מתמטיקה ב׳

לפני שמתחילים

זה השאלון השני של 3 יחידות לימוד בתוכנית החדשה. יש בו שש שאלות, מחולקות לשלושה אשכולות, שתי שאלות בכל אשכול. כל שאלה שווה 22 נקודות, ומותר לענות באופן מלא או חלקי על כמה שאלות שרוצים, אבל סך הנקודות לא יעלה על 100. חמש תשובות מלאות שוות 110 נקודות, כך שיש מקום לטעות קטנה פה ושם. השאלון אינו מפרט ניקוד לתת-סעיפים.

משך הבחינה שעתיים ורבע. מותרים מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות.

כאן פתורות כל שש השאלות. בכל שאלה מופיעים הנתונים, השלבים והנימוק לכל שלב, ובסופה הערה קצרה על המקום שבו נופלים.

אשכול חברה ומדע

שאלה 1, גדילה באחוז קבוע (22 נקודות)

הנתונים. באי טרופי מספר התוכים הירוקים גדל בכל שנה ב-8%. הגרף מתאר את מספר התוכים הירוקים מתחילת 2010, והוא חותך את ציר מספר התוכים בגובה 20,000. על הגרף מסומנת נקודה מעל השנה 2013, בלי ערך.

גדילה של 8% בשנה פירושה שבכל שנה המספר מוכפל ב-1.08: המספר החדש הוא 100% מן הישן ועוד 8%, כלומר 108% ממנו. נסמן q = 1.08.

סעיף א(1): בתחילת 2010

תחילת 2010 היא הנקודה שבה הגרף פוגש את ציר מספר התוכים, והערך שרשום שם הוא 20,000.

בתחילת 2010 היו באי 20,000 תוכים ירוקים.

סעיף א(2): בתחילת 2013

מתחילת 2010 עד תחילת 2013 עברו 3 שנים, ולכן המספר הוכפל ב-1.08 שלוש פעמים:

בתחילת 2013 היו באי בערך 25,194 תוכים ירוקים. (תוכים סופרים בשלמים, ולכן מעגלים.)

סעיף ב: מתי היו 29,387 תוכים

נמשיך להכפיל ב-1.08 משנה לשנה, ונעצור כשנגיע למספר המבוקש:

בתחילת 2015 המספר הוא 29,386.56, ואחרי עיגול זה בדיוק 29,387.

אפשר גם בלי טבלה: 29,387 : 20,000 = 1.46935, ומנסים חזקות של 1.08 עד שמגיעים לערך הזה. 1.08⁵ ≈ 1.46933, כלומר עברו 5 שנים מתחילת 2010.

בתחילת שנת 2015 היו באי 29,387 תוכים ירוקים.

סעיף ג(1): אחוז הגדילה של התוכים הכחולים

נתון שבתחילת 2010 מספר התוכים הכחולים היה שווה למספר הירוקים, כלומר 20,000. בתחילת 2012 היו 21,632. נסמן ב-q את הגורם שבו המספר מוכפל בכל שנה. בין 2010 ל-2012 עברו שנתיים, ולכן הכפלנו ב-q פעמיים:

(הגורם q חיובי, ולכן לוקחים רק את השורש החיובי.)

גורם של 1.04 פירושו שבכל שנה המספר הוא 104% מן המספר של השנה הקודמת.

מספר התוכים הכחולים גדל ב-4% בכל שנה.

סעיף ג(2): השלמת הטבלה

את 2010 כבר יודעים: 20,000. משם מכפילים ב-1.04 בכל שנה:

השורה של 2012 היא בדיקה מובנית: אם החישוב שלנו לא היה מחזיר בדיוק 21,632, היינו יודעים שטעינו בסעיף הקודם.

איפה נופלים בשאלה 1. שלוש מלכודות. הראשונה: להוסיף 8% "פעם אחת לכל התקופה", כלומר 20,000 + 3 × 1,600, במקום להכפיל ב-1.08 בכל שנה מחדש. השנייה: בסעיף ג(1) לחלק את 1.0816 ב-2 במקום להוציא שורש, ולקבל 0.54 שאין לו משמעות. השלישית: לשכוח שבתחילת 2010 מספר התוכים הכחולים נתון בעקיפין, דרך המשפט שהוא שווה למספר הירוקים, ולהשאיר את המשבצת של 2010 ריקה.

שאלה 2, הסתברות (22 נקודות)

הנתונים. בכל יום יש שלושה סוגי גלים: נמוכים, בינוניים או גבוהים. ההסתברות לגלים נמוכים היא 0.6, וההסתברות לגלים בינוניים היא 0.25. הימים אינם משפיעים זה על זה.

