-216 גדול מ-200.

לא. כדי לקשט את שתי המראות צריך 2.16 מטרים, והשרשרת קצרה ב-16 ס"מ.

איפה נופלים בשאלה 3. בסעיף א רבים מציבים את כל הבסיס, 40, בפיתגורס במקום חציו, 20. בסעיף ד הטעות הנפוצה היא לחלק את השטח ב-2 ולקבל 480: יחס הדמיון חל על אורכים, והשטחים מתייחסים כריבוע שלו. ובסעיף ה שימו לב ליחידות: ההיקפים בסנטימטרים והשרשרת במטרים, ולכן ממירים לפני שמשווים.

שאלה 4, טריגונומטריה בים (23 נקודות)

הנתונים. רוני שחתה מ-A ומיכל מ-B, שתיהן בקו ישר אל המצוף C. הנקודה D נמצאת על AB, ו-CD מאונך ל-AB. נתון AC = 180 מטרים, והזווית בין מסלול רוני לבין AB היא 52°, כלומר ∢CAD = 52°.

האנך CD מחלק את הציור לשני משולשים ישרי זווית: ACD ו-BCD, שניהם עם הזווית הישרה ב-D. בכל סעיף נעבוד באחד מהם.

סעיף א: המרחק CD

במשולש ACD ידועים היתר AC והזווית ב-A. הצלע CD נמצאת מול הזווית הזאת, ולכן משתמשים בסינוס:

sin 52° = CD / AC

CD= 180 × sin 52°CD≈ 180 × 0.7880 ≈ 141.84

המצוף נמצא בערך 141.84 מטרים מן הקטע AB.

סעיף ב: הזווית CBD

עכשיו עוברים למשולש BCD. נתון BD = 45 מטרים, והוא הניצב שליד הזווית ב-B. הניצב CD, שמצאנו בסעיף א, נמצא מולה. ניצב מול חלקי ניצב ליד הוא טנגנס:

tan(∢CBD) = CD / BD ≈ 141.84 / 45 ≈ 3.152

∢CBD ≈ 72.4°

הזווית בין מסלול מיכל לבין AB היא בערך 72.4°.

סעיף ג: המרחק AB

הנקודה D נמצאת בין A ל-B, ולכן AB = AD + DB. את BD יודעים, וחסר AD. במשולש ACD הצלע AD היא הניצב שליד הזווית של 52°, ולכן משתמשים בקוסינוס:

cos 52° = AD / AC

AD= 180 × cos 52°AD≈ 180 × 0.61566 ≈ 110.82

AB = AD + BD ≈ 110.82 + 45 = 155.82

המרחק בין נקודות היציאה של רוני ומיכל הוא בערך 155.82 מטרים.

סעיף ד: כמה שחתה מיכל

מיכל שחתה מ-B אל C, וחזרה מ-C אל B באותו מסלול. לכן היא שחתה פעמיים את BC. נמצא את BC במשולש BCD, שבו ידועים שני הניצבים, בעזרת פיתגורס:

BC²= CD² + BD²BC²≈ 141.84² + 45² ≈ 20,118.6 + 2,025 = 22,143.6

BC ≈ 148.81

(אפשר גם בקוסינוס: BC = 45 ÷ cos 72.4°, והתוצאה כמעט זהה.)

2 × 148.81 = 297.62

מיכל שחתה סך הכול בערך 297.62 מטרים.

איפה נופלים בשאלה 4. הטעות הראשונה היא לבחור פונקציה לא נכונה: בסעיף א הצלע CD נמצאת מול הזווית, ולכן סינוס ולא קוסינוס. לפני כל חישוב שאלו את עצמכם איזו צלע מול הזווית, איזו לידה, ומי היתר. הטעות השנייה היא בסעיף ד: לענות BC בלבד, ולשכוח שמיכל חזרה באותו מסלול. וכדאי לשמור כמה ספרות אחרי הנקודה בתוצאת הביניים CD, כדי שהעיגול לא יצטבר בסעיפים הבאים.

אשכול פיננסי כלכלי

שאלה 5, דיאגרמת עיגול וממוצע משוקלל (23 נקודות)

הנתונים. לחברה יש 40 כלי שיט מארבעה סוגים. בדיאגרמת העיגול: סירות משוט 15%, סירות מנוע 25%, והחלקים של גלשני הסאפ ושל אופנועי הים לא מסומנים. נתון שמספר גלשני הסאפ גדול פי 2 ממספר אופנועי הים.

סעיף א: אחוז אופנועי הים

כל העיגול הוא 100%. מה שנשאר לגלשנים ולאופנועים יחד:

100% − 15% − 25% = 60%

נסמן את אחוז אופנועי הים ב-p. גלשני הסאפ גדולים ממנו פי 2, ולכן הם 2p:

p + 2p = 60

3p = 60

p = 20

אופנועי הים הם 20% מכלי השיט (וגלשני הסאפ 40%).

סעיף ב: מספר כלי השיט מכל סוג

כופלים כל אחוז ב-40:

סוג כלי השיט	סירת מנוע	אופנוע ים	סירת משוט	גלשן סאפ
האחוז	25%	20%	15%	40%
החישוב	0.25 × 40	0.20 × 40	0.15 × 40	0.40 × 40
מספר כלי השיט	10	8	6	16

בדיקה: 10 + 8 + 6 + 16 = 40. מתאים.

