מתמטיקה ב׳

לפני שמתחילים

בשאלון שש שאלות, וכל שאלה שווה 23 נקודות. מותר לענות על כמה שאלות שרוצים, במלואן או בחלקן, אבל סך הנקודות לא יעלה על 100. ארבע שאלות מלאות שוות 92 נקודות בלבד, ולכן מי שרוצה להגיע ל-100 צריך לענות גם על חלק משאלה חמישית. כדאי לעשות זאת בכל מקרה: השאלה הנוספת מכסה גם על נקודות שאבדו בדרך.

משך הבחינה שעתיים וחצי. מותרים מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות. את כל החישובים והתשובות כותבים בגוף השאלון, ומסבירים כל פעולה, גם כשהחישוב עצמו נעשה במחשבון.

השאלות מחולקות לשלושה אשכולות, שתי שאלות בכל אחד: חברה ומדע (שאלות 1 ו-2), התמצאות במישור ובמרחב (שאלות 3 ו-4), ופיננסי כלכלי (שאלות 5 ו-6).

כאן פתורות כל שש השאלות. בכל שאלה מופיעים הנתונים, השלבים והנימוק לכל שלב, ובסופה הערה קצרה על המקום שבו נופלים.

אשכול חברה ומדע

שאלה 1, דיאגרמת עמודות: ממוצע וחציון (23 נקודות)

הנתונים. דיאגרמת העמודות מתארת את הציונים של תלמידי שכבת י"א במבחן בלשון. על הציר האופקי הציון, ועל הציר האנכי מספר התלמידים שקיבלו אותו. הצעד הראשון בכל שאלה כזאת הוא להעתיק את הדיאגרמה לטבלת שכיחויות, כי מן הטבלה קל לחשב הכול:

כדאי לבדוק כל עמודה מול הקווים האופקיים של הרשת: העמודה של 90 מגיעה לקו 6, והעמודה של 100 לקו 4. קל לטעות שם בשתי יחידות.

סעיף א: כמה תלמידים ניגשו למבחן

כל תלמיד נספר בדיוק בעמודה אחת, ולכן מחברים את גובהי כל העמודות:

60 תלמידים ניגשו למבחן.

סעיף ב: ממוצע הציונים

הממוצע הוא סכום כל הציונים חלקי מספר התלמידים. אין צורך לחבר שישים מספרים אחד אחד: חמישה תלמידים קיבלו 50, ולכן הם תורמים לסכום 50 × 5, וכן הלאה.

ממוצע הציונים במבחן הוא 74.

סעיף ג: חציון הציונים

החציון הוא הציון שנמצא באמצע, אחרי שמסדרים את כל הציונים מן הקטן לגדול. מספר הציונים הוא 60, מספר זוגי, ולכן אין ציון אחד באמצע אלא שניים: הציון ה-30 והציון ה-31. החציון הוא הממוצע שלהם.

כדי למצוא אותם נספור מצטבר, משמאל לימין בטבלה:

הציונים במקומות 16 עד 30 הם 70, ולכן הציון ה-30 הוא 70. הציונים במקומות 31 עד 50 הם 80, ולכן הציון ה-31 הוא 80.

חציון הציונים הוא 75. הנימוק: בדיוק 30 תלמידים קיבלו 70 ומטה, ובדיוק 30 תלמידים קיבלו 80 ומעלה, והחציון יושב באמצע בין שתי הקבוצות.

סעיף ד: מה קורה לממוצע אחרי הוספת שחר ותמר

נוספים שני ציונים, 70 ו-80. נחשב את הממוצע החדש:

הממוצע גדל, מ-74 לבערך 74.03.

אפשר לראות זאת גם בלי לחשב: שני הציונים החדשים יחד ממוצעם (70 + 80) : 2 = 75, וזה יותר מן הממוצע הקודם, 74. כשמוסיפים לקבוצה ציונים שממוצעם גבוה מן הממוצע שלה, הממוצע עולה. במילים אחרות: הציון 70 נמוך ב-4 מן הממוצע, הציון 80 גבוה ב-6 ממנו, ויחד הם מוסיפים לסכום 2 נקודות מעבר לממוצע הישן.