סעיף א: גלים גבוהים

בכל יום מתרחש בדיוק אחד משלושת הסוגים, ולכן סכום שלוש ההסתברויות הוא 1:

ההסתברות לגלים גבוהים היא 0.15.

נרשום את שלוש ההסתברויות במקום אחד, כי נשתמש בהן בכל הסעיפים:

סעיף ב(1): גלים נמוכים בשני הימים

שני הימים אינם משפיעים זה על זה, ולכן כדי ששניהם יהיו "נמוכים" מכפילים:

ההסתברות היא 0.36.

סעיף ב(2): אותו סוג גלים בשני הימים

"אותו סוג" יכול לקרות בשלוש דרכים: נמוכים ונמוכים, בינוניים ובינוניים, או גבוהים וגבוהים. נחשב כל דרך כמו בסעיף ב(1), ואז נחבר, כי הדרכים זרות זו לזו:

ההסתברות היא 0.445.

סעיף ג: הדר גולשת לפחות באחד הימים

הדר גולשת רק כשהגלים בינוניים או גבוהים, כלומר בכל יום שבו הגלים אינם נמוכים. "לפחות באחד משני הימים" כולל שלושה מצבים: רק ביום הראשון, רק ביום השני, או בשניהם. קל יותר לחשב את המצב ההפוך, שבו היא לא גולשת באף יום. זה קורה רק אם בשני הימים הגלים נמוכים, וההסתברות לכך כבר חושבה בסעיף ב(1):

אפשר לבדוק גם בדרך הישירה. ההסתברות לגלוש ביום מסוים היא 0.25 + 0.15 = 0.4:

ההסתברות שהדר תגלוש לפחות באחד משני הימים היא 0.64.

איפה נופלים בשאלה 2. בסעיף ב(2) רבים מסתפקים ב-0.36, כאילו "אותו סוג" פירושו רק נמוכים, ושוכחים את הבינוניים ואת הגבוהים. בסעיף ג המלכודת היא לחבר 0.4 + 0.4 = 0.8: החיבור הזה סופר פעמיים את המצב שבו הדר גולשת בשני הימים. הדרך הבטוחה היא המשלים, אחת פחות ההסתברות שלא תגלוש כלל.

אשכול התמצאות במישור ובמרחב

שאלה 3, משולשים שווי צלעות בתמרור (22 נקודות)

הנתונים. התמרור הוא משולש שווה צלעות ABC: הקודקוד A למעלה, B למטה משמאל ו-C למטה מימין. בתוכו מסורטט משולש שווה צלעות נוסף, DEF, שהקודקוד D שלו למעלה והצלע EF שלו מקבילה ל-BC. השטח שבין שני המשולשים צבוע באפור. AK הוא הגובה לצלע BC, והנקודה K נמצאת על BC.

סעיף א: מדוע המשולשים דומים

במשולש שווה צלעות כל הזוויות שוות זו לזו. סכום הזוויות במשולש הוא 180°, ולכן כל זווית היא 180° : 3 = 60°. זה נכון ל-ABC וזה נכון ל-DEF:

לשני המשולשים יש שתי זוויות שוות בהתאמה (למעשה שלוש), ולכן הם דומים לפי משפט הדמיון ז.ז. (זווית, זווית). ההתאמה בין הקודקודים: A ל-D, B ל-E, C ל-F.

סעיף ב(1): אורך הגובה AK

נתון שצלע המשולש ABC היא 72 ס"מ. במשולש שווה צלעות הגובה לצלע הוא גם תיכון, כלומר הוא חוצה את הצלע. לכן K היא אמצע BC:

במשולש ABK הזווית K ישרה, AB הוא היתר, ו-AK ו-BK הם הניצבים. לפי משפט פיתגורס:

(הערך המדויק הוא 36√3.)

אורך הגובה AK הוא כ-62.35 ס"מ.

אפשר גם בטריגונומטריה: AK = 72 × sin 60° ≈ 72 × 0.866 ≈ 62.35.

סעיף ב(2): שטח התמרור כולו

שטח משולש הוא צלע כפול הגובה אליה, חלקי 2:

שטח התמרור כולו הוא כ-2,244.7 סמ"ר.

(מי שמציב את AK המעוגל, 62.35, מקבל 2,244.6. ההפרש נובע מן העיגול בלבד. הערך המדויק הוא 1,296√3.)

