הפתרון המלא · מתמטיקה ב׳ · שאלון 35371 · קיץ, מועד ב׳ תשפ״ה 2025

לפני שמתחילים

זה השאלון השני של 3 יחידות לימוד בתוכנית החדשה. יש בו שש שאלות, מחולקות לשלושה אשכולות, שתי שאלות בכל אשכול. כל שאלה שווה 22 נקודות, ומותר לענות באופן מלא או חלקי על כמה שאלות שרוצים, אבל סך הנקודות לא יעלה על 100. חמש תשובות מלאות שוות 110 נקודות, כך שיש מרווח קטן לטעויות. השאלון אינו מפרט ניקוד לתת-סעיפים.

משך הבחינה שעתיים וחצי. מותרים מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות.

כאן פתורות כל שש השאלות. בכל שאלה מופיעים הנתונים, השלבים והנימוק לכל שלב, ובסופה הערה קצרה על המקום שבו נופלים.

אשכול חברה ומדע

שאלה 1, גדילה באחוז קבוע (22 נקודות)

הנתונים. בנמל תעופה בודקים דרכונים בשתי דרכים: בעמדה ממוחשבת או אצל עובדי הביטחון. בשנים 2010 עד 2016 מספר הנוסעים שנבדקו בעמדה הממוחשבת גדל בכל שנה באותו אחוז, ומספר הנוסעים שנבדקו אצל עובדי הביטחון לא השתנה.

בסרטוט שני גרפים. גרף I הוא קו אופקי בגובה 300,000. גרף II מתחיל בשנת 2010 בגובה 231,655, עולה בקו מעוקל, ופוגש את גרף I בשנת 2013.

סעיף א: איזה גרף מתאר את העמדה הממוחשבת

גודל שאינו משתנה מצויר כקו אופקי, ולכן גרף I מתאר את עובדי הביטחון. גודל שגדל בכל שנה באותו אחוז הולך וגדל, ובכל שנה הוא עולה ביותר, כי האחוז נלקח מכמות שכבר גדלה. לכן הגרף שלו עולה ומתעקל כלפי מעלה, וזה בדיוק גרף II.

גרף II מתאר את מספר הנוסעים שנבדקו בעמדה ממוחשבת.

סעיף ב: המספר ב-2013 ואחוז הגדילה

(1) נתון שבתחילת 2013 שני המספרים היו שווים. מספר הנוסעים אצל עובדי הביטחון קבוע, 300,000, וזה גם הגובה שבו שני הגרפים נפגשים.

בתחילת 2013 נבדקו בעמדה הממוחשבת 300,000 נוסעים.

(2) נסמן ב-q את הגורם שבו המספר מוכפל בכל שנה. מתחילת 2010 עד תחילת 2013 עברו 3 שנים, ולכן המספר ההתחלתי הוכפל ב-q שלוש פעמים:

231,655 × q³ = 300,000

q³ = 300,000 : 231,655 ≈ 1.29503

q = ∛1.29503 ≈ 1.09

בדיקה: 1.09³ = 1.295029, ו-231,655 × 1.295029 ≈ 300,000. מתאים.

גורם של 1.09 פירושו שבכל שנה המספר הוא 109% מן המספר של השנה הקודמת.

מספר הנוסעים שנבדקו בעמדה הממוחשבת גדל ב-9% בכל שנה.

סעיף ג: המספר בתחילת 2016

נוח להתחיל מתחילת 2013, שם המספר עגול, 300,000. עד תחילת 2016 עברו 3 שנים:

300,000 × 1.09³ = 300,000 × 1.295029 = 388,508.7

אפשר גם להתחיל מ-2010, עם 6 שנים: 231,655 × 1.09⁶ ≈ 388,508.6, אותה תוצאה עד כדי עיגול.

בתחילת 2016 נבדקו בעמדה הממוחשבת כ-388,509 נוסעים.

סעיף ד: מתי ההפרש היה 56,430

אצל עובדי הביטחון נבדקים תמיד 300,000 נוסעים. אם בעמדה הממוחשבת נבדקו 56,430 נוסעים יותר, אז נבדקו בה:

300,000 + 56,430 = 356,430

נסמן ב-t את מספר השנים מתחילת 2013, אז המספר היה 300,000:

300,000 × 1.09ᵗ = 356,430

1.09ᵗ = 356,430 : 300,000 = 1.1881

נבדוק חזקות של 1.09: 1.09¹ = 1.09, ו-1.09² = 1.1881. מצאנו. (מי שמעדיף יכול לפתור בלוגריתם: t = log 1.1881 : log 1.09 = 2.)

t = 2

כעבור שנתיים מתחילת 2013, כלומר בתחילת 2015.

