הפתרון המלא · מתמטיקה ב׳ · שאלון 35371 · קיץ, מועד א׳ תשפ״ה 2025

לפני שמתחילים

זה השאלון השני של 3 יחידות לימוד בתוכנית החדשה. יש בו שש שאלות, מחולקות לשלושה אשכולות, שתי שאלות בכל אשכול. כל שאלה שווה 22 נקודות, ומותר לענות באופן מלא או חלקי על כמה שאלות שרוצים, אבל סך הנקודות לא יעלה על 100. חמש תשובות מלאות שוות 110 נקודות, כך שיש מרווח קטן לטעות. השאלון אינו מפרט ניקוד לתת-סעיפים.

משך הבחינה שעתיים וחצי. מותרים מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות.

כאן פתורות כל שש השאלות. בכל שאלה מופיעים הנתונים, השלבים והנימוק לכל שלב, ובסופה הערה קצרה על המקום שבו נופלים.

אשכול חברה ומדע

שאלה 1, גדילה ודעיכה באחוז קבוע (22 נקודות)

הנתונים. במדינה מסוימת מספר המכוניות החשמליות גדל בכל שנה באחוז קבוע, ומספר מכוניות הבנזין קטן בכל שנה באחוז קבוע. בסרטוט שני גרפים, I ו-II, מתחילת

גרף II מתחיל ב-200,000 ויורד, וגרף I מתחיל ב-53,865 ועולה. שני הגרפים

נפגשים בתחילת 2021.

סעיף א: איזה גרף מתאר את מכוניות הבנזין

מספר מכוניות הבנזין קטן משנה לשנה, ולכן הגרף שלו יורד. הגרף היורד הוא גרף II, והוא מתחיל ב-200,000 מכוניות.

גרף II מתאר את מספר מכוניות הבנזין.

סעיף ב: מספר מכוניות הבנזין בתחילת 2021

הירידה היא 10% בכל שנה. אחרי ירידה של 10% נשארים 90% מן הכמות, ולכן בכל שנה כופלים ב-0.9:

q = 1 − 0.1 = 0.9

מתחילת 2016 עד תחילת 2021 עוברות 5 שנים, כלומר כופלים ב-0.9 חמש פעמים:

200,000 × 0.9⁵ = 200,000 × 0.59049 = 118,098

בתחילת 2021 היו 118,098 מכוניות בנזין.

סעיף ג: אחוז הגדילה של המכוניות החשמליות

נתון שבתחילת 2021 מספר המכוניות החשמליות שווה למספר מכוניות הבנזין, כלומר גם הן 118,098. זו נקודת המפגש של שני הגרפים. המכוניות החשמליות התחילו ב-53,865 וגדלו באותו אחוז במשך אותן 5 שנים. נסמן ב-q את המכפיל השנתי:

53,865 × q⁵ = 118,098

q⁵ = 118,098 : 53,865 ≈ 2.1925

q = ⁵√2.1925 ≈ 1.17

מכפיל של 1.17 פירושו שבכל שנה הכמות היא 117% מן הכמות של השנה הקודמת, כלומר גדילה של 17%.

בדיקה: 53,865 × 1.17⁵ ≈ 118,096. ההפרש מ-118,098 נובע רק מעיגול, והוא זניח.

מספר המכוניות החשמליות גדל ב-17% בכל שנה.

סעיף ד: מתי היו 86,271 מכוניות חשמליות

נחפש כמה שנים n אחרי תחילת 2016 מתקיים:

53,865 × 1.17ⁿ = 86,271

1.17ⁿ = 86,271 : 53,865 ≈ 1.6016

נבדוק שנה אחר שנה:

שנים אחרי 2016	1	2	3
1.17ⁿ	1.17	1.3689	1.6016
מספר המכוניות החשמליות	63,022	73,736	86,271

אחרי 3 שנים מגיעים בדיוק ל-86,271 (החישוב המדויק נותן 86,270.9). שלוש שנים אחרי תחילת 2016 זו תחילת 2019.

בתחילת שנת 2019 היו במדינה 86,271 מכוניות חשמליות.