סעיף ה: מה קורה לחציון אחרי הוספת שחר ותמר

עכשיו יש 62 ציונים, ושוב מספר זוגי. החציון הוא ממוצע הציון ה-31 והציון ה-32. נעדכן את הטבלה: לעמודה של 70 נוסף תלמיד אחד ולעמודה של 80 נוסף תלמיד אחד.

הציון ה-31 הוא 70 (המקומות 16 עד 31), והציון ה-32 הוא 80 (המקומות 32 עד 52):

החציון לא השתנה, הוא נשאר 75. הנימוק: ציון אחד נוסף בחצי התחתון (70) וציון אחד נוסף בחצי העליון (80). כל חצי גדל בתלמיד אחד, ולכן נקודת האמצע נשארת בין 70 ל-80.

איפה נופלים בשאלה 1. בסעיף ב מחלקים לפעמים את סכום הציונים ב-6, מספר העמודות, במקום ב-60, מספר התלמידים. בסעיף ג נוטים לבחור את העמודה הגבוהה ביותר, 80, אבל זה השכיח ולא החציון. ובסעיף ה כדאי לספור מחדש ולא לנחש: מספר התלמידים השתנה, ולכן גם המקומות שבאמצע השתנו.

שאלה 2, הסתברות: בחירות לעירייה (23 נקודות)

הנתונים. שלושה מועמדים התמודדו בבחירות. 45% מן המצביעים בחרו במועמד א' ו-35% בחרו במועמד ב'. שאר המצביעים בחרו במועמד ג'.

סעיף א: ההסתברות שמצביע אקראי בחר במועמד ג'

כל מצביע בחר באחד משלושת המועמדים, ולכן שלושת האחוזים יחד הם 100%:

ההסתברות היא 0.2.

לפני הסעיפים הבאים. בוחרים שני מצביעים, אחד אחרי השני. בעיר יש מצביעים רבים מאוד, ולכן הבחירה של המצביע הראשון כמעט אינה משנה את האחוזים עבור המצביע השני. נתייחס לשתי הבחירות כבלתי תלויות, ונשתמש בעץ: לכל ענף של המצביע הראשון יוצאים שוב שלושה ענפים של המצביע השני, עם אותן הסתברויות, 0.45 , 0.35 , 0.2. ההסתברות של מסלול בעץ היא מכפלת ההסתברויות שלאורכו.

סעיף ב: ההסתברות ששניהם בחרו במועמד א'

זה מסלול אחד בעץ: הראשון בחר בא' וגם השני בחר בא'.

ההסתברות היא 0.2025.

סעיף ג: ההסתברות ששניהם בחרו באותו מועמד

"אותו מועמד" יכול להיות א', ב' או ג', אלה שלושה מסלולים נפרדים בעץ, ולכן מחברים את ההסתברויות שלהם:

ההסתברות היא 0.365.

סעיף ד: ההסתברות שאחד בחר בא' והאחר בחר בב'

השאלה לא קובעת מי מהם בחר בא', ולכן יש שני מסלולים:

ההסתברות היא 0.315.

איפה נופלים בשאלה 2. בסעיף ד שוכחים את הסדר ההפוך ועונים 0.1575, חצי מן התשובה. המילים "אחד מהם... והאחר" אינן אומרות מי ראשון, ולכן שני הסדרים נחשבים. בסעיף ג שוכחים לפעמים את מועמד ג', שלא מופיע במפורש בדיאגרמה עם אחוז, ואת ההסתברות שלו מוצאים רק מסעיף א.

אשכול התמצאות במישור ובמרחב

שאלה 3, משולש שווה שוקיים, פיתגורס ודמיון (23 נקודות)

הנתונים. הדגל הגדול הוא משולש שווה שוקיים ABC, והדגל הקטן הוא משולש שווה שוקיים DEF. בדגל הגדול הבסיס AB = 35 ס"מ, וכל שוק, AC ו-BC, היא 62.5 ס"מ. CK הוא הגובה לבסיס.