סעיף ג(1): יחס הדמיון

נתון שצלע המשולש DEF היא 48 ס"מ. במשולשים שווי צלעות כל צלע מתאימה לכל צלע, ולכן:

יחס הדמיון בין המשולש ABC למשולש DEF הוא 3 : 2, כלומר k = 1.5. (אם מתחילים מן המשולש הקטן, היחס הוא 2 : 3.)

סעיף ג(2): שטח המשולש DEF

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון:

בדיקה בדרך אחרת, כמו בסעיף ב: הגובה במשולש DEF הוא √48² − 24² = √1,728 ≈ 41.57, ולכן השטח הוא 48 × 41.57 : 2 ≈ 997.7. אותה תוצאה.

שטח המשולש DEF הוא כ-997.7 סמ"ר. (הערך המדויק הוא 576√3.)

סעיף ד: השטח האפור

האזור האפור הוא מה שנשאר מן התמרור אחרי שמוציאים ממנו את המשולש הפנימי:

השטח שצבע אמיר באפור הוא כ-1,247.1 סמ"ר. (הערך המדויק הוא 720√3.)

איפה נופלים בשאלה 3. בסעיף ג(2), ביחס השטחים. מי שמחלק את שטח ABC ב-1.5 במקום ב-1.5² מקבל כ-1,496 סמ"ר, וזה שגוי: כשהצלעות גדלות פי 1.5, השטח גדל פי 2.25. ובסעיף ב(1) יש מי שמציב 72 בתור הניצב BK, במקום לזכור שהגובה חוצה את הצלע ולכן BK הוא רק 36.

שאלה 4, טריגונומטריה: הציפור על העץ (22 נקודות)

הנתונים. הקרקע מישורית. העץ ניצב בנקודה B, והציפור נמצאת עליו בנקודה C, כך ש-BC מאונך ל-AB. סמדר עומדת בנקודה A. נתון AC = 6 מטרים ו-∢CAB = 32°. בהמשך סמדר הולכת לנקודה D, שנמצאת על המשך הקטע AB מעבר לעץ, ונתון AD = 12 מטרים.

במשולש ABC הזווית B ישרה, ולכן AC, שמול הזווית הישרה, הוא היתר.

סעיף א: גובה הציפור, BC

הצלע BC היא הניצב שמול הזווית A, וידוע היתר. לכן נשתמש בסינוס:

הציפור עומדת בגובה של כ-3.18 מטרים מן הקרקע.

סעיף ב: המרחק בין סמדר לעץ, AB

הצלע AB היא הניצב שליד הזווית A, וידוע היתר. לכן נשתמש בקוסינוס:

המרחק בין סמדר לבין העץ הוא כ-5.09 מטרים.

בדיקה בפיתגורס: 3.18² + 5.09² ≈ 10.11 + 25.91 = 36.02, ו-6² = 36. מתאים, עד כדי עיגול.

סעיף ג: הזווית CDB

הנקודה D נמצאת על המשך AB, ולכן גם המשולש CBD ישר זווית ב-B. נחשב קודם את הניצב BD. הקטע AD מורכב מ-AB ומ-BD:

במשולש CBD ידועים עכשיו שני הניצבים. הצלע BC נמצאת מול הזווית D, והצלע BD נמצאת לידה, ולכן נשתמש בטנגנס:

גודל הזווית CDB הוא כ-24.7°.

כדאי לראות שהתוצאה הגיונית: D רחוקה מן העץ יותר מ-A (6.91 מטרים לעומת 5.09), ולכן מ-D רואים את הציפור בזווית נמוכה יותר, 24.7° לעומת 32°.

איפה נופלים בשאלה 4. בסעיף ג, בשתי דרכים. הראשונה: להציב AD = 12 בתור הניצב שליד הזווית D, כאילו המרחק מ-D לעץ הוא 12 מטרים. ה-12 נמדדים מ-A, וצריך להוריד מהם את AB. השנייה: להשתמש בסינוס או בקוסינוס במשולש CBD, אף שהיתר CD אינו ידוע. כשידועים שני הניצבים, הכלי הוא טנגנס.

אשכול פיננסי כלכלי

שאלה 5, ממוצע משוקלל: הכנסות המספרה (22 נקודות)

הנתונים. במספרה ארבעה סוגי תספורת. המחירים ומספר הלקוחות ביום מסוים:

"ממוצע ההכנסות" הוא ההכנסה הממוצעת מלקוח אחד: סך ההכנסות חלקי מספר הלקוחות.

סעיף א(1): מספר הלקוחות

ביום זה הסתפרו במספרה 45 לקוחות.