איפה נופלים בשאלה 1. בסעיף ב(2): לחלק את 300,000 ב-231,655, לקבל 1.295, ולקבוע שהמספר גדל ב-29.5% בשנה. זו הגדילה בשלוש שנים, ולכן צריך שורש שלישי. בסעיף ד: להשוות את 300,000 × 1.09ᵗ ל-56,430 עצמו. 56,430 הוא ההפרש בין שני המספרים, לא המספר בעמדה הממוחשבת.

שאלה 2, הסתברות (22 נקודות)

הנתונים. ברשימה 72 שירים: 38 בעברית, 20 באנגלית, והשאר בספרדית. ענת בוחרת באקראי שיר אחד מכל הרשימה, ושקד בוחרת באקראי שיר אחד מכל הרשימה. שתיהן בוחרות מתוך כל 72 השירים, ולכן הבחירה של אחת אינה משפיעה על הבחירה של השנייה (הן יכולות אפילו לבחור אותו שיר).

קודם נמצא כמה שירים בספרדית:

72 − 38 − 20 = 14

כדאי לצמצם כבר עכשיו, כי 72 מתחלק ב-2, וכך נעבוד עם מכנה 36:

השפה	עברית	אנגלית	ספרדית	לא עברית
מספר השירים	38	20	14	34
ההסתברות	1936	1036	736	1736

בדיקה: 19 + 10 + 7 = 36. מתאים.

סעיף א: שיר בספרדית

P = 1472 = 736 ≈ 0.194

ההסתברות שענת בחרה שיר בספרדית היא 736, בערך 0.194.

סעיף ב: שתיהן בחרו שיר בעברית

שתי הבחירות בלתי תלויות, ולכן מכפילים:

P = 1936 × 1936 = 3611296 ≈ 0.279

ההסתברות היא 3611296, בערך 0.279.

סעיף ג: שתיהן בחרו שיר באותה השפה

"באותה השפה" יכול לקרות בשלוש דרכים זרות: שתיהן בעברית, שתיהן באנגלית, או שתיהן בספרדית. נחשב כל דרך ונחבר:

עברית ועברית: 1936 × 1936 = 3611296

אנגלית ואנגלית: 1036 × 1036 = 1001296

ספרדית וספרדית: 736 × 736 = 491296

P = 3611296 + 1001296 + 491296 = 5101296 = 85216 ≈ 0.394

ההסתברות היא 85216, בערך 0.394.

סעיף ד: בדיוק אחת מהן בחרה שיר בעברית

"בדיוק אחת" פירושו שאחת בחרה עברית והשנייה לא. יש לזה שתי דרכים, וחייבים לספור את שתיהן:

ענת עברית, שקד לא: 1936 × 1736 = 3231296

ענת לא, שקד עברית: 1736 × 1936 = 3231296

P = 3231296 + 3231296 = 6461296 = 323648 ≈ 0.498

ההסתברות היא 323648, בערך 0.498.

איפה נופלים בשאלה 2. בסעיף ד, בספירה של הסדר. מי שמחשב רק "ענת בעברית ושקד לא" מקבל חצי מן התשובה. "בדיוק אחת" לא אומר איזו מהן, ולכן שתי האפשרויות נספרות. ובסעיף ג, לא לשכוח את הספרדית: מספר השירים בספרדית לא כתוב בשאלה, וצריך לחשב אותו לבד.

אשכול התמצאות במישור ובמרחב

שאלה 3, משולשים דומים בחזית בית (22 נקודות)

הנתונים. חזית הבית היא המשולש שווה השוקיים ABC, ובו AB = AC. קורת התמיכה DE מקבילה לבסיס BC, הנקודה D על הצלע AB והנקודה E על הצלע AC.

סעיף א: מדוע המשולשים דומים

נשווה את הזוויות של המשולש הגדול ABC ושל המשולש הקטן ADE:

הזווית A משותפת לשני המשולשים.
DE ∥ BC, והצלע AB חותכת את שני הישרים. לכן ∢ADE = ∢ABC, כי אלה זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים.

יש בשני המשולשים שתי זוויות שוות בהתאמה, ולכן △ABC ∼ △ADE לפי משפט הדמיון ז.ז. (זווית, זווית).