סעיף ג: המחיר הממוצע לשעה

כל סוג מופיע מספר שונה של פעמים, ולכן לא מחשבים ממוצע של ארבעת המחירים. כל מחיר נכפל במספר כלי השיט שלו, מחברים, ומחלקים במספר כלי השיט כולו:

400 × 10= 4,000280 × 8= 2,240150 × 6= 900120 × 16= 1,920

סך הכול = 9,060

9,060 ÷ 40 = 226.5

המחיר הממוצע של השכרת כלי שיט אחד לשעה הוא 226.5 שקלים.

סעיף ד: אחרי קניית 4 אופנועי ים

כל אופנוע ים חדש מושכר ב-280 שקלים לשעה, וזה יותר מן הממוצע הקיים, 226.5. כשמוסיפים לקבוצה נתונים שגדולים מן הממוצע שלה, הממוצע עולה.

וכך זה נראה בחישוב:

9,060 + 4 × 280 = 9,060 + 1,120 = 10,180

40 + 4 = 44

10,180 ÷ 44 ≈ 231.36

המחיר הממוצע גדל, מ-226.5 שקלים לבערך 231.36 שקלים.

סעיף ה: מספר סירות המנוע של הקבוצה

הקבוצה שכרה 10 סירות: x סירות מנוע, ולכן 10 − x סירות משוט. הממוצע ששילמה הוא 350 שקלים לסירה, ולכן על 10 סירות שילמה

350 × 10 = 3,500 שקלים

נבנה משוואה מן המחירים:

400x + 150(10 − x) = 3,500

400x + 1,500 − 150x = 3,500

250x = 2,000

x = 8

בדיקה: 8 סירות מנוע ו-2 סירות משוט. 8 × 400 + 2 × 150 = 3,200 + 300 = 3,500, וחלקי 10 זה 350. מתאים, וגם יש לחברה מספיק סירות מכל סוג.

x = 8. הקבוצה שכרה 8 סירות מנוע.

איפה נופלים בשאלה 5. בסעיף ג הטעות הקלאסית היא ממוצע פשוט של ארבעת המחירים, (400 + 280 + 150 + 120) ÷ 4 = 237.5. זה היה נכון רק אילו מכל סוג היה אותו מספר כלי שיט. בסעיף ד אין צורך לחשב כדי לענות, אבל צריך לנמק: את הממוצע מזיזה ההשוואה בין הנתון החדש לבין הממוצע, לא הגודל של הנתון.

שאלה 6, שתי חבילות נופש (23 נקודות)

הנתונים. חבילה א': 946 שקלים לטיסה, ועוד 317 שקלים לכל יום נופש. חבילה ב': 1,450 שקלים לטיסה, ועוד 293 שקלים לכל יום נופש. בציור שני גרפים, I ו-II, וכל אחד מתאר אחת החבילות.

סעיף א: איזה גרף מתאר את חבילה א'

שני דברים מבדילים בין הגרפים:

נקודת ההתחלה על ציר ה-y, כלומר המחיר כשאין עדיין ימי נופש, רק טיסה. בחבילה א' המחיר הזה 946, נמוך מ-1,450 של חבילה ב'.
התלילות, כלומר כמה המחיר עולה בכל יום. בחבילה א' 317, יותר מ-293 של חבילה ב'.

בציור, גרף I מתחיל נמוך יותר על ציר ה-y ועולה בתלילות רבה יותר, ובגלל זה הוא חוצה את גרף II.

גרף I מתאר את חבילה א'.

סעיף ב: כמה שילמה נעמה

נעמה הזמינה 9 ימים לפי חבילה א':

946 + 317 × 9 = 946 + 2,853 = 3,799

נעמה שילמה 3,799 שקלים.

סעיף ג: ביטוי למחיר של כל חבילה

המחיר הוא סכום קבוע לטיסה, ועוד המחיר ליום כפול מספר הימים x:

חבילה א': 946 + 317x

חבילה ב': 1450 + 293x

סעיף ד: כמה ימים הזמין אהוד

אהוד הזמין לפי חבילה ב' ושילם 6,431 שקלים. נשווה את הביטוי של חבילה ב' לסכום הזה:

1450 + 293x = 6431

293x = 6431 − 1450 = 4981

x = 4981 ÷ 293 = 17

בדיקה: 1450 + 293 × 17 = 1450 + 4981 = 6431. מתאים.

אהוד הזמין 17 ימי נופש.

סעיף ה: מתי המחיר שווה

משווים את שני הביטויים:

946 + 317x = 1450 + 293x

317x − 293x = 1450 − 946

24x = 504

x = 21

בדיקה: חבילה א' 946 + 317 × 21 = 946 + 6,657 = 7,603, וחבילה ב' 1450 + 293 × 21 = 1450 + 6,153 = 7,603. אותו מחיר.

בנופש של 21 ימים המחיר בשתי החבילות זהה, 7,603 שקלים. זו גם נקודת החיתוך של שני הגרפים בציור.

איפה נופלים בשאלה 6. בסעיף א לא מספיק לכתוב "גרף I"; צריך לנמק, ונימוק אחד טוב (נקודת ההתחלה או התלילות) מספיק, ושניהם יחד עוד יותר משכנעים. בסעיף ה, כשמעבירים אגפים, שימו לב לסימנים: 293x עובר שמאלה עם מינוס, ו-946 עובר ימינה עם מינוס. מי שמחבר במקום לחסר יקבל x שלילי או לא שלם, וזה סימן לחזור ולבדוק.