סעיף א: הגובה והשטח של הדגל הגדול

(1) במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם התיכון לבסיס, כלומר הוא חוצה את הבסיס לשני חלקים שווים:

עכשיו המשולש AKC הוא משולש ישר זווית (הזווית הישרה ב-K). היתר שלו הוא השוק AC, והניצבים הם AK ו-CK. לפי משפט פיתגורס:

הגובה CK הוא 60 ס"מ.

(2) שטח משולש הוא בסיס כפול הגובה אליו, חלקי 2:

שטח הדגל הגדול הוא 1,050 סמ"ר.

סעיף ב: הבסיס DE של הדגל הקטן

המשולשים ABC ו-DEF דומים ביחס 5:2. פירוש הדבר שכל צלע בדגל הגדול היא 5 חלקים, והצלע המתאימה לה בדגל הקטן היא 2 חלקים כאלה. הבסיס AB מתאים לבסיס DE:

הבסיס DE הוא 14 ס"מ.

סעיף ג: ההיקף של הדגל הקטן

ההיקף של הדגל הגדול:

היחס בין ההיקפים של משולשים דומים שווה ליחס הדמיון, ולכן:

אפשר לבדוק בדרך אחרת: כל שוק בדגל הקטן היא 62.5 × 2 : 5 = 25, ולכן ההיקף הוא 14 + 25 + 25 = 64.

ההיקף של הדגל הקטן הוא 64 ס"מ.

סעיף ד: כמה דגלים קטנים יש בשרשרת

כל דגל תלוי על השרשרת בצלע הבסיס שלו, והדגלים צמודים זה לזה בלי רווחים. לכן כל דגל גדול תופס 35 ס"מ מן השרשרת, וכל דגל קטן תופס 14 ס"מ.

שימו לב ליחידות: אורך השרשרת נתון במטרים, והדגלים בסנטימטרים.

נסמן ב-x את מספר הדגלים הקטנים. הדגלים הגדולים רבים פי שניים, ולכן יש 2x דגלים גדולים. האורך הכולל שהדגלים תופסים הוא אורך השרשרת:

בדיקה: 150 דגלים גדולים תופסים 150 × 35 = 5250 ס"מ, ו-75 דגלים קטנים תופסים 75 × 14 = 1050 ס"מ. יחד 6300 ס"מ, בדיוק 63 מטרים.

בשרשרת יש 75 דגלים קטנים (ולצדם 150 דגלים גדולים).

איפה נופלים בשאלה 3. בסעיף א מציבים בפיתגורס את כל הבסיס, 35, במקום חציו, 17.5. בסעיף ג מכפילים את ההיקף ביחס 5:2 בכיוון ההפוך ומקבלים 400. וכדאי לשאול: הדגל הקטן קטן, ולכן ההיקף שלו חייב לצאת קטן מ-160. בסעיף ד שוכחים להמיר מטרים לסנטימטרים, או סופרים את ההיקף של הדגל במקום את הבסיס בלבד.

שאלה 4, טריגונומטריה: המגדל והתצפית (23 נקודות)

הנתונים. חנן עומד בנקודה A. בנקודה B עומד מגדל שגובהו BC, ועל המגדל תצפית שמגיעה עד הנקודה D. הקטע DB מאונך ל-AB, כלומר הזווית ב-B ישרה. נתון ∢CAB = 35°, והאורך AC הוא 20 מטרים.

הכלי לכל השאלה. במשולש ישר זווית, לגבי זווית חדה α:

סעיף א: גובה המגדל BC

במשולש ABC הזווית הישרה ב-B, ולכן היתר הוא AC = 20. הצלע BC נמצאת מול הזווית של 35°, והיתר ידוע, ולכן משתמשים בסינוס:

גובה המגדל הוא בערך 11.47 מטרים.

סעיף ב: המרחק של חנן מן המגדל AB

הצלע AB היא הניצב שליד הזווית של 35°, ולכן משתמשים בקוסינוס:

המרחק של חנן מן המגדל הוא בערך 16.38 מטרים.