איפה נופלים בשאלה 1. שתי מלכודות. הראשונה במכפיל של ירידה: כופלים ב-0.1 במקום ב-0.9, או מחסרים 10% מן הכמות ההתחלתית חמש פעמים, כאילו הירידה קבועה במספר ולא באחוז. השנייה בספירת השנים: מ-2016 עד 2021 יש 5 שנים, לא 6, ובסעיף ד צריך לזכור להוסיף את n לשנה 2016 ולענות בשנה, לא במספר 3.

שאלה 2, הסתברות בכרטיס גירוד (22 נקודות)

הנתונים. בכל כרטיס 9 ריבועים. מתחת לשניים מהם כתוב "זכית במשקה!", מתחת לאחד כתוב "זכית במגש פיצה!", ומתחת לששת האחרים לא כתוב דבר. בכל כרטיס מגרדים ריבוע אחד בלבד, וכל ריבוע יכול לצאת באותה מידה.

התוצאה	משקה	פיצה	בלי פרס
מספר הריבועים	2	1	6
ההסתברות	29	19	69

לכל אחד מן המוזמנים יש כרטיס משלו, ולכן מה שיוצא לאסף אינו משפיע על מה שיוצא לחגי.

סעיף א: ההסתברות שאסף יזכה בפרס כלשהו

פרס כלשהו פירושו משקה או פיצה. יש 3 ריבועים כאלה מתוך 9:

P = (2 + 1) : 9 = 39 = 13

ההסתברות היא ⅓.

סעיף ב(1): גם אסף וגם חגי זוכים במגש פיצה

שני כרטיסים נפרדים, שאינם משפיעים זה על זה, ולכן כופלים:

P = 19 × 19 = 181

ההסתברות היא 181.

סעיף ב(2): אחד זוכה בפיצה ואחד במשקה

יש שתי דרכים שזה קורה, והן זרות זו לזו:

אסף פיצה וחגי משקה: 19 × 29 = 281

אסף משקה וחגי פיצה: 29 × 19 = 281

P = 281 + 281 = 481

ההסתברות היא 481.

סעיף ג: לפחות אחד מהם זוכה בפרס

"לפחות אחד" נוח לחשב דרך המאורע המשלים: ההפך מ"לפחות אחד זוכה" הוא "שניהם לא זוכים". לכל אחד ההסתברות לא לזכות היא 69 = 23:

P(שניהם לא זוכים)= 23 × 23 = 49P(לפחות אחד זוכה)= 1 − 49 = 59

בדיקה בדרך הישירה: אסף זוכה וחגי לא, חגי זוכה ואסף לא, או ששניהם זוכים:

13 × 23 + 23 × 13 + 13 × 13 = 29 + 29 + 19 = 59

ההסתברות היא 59.

איפה נופלים בשאלה 2. בסעיף ב(2) רבים מחשבים רק את הדרך שבה אסף זוכה בפיצה וחגי במשקה, ומקבלים 281. השאלה לא אומרת מי זוכה במה, ולכן יש שני מסלולים. בסעיף ג נופלים כשמחברים 13 + 13, וסופרים פעמיים את המקרה ששניהם זוכים.

אשכול התמצאות במישור ובמרחב

שאלה 3, משולשים דומים בפתחי אוהלים (22 נקודות)

הנתונים. הפתח של כל אוהל הוא משולש שווה שוקיים: ABC באוהל הגדול (AB = AC), ו-EFG באוהל הקטן (EF = EG). המשולשים דומים, ויחס הדמיון בין המשולש הגדול לקטן הוא 3 : 2. הבסיס של הפתח הקטן FG = 1.2 מטר.

סעיף א: הבסיס BC של הפתח הגדול

במשולשים דומים כל זוג צלעות מתאימות נמצא ביחס הדמיון. הצלע BC מתאימה לצלע FG, שתיהן הבסיס:

BC : FG = 3 : 2

BC = 1.2 × 3 : 2 = 1.8

הבסיס של פתח האוהל הגדול BC = 1.8 מטר.