ההתאמה בין הקודקודים: A מתאים ל-A, B מתאים ל-D, C מתאים ל-E. מכאן:

AB מתאימה ל-AD

AC מתאימה ל-AE

BC מתאימה ל-DE

סעיף ב: הצלע AB והיקף החזית

יחס הדמיון בין המשולש ABC למשולש ADE הוא 2, כלומר כל צלע במשולש הגדול ארוכה פי 2 מן הצלע המתאימה לה במשולש הקטן.

(1) הצלע AB מתאימה לצלע AD, שאורכה 5.2 מטרים:

AB = 2 × 5.2 = 10.4

אורך הצלע AB הוא 10.4 מטרים.

(2) המשולש ABC שווה שוקיים, ולכן גם AC = 10.4. הבסיס BC נתון, 8 מטרים:

P(ABC) = AB + AC + BC = 10.4 + 10.4 + 8 = 28.8

היקף חזית הבית הוא 28.8 מטרים.

סעיף ג: הקטע DG ושטח החלון

(1) הבסיס DE מתאים לבסיס BC, ולכן הוא קטן ממנו פי 2:

DE = 8 : 2 = 4

הנקודה G היא אמצע DE, ולכן:

DG = 4 : 2 = 2

אורך הקטע DG הוא 2 מטרים.

(2) החלון ממלא את המשולש ADE. כדי לחשב את השטח צריך בסיס וגובה. הבסיס DE ידוע, ונשאר למצוא את הגובה אליו.

במשולש שווה שוקיים, הקטע שיורד מן הראש אל אמצע הבסיס הוא גם הגובה לבסיס. לכן AG ⊥ DE, והמשולש ADG ישר זווית ב-G. היתר שלו הוא AD = 5.2, וניצב אחד הוא DG = 2. לפי משפט פיתגורס:

AG² + DG² = AD²

AG²= 5.2² − 2²AG²= 27.04 − 4 = 23.04

AG = √23.04 = 4.8

ועכשיו השטח:

S(ADE) = DE × AG : 2 = 4 × 4.8 : 2 = 9.6

שטח החלון הוא 9.6 מ"ר.

בדיקה קטנה: יחס השטחים של משולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון, 2² = 4. גובה המשולש הגדול הוא √10.4² − 4² = √92.16 = 9.6, ושטחו 8 × 9.6 : 2 = 38.4. אכן 38.4 : 9.6 = 4.

איפה נופלים בשאלה 3. בכיוון של יחס הדמיון. "היחס בין ABC ל-ADE הוא 2" אומר שהמשולש הגדול גדול פי 2, ולכן AB = 2 × 5.2, לא 5.2 : 2. ובסעיף ג(2): להכפיל את DE ב-AD ולחלק ב-2. הצלע AD היא שוק, לא גובה, וצריך למצוא את AG בפיתגורס.

שאלה 4, טריגונומטריה במשולש ישר זווית (22 נקודות)

הנתונים. החלון בנקודה A, והקיר AC מאונך לכביש BC, ולכן המשולש ABC ישר זווית ב-C. נתון AC = 12 מטרים. זרוע המנוף היא AB, והזווית שלה עם הכביש היא ∢ABC = 68°.

סעיף א: האורך BC

במשולש ABC ידועים הזווית B והניצב AC, שנמצא מול הזווית B. מחפשים את BC, הניצב שנמצא ליד הזווית B. שני ניצבים, ולכן טנגנס:

tan 68° = AC : BC

BC= 12 : tan 68°BC= 12 : 2.4751 ≈ 4.85

אורך BC הוא כ-4.85 מטרים.

סעיף ב: אורך זרוע המנוף AB

הזרוע AB היא היתר. הניצב AC נמצא מול הזווית B, ולכן סינוס:

sin 68° = AC : AB

AB= 12 : sin 68°AB= 12 : 0.9272 ≈ 12.94

אורך זרוע המנוף הוא כ-12.94 מטרים.

בדיקה בפיתגורס: 4.848² + 12² = 23.51 + 144 = 167.51, ו-√167.51 ≈ 12.94. מתאים.

סעיף ג: אחרי ההזזה לנקודה D

הנקודה D נמצאת על המשך הכביש, 2 מטרים מ-B, בצד הרחוק מן הבניין. לכן המרחק מ-D לבניין הוא:

DC = DB + BC = 2 + 4.848 = 6.848

המשולש ADC ישר זווית ב-C, ובו ידועים שני הניצבים: AC = 12 ו-DC ≈ 6.848.