סעיף ג: הזווית DAB

הנקודה D נמצאת מעל C, על אותו קו אנכי, ולכן:

במשולש ABD הזווית ב-B ישרה. מן הזווית DAB, הצלע DB היא הניצב שמולה והצלע AB היא הניצב שלידה. שני הניצבים ידועים, ולכן משתמשים בטנגנס:

הזווית DAB היא בערך 45.2 מעלות. זה הגיוני: DB ו-AB כמעט שווים, ובמשולש ישר זווית שבו שני הניצבים שווים הזווית היא בדיוק 45°.

סעיף ד: האורך GC

הנקודה G היא אמצע הדרך מ-A ל-B, ולכן:

המשולש GBC הוא משולש ישר זווית (הזווית הישרה ב-B), והניצבים שלו הם GB ו-BC. הצלע GC היא היתר, ולפי משפט פיתגורס:

האורך GC הוא בערך 14.1 מטרים.

איפה נופלים בשאלה 4. בסעיף א בוחרים קוסינוס במקום סינוס. השאלה שכדאי לשאול בכל פעם: הצלע שאני מחפש נמצאת מול הזווית או לידה? בסעיף ג משתמשים ב-BC במקום ב-DB, ומקבלים שוב 35°, כי שוכחים שהתצפית מוסיפה 5 מטרים. ושימו לב שהמחשבון במצב מעלות (DEG) ולא ברדיאנים.

אשכול פיננסי כלכלי

שאלה 5, גדילה באחוז קבוע: משכורות (23 נקודות)

הנתונים. במפעל המשכורת גדלה בכל שנה באחוז קבוע. המשכורת של אסף בשנה הראשונה הייתה 9,500 שקלים לחודש, והיא גדלה בכל שנה ב-6%.

הכלי לכל השאלה. גדילה של 6% פירושה שבכל שנה יש את כל מה שהיה, 100%, ועוד 6%, כלומר 106% ממה שהיה בשנה הקודמת. לכן בכל שנה המשכורת נכפלת ב:

ואחרי t שנים:

כאן M₀ היא המשכורת בהתחלה ו-M היא המשכורת אחרי t שנים.

סעיף א: המשכורת של אסף כעבור 7 שנים

כעבור 7 שנים המשכורת של אסף תהיה בערך 14,284.49 שקלים.

סעיף ב: מתי המשכורת של אסף תהיה 10,674.2 שקלים

נציב את המשכורת הרצויה ונחפש את t:

נבדוק חזקות של 1.06:

התאמה מדויקת.

המשכורת של אסף תהיה 10,674.2 שקלים כעבור 2 שנים.

סעיף ג: בכמה אחוזים גדלה בכל שנה המשכורת של עידו

המשכורת של עידו בשנה הראשונה הייתה 11,600 שקלים, וכעבור שלוש שנים 12,311 שקלים. האחוז אינו ידוע, ולכן נסמן את מכפיל הגדילה ב-q:

מכפיל של 1.02 פירושו 102% ממה שהיה, כלומר גדילה של 2%. בדיקה: 11600 × 1.02³ ≈ 12310, וזה 12,311 עד כדי עיגול.

המשכורת של עידו גדלה בכל שנה ב-2%.

סעיף ד: האם כעבור 7 שנים המשכורת של עידו תהיה גבוהה מזו של אסף

אסף ועידו התחילו לעבוד באותו יום, ולכן משווים את שתי המשכורות אחרי אותו מספר שנים, 7. את המשכורת של אסף כבר מצאנו בסעיף א. המשכורת של עידו:

לא. כעבור 7 שנים המשכורת של עידו תהיה נמוכה מזו של אסף, בערך ב-960 שקלים. עידו התחיל עם משכורת גבוהה יותר, אבל המשכורת של אסף גדלה בקצב גבוה פי שלושה (6% לעומת 2%), ועם השנים היא עוברת אותו.

איפה נופלים בשאלה 5. כותבים 0.06 במקום 1.06 כמכפיל, ומקבלים משכורת זעירה. בסעיף ג מחלקים את ההפרש, 711 שקלים, בשלוש ומחשבים אחוז מזה, וזו גדילה קבועה בשקלים ולא באחוזים. בסעיף ד לא מספיק לכתוב "לא": השאלון מבקש לנמק, וצריך לחשב את שתי המשכורות ולהשוות ביניהן.