סעיף ב(1): אורך הצלע AB

הרוכסן AD מאונך לבסיס BC. במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון, ולכן הוא חוצה את הבסיס לשני חצאים שווים:

BD = 1.8 : 2 = 0.9

המשולש ABD ישר זווית ב-D, והצלע AB היא היתר שלו. לפי משפט פיתגורס:

AB²= AD² + BD²AB²= 2.16² + 0.9²AB²= 4.6656 + 0.81 = 5.4756

AB = √5.4756 = 2.34

AB = 2.34 מטר.

סעיף ב(2): ההיקף של פתח האוהל הגדול

המשולש שווה שוקיים, ולכן AC = AB = 2.34:

AB + AC + BC = 2.34 + 2.34 + 1.8 = 6.48

ההיקף של פתח האוהל הגדול הוא 6.48 מטרים.

סעיף ג: האם 0.7 מ"ר של בד יספיקו לפתח הקטן

צריך את שטח המשולש EFG. נחשב את הגובה מן הקודקוד E לבסיס FG. הגבהים המתאימים במשולשים דומים נמצאים גם הם ביחס הדמיון, ולכן:

הגובה ב-EFG = 2.16 × 2 : 3 = 1.44

ושטח המשולש הוא מחצית מכפלת הבסיס בגובה:

S = 1.2 × 1.44 : 2 = 0.864

השטח הוא 0.864 מ"ר, וזה יותר מ-0.7 מ"ר.

דרך נוספת לאותה תוצאה: שטח הפתח הגדול הוא 1.8 × 2.16 : 2 = 1.944 מ"ר, ויחס השטחים במשולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון, כלומר 4 : 9. מכאן 1.944 × 4 : 9 = 0.864 מ"ר.

לא. שטח פתח האוהל הקטן הוא 0.864 מ"ר, גדול מ-0.7 מ"ר, ולכן הבד לא יספיק.

איפה נופלים בשאלה 3. בסעיף א הופכים את היחס וכופלים ב-2 : 3, ומקבלים בסיס גדול שקטן מן הבסיס הקטן. כדאי לשאול את עצמנו: האוהל הגדול, האם הבסיס שלו יצא גדול יותר? בסעיף ג נופלים כשמשתמשים בגובה 2.16 של האוהל הגדול לחישוב השטח של הקטן, או כשכופלים את השטח הגדול ביחס הדמיון 2 : 3 במקום בריבוע שלו.

שאלה 4, טריגונומטריה במכשיר כושר (22 נקודות)

הנתונים. המכשיר בנוי מבסיס AB, משענת BC ומוט תמיכה AD. נתון ש-AC מאונך ל-AB, כלומר במשולש ABC הזווית ב-A ישרה. נתון גם ש-AD מאונך ל-BC, כלומר AD הוא גובה מן הקודקוד A ליתר BC. אורך מוט התמיכה AD = 40 ס"מ, ו-BD = 28 ס"מ.

סעיף א: אורך הבסיס AB

המשולש ABD ישר זווית ב-D, ו-AB הוא היתר שלו. לפי משפט פיתגורס:

AB²= AD² + BD²AB²= 40² + 28²AB²= 1600 + 784 = 2384

AB = √2384 ≈ 48.83

אורך הבסיס AB ≈ 48.83 ס"מ.

סעיף ב: הזווית ABD

נישאר במשולש ABD הישר זווית ב-D. מול הזווית B נמצא הניצב AD, וליד הזווית B נמצא הניצב BD. נבחר טנגנס, כי הוא משתמש רק בשני הנתונים המקוריים ולא בתוצאה המעוגלת של סעיף א:

tan(∠ABD) = AD : BD = 40 : 28 ≈ 1.4286

∠ABD ≈ 55.01°

עמית הטה את המשענת בזווית של כ-55° (55.01°).

סעיף ג: אורך המשענת BC

עכשיו נעבור למשולש הגדול ABC, שהזווית הישרה שלו ב-A. היתר הוא BC, והניצב שליד הזווית B הוא AB. לכן:

cos(∠B) = AB : BC

BC= AB : cos(∠B)BC≈ 48.83 : cos(55.01°) ≈ 48.83 : 0.5735 ≈ 85.14

בדיקה בדרך אחרת: במשולש ADC הישר זווית ב-D, הזווית C היא 90° − 55.01° = 34.99°, ולכן

DC= AD : tan(34.99°) ≈ 40 : 0.7 ≈ 57.14BC= BD + DC ≈ 28 + 57.14 = 85.14

שתי הדרכים נותנות אותה תוצאה. מי שעיגל את הזווית ל-55° בדיוק יקבל כ-85.13, וגם זו תשובה נכונה בגבולות העיגול.