(1) הניצב AC מול הזווית D, והניצב DC לידה. טנגנס:

tan ∢ADC = AC : DC = 12 : 6.848 ≈ 1.7523

∢ADC ≈ 60.3°

הזווית החדשה של זרוע המנוף היא כ-60.3°.

זה הגיוני: המנוף התרחק מן הבניין, ולכן הזרוע נוטה יותר, והזווית שלה עם הכביש קטנה מ-68°.

(2) האורך AD הוא היתר במשולש ADC. לפי משפט פיתגורס:

AD²= AC² + DC²AD²= 12² + 6.848²AD²= 144 + 46.90 = 190.90

AD ≈ 13.82

ההפרש בין שני האורכים:

AD − AB ≈ 13.817 − 12.942 ≈ 0.87

זרוע המנוף ארוכה יותר אחרי ההזזה בכ-0.87 מטר. (מי שמחסר את הערכים המעוגלים 13.82 ו-12.94 מקבל 0.88, וגם זו תשובה טובה. ההבדל נובע רק מן העיגול.)

איפה נופלים בשאלה 4. בסעיף ג: לקחת את DC כ-2 מטרים בלבד, כאילו D הוא המרחק מן הבניין. 2 מטרים הם רק המרחק מ-B, ולכן צריך להוסיף את BC. ועוד מלכודת: לעגל את BC ל-4.8 כבר בסעיף א ולהמשיך איתו. העיגול הגס מזיז את התשובה של ג(2) ל-0.85 בערך. כדאי להמשיך עם המספר המלא שבמחשבון.

אשכול פיננסי כלכלי

שאלה 5, ממוצע, חציון ודיאגרמת עיגול (22 נקודות)

הנתונים. מחירי חבילות הנופש בחמשת היעדים, בשקלים:

היעד	צפת	טבריה	ירושלים	תל אביב	אילת
המחיר	1,300	1,900	2,700	3,800	4,300

סעיף א: המחיר הממוצע של חמשת היעדים

נחבר את כל המחירים ונחלק במספר היעדים:

1,300 + 1,900 + 2,700 + 3,800 + 4,300 = 14,000

14,000 : 5 = 2,800

המחיר הממוצע הוא 2,800 שקלים.

סעיף ב: היעד הנוסף, ים המלח

(1) אחרי הוספת ים המלח יש 6 יעדים, והממוצע שלהם 2,700. ממוצע כפול מספר הערכים נותן את הסכום, ולכן סכום ששת המחירים הוא:

6 × 2,700 = 16,200

סכום חמשת המחירים הקודמים הוא 14,000, ומה שנשאר הוא המחיר של ים המלח:

16,200 − 14,000 = 2,200

חבילת נופש לים המלח עולה 2,200 שקלים.

(2) נסדר את ששת המחירים מן הקטן אל הגדול:

1,300 , 1,900 , 2,200 , 2,700 , 3,800 , 4,300

מספר הערכים זוגי, ולכן החציון הוא ממוצע שני הערכים האמצעיים, במקום השלישי ובמקום הרביעי:

(2,200 + 2,700) : 2 = 2,450

החציון הוא 2,450 שקלים.

סעיף ג: ההזמנה של גיא

גיא הזמין 80 חבילות לארבעה יעדים. בדיאגרמת העיגול: אילת 35%, ירושלים 20%, ולתל אביב ולצפת לא כתוב אחוז. נתון שמספר החבילות לתל אביב גדול פי 2 ממספר החבילות לצפת.

(1) כל הדיאגרמה היא 100%, ולכן תל אביב וצפת יחד הן:

100% − 35% − 20% = 45%

נסמן ב-x את האחוז של צפת. אז האחוז של תל אביב הוא 2x:

x + 2x = 45

3x = 45

x = 15

בדיקה: צפת 15%, תל אביב 30%, ו-35 + 20 + 30 + 15 = 100. מתאים.

15% מן החבילות שהזמין גיא היו לצפת.

(2) קודם נמצא כמה חבילות לצפת הזמין גיא:

80 × 0.15 = 12

כל חבילה לצפת עולה 1,300 שקלים, לפי הטבלה:

12 × 1,300 = 15,600

גיא שילם 15,600 שקלים בעבור החבילות לצפת.