שאלה 6, השוואת הצעות מחיר: פונקציות קוויות (23 נקודות)

הנתונים. שלוש הצעות מחיר לצביעת בית:

• הצעה א': תשלום בסיסי של 200 שקלים, ועוד 40 שקלים לכל מ"ר צביעה.
• הצעה ב': תשלום בסיסי של 440 שקלים, ועוד 25 שקלים לכל מ"ר צביעה.
• הצעה ג': תשלום כולל של 1,200 שקלים, בלי קשר לשטח.

סעיף א: ההצעה הזולה ביותר עבור 32 מ"ר

נחשב את המחיר לפי כל הצעה:

ההצעה הזולה ביותר עבור 32 מ"ר היא הצעה ג', 1,200 שקלים, לעומת 1,240 שקלים בהצעה ב' ו-1,480 שקלים בהצעה א'.

סעיף ב: איזה גרף מתאר כל הצעה

שתי תכונות של ישר מספיקות כדי לזהות אותו: איפה הוא חותך את ציר המחיר (זה התשלום הבסיסי, המחיר כשהשטח 0), וכמה הוא תלול (זה המחיר לכל מ"ר).

• גרף I הוא ישר אופקי: המחיר אינו משתנה כשהשטח גדל. זו הצעה ג', שבה התשלום קבוע.
• בין שני הגרפים העולים, גרף II מתחיל נמוך יותר על ציר המחיר ועולה בתלילות רבה יותר. תשלום בסיסי נמוך יותר (200 לעומת 440) ומחיר גבוה יותר לכל מ"ר (40 לעומת 25) מתאימים להצעה א'.
• גרף III מתחיל גבוה יותר ועולה מתון יותר, ולכן הוא הצעה ב'.

גרף I מתאר את הצעה ג', גרף II את הצעה א', וגרף III את הצעה ב'.

סעיף ג: הביטוי למחיר לפי הצעה א'

לפי הצעה א' משלמים 200 שקלים פעם אחת, ועוד 40 שקלים על כל אחד מ-x המטרים הרבועים, כלומר 40 × x. המחיר הכולל:

ביטוי 2, 200 + 40x.

שאר הביטויים מערבבים את התפקידים: בביטוי 1 התשלום הבסיסי והמחיר למ"ר הוחלפו, ובביטויים 3 ו-4 מופיעים מספרים שאינם שייכים להצעה א'.

סעיף ד: הביטוי למחיר לפי הצעה ב'

באותו אופן, תשלום בסיסי של 440 שקלים ועוד 25 שקלים לכל מ"ר:

440 + 25x

סעיף ה: כמה מ"ר אפשר לצבוע ב-1,765 שקלים לפי הצעה ב'

נשווה את הביטוי של הצעה ב' לסכום שיש למשפחה:

בדיקה: 440 + 25 × 53 = 440 + 1325 = 1765.

לפי הצעה ב' משפחת כהן יכולה לצבוע 53 מ"ר.

סעיף ו: באיזה שטח המחיר לפי הצעה א' שווה למחיר לפי הצעה ב'

משווים את שני הביטויים:

בדיקה: לפי הצעה א' 200 + 40 × 16 = 840, ולפי הצעה ב' 440 + 25 × 16 = 840.

עבור צביעה של 16 מ"ר המחיר בשתי ההצעות שווה, 840 שקלים. בגרף זו נקודת החיתוך של הישרים II ו-III.

איפה נופלים בשאלה 6. בסעיף ב מזהים את הגרפים לפי הגובה בצד ימין של הסרטוט במקום לפי נקודת ההתחלה והתלילות. בסעיף ג נמשכים לביטוי 1 כי המספרים 40 ו-200 מופיעים בו, אבל שם 200 מוכפל ב-x. השאלה הנכונה: איזה מספר משלמים פעם אחת, ואיזה משלמים על כל מטר?

התשובות בקצרה