אורך המשענת BC ≈ 85.14 ס"מ.

איפה נופלים בשאלה 4. הסרטוט מבלבל, כי יש בו שלושה משולשים ישרי זווית: ABD, ADC וגם ABC. בכל חישוב צריך לומר במפורש באיזה משולש עובדים ואיפה הזווית הישרה שלו. הטעות הנפוצה בסעיף ג היא לחשב את BC במשולש ABD, שבו BC אינה צלע בכלל, או לקחת את 40 ס"מ כאילו היה הניצב AC.

אשכול פיננסי כלכלי

שאלה 5, ממוצע, שכיח ואחוזים ביום כיף (22 נקודות)

הנתונים. כל ילד קנה כרטיס לפעילות אחת בלבד:

הפעילות	צפייה בסרט	סדנת יצירה	שחייה בבריכה	סדנת בישול
מחיר הכרטיס (בשקלים)	15	30	55	60
מספר הילדים	18	54	24	24

סעיף א(1): כמה ילדים קנו כרטיס

כל ילד קנה כרטיס אחד בדיוק, ולכן נחבר את שורת מספר הילדים:

18 + 54 + 24 + 24 = 120

120 ילדים קנו כרטיס.

סעיף א(2): המחיר הממוצע של כרטיס

זה ממוצע משוקלל: כל מחיר נספר כמה פעמים שיש ילדים שקנו אותו. נכפול כל מחיר במספר הילדים ונחבר, וכך נקבל את סך הכסף ששולם:

15 × 18= 27030 × 54= 1,62055 × 24= 1,32060 × 24= 1,440

270 + 1,620 + 1,320 + 1,440 = 4,650

ונחלק במספר הילדים:

4,650 : 120 = 38.75

המחיר הממוצע של כרטיס הוא 38.75 שקלים.

סעיף ב: הפעילות השכיחה

הפעילות השכיחה היא זו שהכי הרבה ילדים בחרו בה. בסדנת יצירה 54 ילדים, יותר מבכל פעילות אחרת.

הפעילות השכיחה היא סדנת יצירה.

סעיף ג: אחוז הילדים בסדנת יצירה

54 : 120 × 100 = 45

45% מן הילדים קנו כרטיס לסדנת יצירה.

סעיף ד: מה קרה לממוצע אחרי שינוי המחירים

מספר הילדים בכל פעילות לא השתנה, רק המחירים. נבדוק איך השתנה סך הכסף:

שחייה בבריכה: המחיר ירד ב-10 שקלים, מ-55 ל-45. ל-24 ילדים זו ירידה של 10 × 24 = 240 שקלים.
סדנת בישול: המחיר עלה ב-20%, מ-60 ל-60 × 1.2 = 72, כלומר ב-12 שקלים. ל-24 ילדים זו עלייה של 12 × 24 = 288 שקלים.

4,650 − 240 + 288 = 4,698

4,698 : 120 = 39.15

סך הכסף עלה ב-48 שקלים, ומספר הילדים נשאר 120, ולכן הממוצע עלה מ-38.75 ל-39.15.

המחיר הממוצע של כרטיס גדל, מ-38.75 שקלים ל-39.15 שקלים.

איפה נופלים בשאלה 5. בסעיף א(2) מחשבים את ממוצע ארבעת המחירים, (15 + 30 + 55 + 60) : 4 = 40, ושוכחים שבכל פעילות היה מספר שונה של ילדים. בסעיף ב עונים "54" או "30 שקלים" במקום שם הפעילות. בסעיף ד יש מי שאומרים "ירידה של 10 שקלים ועלייה של 20%, ולכן קשה לדעת", בלי לחשב. רק החישוב של סך הכסף מכריע.