איפה נופלים בשאלה 5. בסעיף ב(2): לחשב את החציון בלי לסדר קודם את המחירים. ים המלח נכנס באמצע הרשימה, בין טבריה לירושלים, ולא בסופה. ובסעיף ג(1): לחלק את 45% לשניים, 22.5% לכל יעד, ולשכוח שתל אביב גדולה פי 2.

שאלה 6, ביטויים ומשוואות קוויות (22 נקודות)

הנתונים. העלות החודשית של כל מטע בנויה מהוצאה קבועה ומהוצאה נוספת על כל דונם:

סוג המטע	הוצאה קבועה	הוצאה לכל דונם
אפרסקים	1,650	80
ענבים	1,200	130

סעיף א: אפרסקים במטע של 7 דונם

ההוצאה הקבועה משולמת פעם אחת, וההוצאה לדונם משולמת 7 פעמים:

1,650 + 80 × 7 = 1,650 + 560 = 2,210

העלות החודשית היא 2,210 שקלים.

סעיף ב: הביטויים

(1) בסעיף א ראינו את המבנה: הקבוע 1,650 נשאר כמו שהוא, ורק ה-80 מוכפל במספר הדונמים. כשמספר הדונמים הוא x, הביטוי הוא 1,650 + 80x. בביטוי II המספרים התחלפו: שם 1,650 משולם על כל דונם, וזה לא מה שנתון.

ביטוי I, 1,650 + 80x, מתאר את העלות החודשית של גידול אפרסקים.

(2) באותו אופן, לענבים: הוצאה קבועה של 1,200 ועוד 130 על כל דונם.

העלות החודשית של גידול ענבים היא 1,200 + 130x.

סעיף ג: מתי העלויות שוות

נשווה את שני הביטויים:

1,650 + 80x = 1,200 + 130x

1,650 − 1,200 = 130x − 80x

450 = 50x

x = 9

בדיקה: אפרסקים 1,650 + 720 = 2,370, ענבים 1,200 + 1,170 = 2,370. מתאים.

x = 9. במטע של 9 דונם העלות החודשית של שני הגידולים שווה, 2,370 שקלים.

סעיף ד: המטעים של עוזי

לעוזי שני מטעים, ובשניהם אותו מספר דונמים. נסמן אותו ב-x. העלות של שני המטעים יחד היא סכום שני הביטויים:

(1,650 + 80x) + (1,200 + 130x) = 6,210

2,850 + 210x = 6,210

210x = 3,360

x = 16

בדיקה: אפרסקים 1,650 + 80 × 16 = 2,930, ענבים 1,200 + 130 × 16 = 3,280, ויחד 2,930 + 3,280 = 6,210. מתאים.

במטע האפרסקים של עוזי 16 דונם.

איפה נופלים בשאלה 6. בסעיף ד: להשתמש ב-x = 9 מסעיף ג. סעיף ג שואל מתי העלויות שוות, וסעיף ד שואל על סכום העלויות. אלה שתי שאלות שונות, וכל אחת צריכה משוואה משלה. עוד מלכודת: לשכוח את אחת משתי ההוצאות הקבועות כשמחברים את שני הביטויים.

התשובות בקצרה

שאלה	סעיף	התשובה
1	א	גרף II
1	ב(1)	300,000 נוסעים
1	ב(2)	9% בשנה
1	ג	כ-388,509 נוסעים
1	ד	כעבור שנתיים, בתחילת 2015
2	א	736 ≈ 0.194
2	ב	3611296 ≈ 0.279
2	ג	85216 ≈ 0.394
2	ד	323648 ≈ 0.498
3	א	זווית A משותפת וזוויות מתאימות בין מקבילים שוות, דמיון לפי ז.ז.
3	ב(1)	AB = 10.4 מטרים
3	ב(2)	28.8 מטרים
3	ג(1)	DG = 2 מטרים
3	ג(2)	9.6 מ"ר
4	א	BC ≈ 4.85 מטרים
4	ב	AB ≈ 12.94 מטרים
4	ג(1)	∢ADC ≈ 60.3°
4	ג(2)	בכ-0.87 מטר
5	א	2,800 שקלים
5	ב(1)	2,200 שקלים
5	ב(2)	2,450 שקלים
5	ג(1)	15%
5	ג(2)	15,600 שקלים
6	א	2,210 שקלים
6	ב(1)	ביטוי I: 1,650 + 80x
6	ב(2)	1,200 + 130x
6	ג	x = 9
6	ד	16 דונם