שאלה 6, שתי אפשרויות לתשלום על כרטיסי קולנוע (22 נקודות)

הנתונים. אפשרות א': 40 שקלים לכל כרטיס. אפשרות ב': תשלום שנתי של 180 שקלים, ועוד 25 שקלים לכל כרטיס. בסרטוט שני גרפים ישרים: גרף I מתחיל מעל הראשית, על ציר המחיר, וגרף II יוצא מן הראשית ותלול יותר.

סעיף א: איזה גרף מתאר את אפשרות א'

באפשרות א' אין תשלום קבוע. מי שלא קונה אף כרטיס משלם 0 שקלים, ולכן הגרף יוצא מן הראשית. זה גרף II. הוא גם התלול מבין השניים, כי כל כרטיס מוסיף 40 שקלים, לעומת 25 באפשרות ב'.

גרף II מתאר את אפשרות א'.

סעיף ב: מה משתלם יותר לאפרת, שצופה ב-38 סרטים

נחשב את המחיר השנתי בכל אפשרות:

אפשרות א': 40 × 38 = 1,520

אפשרות ב': 180 + 25 × 38 = 180 + 950 = 1,130

לאפרת משתלמת יותר אפשרות ב': היא תשלם 1,130 שקלים במקום 1,520.

סעיף ג: מספר הכרטיסים הגדול ביותר ב-640 שקלים

נבדוק כמה כרטיסים אפשר לקנות בכל אפשרות:

אפשרות א': 640 : 40 = 16

אפשרות ב': (640 − 180) : 25 = 460 : 25 = 18.4

באפשרות ב' יוצא 18.4, אבל אי אפשר לקנות חלק של כרטיס, ולכן מעגלים כלפי מטה ל-18. בדיקה: 18 כרטיסים עולים 180 + 25 × 18 = 630 שקלים, ו-19 כרטיסים כבר עולים 655 שקלים, יותר מ-640.

מספר הכרטיסים הגדול ביותר הוא 18 (לפי אפשרות ב').

סעיף ד(1): ביטוי למחיר x כרטיסים לפי אפשרות ב'

תשלום קבוע של 180 שקלים, ועוד 25 שקלים לכל אחד מ-x הכרטיסים:

180 + 25x

סעיף ד(2): מתי המחירים בשתי האפשרויות שווים

לפי אפשרות א' המחיר של x כרטיסים הוא 40x. נשווה:

180 + 25x = 40x

180= 40x − 25x180= 15x

x = 12

בדיקה: 40 × 12 = 480, ו-180 + 25 × 12 = 180 + 300 = 480. שווה. זו גם נקודת החיתוך של שני הגרפים בסרטוט.

x = 12. חני קנתה 12 כרטיסים, ובשתי האפשרויות המחיר הוא 480 שקלים.

איפה נופלים בשאלה 6. בסעיף א בוחרים בגרף I כי הוא "מתחיל גבוה יותר", ושוכחים שדווקא אפשרות ב' היא זו עם התשלום הקבוע. בסעיף ג נופלים פעמיים: פעם כשבודקים רק את אפשרות א' ועונים 16, ופעם כשמעגלים את 18.4 כלפי מעלה ל-19.

התשובות בקצרה

שאלה	סעיף	התשובה
1	א	גרף II
1	ב	118,098 מכוניות בנזין
1	ג	17% בשנה
1	ד	בתחילת 2019
2	א	⅓
2	ב(1)	181
2	ב(2)	481
2	ג	59
3	א	BC = 1.8 מטר
3	ב(1)	AB = 2.34 מטר
3	ב(2)	6.48 מטרים
3	ג	לא, שטח הפתח 0.864 מ"ר
4	א	AB ≈ 48.83 ס"מ
4	ב	∠ABD ≈ 55°
4	ג	BC ≈ 85.14 ס"מ
5	א(1)	120 ילדים
5	א(2)	38.75 שקלים
5	ב	סדנת יצירה
5	ג	45%
5	ד	גדל, ל-39.15 שקלים
6	א	גרף II
6	ב	אפשרות ב' (1,130 שקלים מול 1,520)
6	ג	18 כרטיסים
6	ד(1)	180 + 25x
6	ד(2)	x = 12