סעיף א(2): ממוצע ההכנסות

זה ממוצע משוקלל: כל מחיר נספר כמספר הלקוחות ששילמו אותו. נכפול כל מחיר במספר הלקוחות שלו ונחבר:

זה סך ההכנסות ביום זה. נחלק במספר הלקוחות:

ממוצע ההכנסות של המספרה ביום זה הוא כ-159.33 שקלים ללקוח (בדיוק 159⅓).

סעיף ב: הממוצע הגדול ביותר האפשרי

אחרי שלושת הלקוחות הנוספים יהיו 48 לקוחות, ומספר זה קבוע, מה שלא יבחרו. כדי שהממוצע יהיה גדול ככל האפשר, סך ההכנסות צריך להיות גדול ככל האפשר, ולכן כל אחד מהם צריך לבחור בתספורת היקרה ביותר, המיוחדת, ב-210 שקלים:

ממוצע ההכנסות הגדול ביותר האפשרי הוא 162.5 שקלים.

סעיף ג: שלושה היגדים

נתון ששלושת הלקוחות בחרו באותה תספורת, ושאחרי שהם שילמו הממוצע ירד.

הכלל שמכריע כאן: כשמוסיפים ערכים שקטנים מן הממוצע, הממוצע יורד. כשמוסיפים ערכים שגדולים מן הממוצע, הוא עולה. לכן בכל היגד נשווה את המחיר ששילם כל לקוח לממוצע הנוכחי, 159.33 שקלים, ונוודא בחישוב.

היגד I: תספורת שיער קצר. כל לקוח שילם 150 שקלים, פחות מ-159.33:

הממוצע ירד מ-159.33 ל-158.75. ההיגד ייתכן.

היגד II: שיער ארוך בהנחה של 15 שקלים. כל לקוח שילם 180 − 15 = 165 שקלים, יותר מ-159.33:

הממוצע עלה מ-159.33 לכ-159.69, ואילו נתון שהוא ירד. ההיגד לא ייתכן.

היגד III: תספורת מיוחדת בהנחה של 35%. אחרי הנחה של 35% משלמים 65% מן המחיר:

כל לקוח שילם 136.5 שקלים, פחות מ-159.33:

הממוצע ירד מ-159.33 לכ-157.91. ההיגד ייתכן.

איפה נופלים בשאלה 5. בסעיף א(2), בממוצע לא משוקלל: לחבר את ארבעת המחירים ולחלק ב-4, ולקבל 150, כאילו לכל סוג תספורת היה אותו מספר לקוחות. ובהיגד II, לבדוק רק שהמחיר המלא, 180, גדול מן הממוצע, ולשכוח את ההנחה. כאן ההנחה לא שינתה את המסקנה, אבל בהיגד III היא שינתה: 210 גדול מן הממוצע, ו-136.5 קטן ממנו.

שאלה 6, פונקציות קוויות: מתן ורועי (22 נקודות)

הנתונים. בסוף חופשת הקיץ היו למתן 1,440 שקלים ולרועי 540 שקלים. מתן משלם 120 שקלים בכל חודש על חוג כדורסל, מתוך הכסף שיש לו. רועי אינו נוגע בכסף שלו, ובכל חודש הוא חוסך עוד 60 שקלים.

סעיף א(1): הכסף של מתן כעבור 4 חודשים

בכל חודש יורדים מן הסכום של מתן 120 שקלים:

כעבור 4 חודשים היו למתן 960 שקלים.

סעיף א(2): כמה חודשים יכול מתן להשתתף בחוג

מתן יכול להמשיך לשלם עד שהכסף שלו נגמר. נבדוק כמה פעמים 120 נכנס ב-1,440:

מתן יכול להשתתף בחוג הכדורסל 12 חודשים. בסוף החודש ה-12 לא נשאר לו כסף.

סעיף ב: בחירת הביטויים

(1) הסכום של מתן מתחיל ב-1,440 וקטן ב-120 בכל חודש. ביטוי I, 1,440 + 120x, גדל עם הזמן, ולכן הוא אינו מתאים. הביטוי המתאים הוא:

ביטוי IV: 1,440 − 120x.

בדיקה: x = 4 נותן 1,440 − 480 = 960, כמו בסעיף א(1).

(2) הסכום של רועי מתחיל ב-540 וגדל ב-60 בכל חודש. בביטוי II, 540x + 60, הסכום בהתחלה (x = 0) הוא 60 ולא 540, ולכן הוא אינו מתאים. הביטוי המתאים הוא:

ביטוי III: 540 + 60x.

סעיף ג: מתי הסכומים שווים

נשווה את שני הביטויים:

בדיקה: למתן 1,440 − 120 × 5 = 840, ולרועי 540 + 60 × 5 = 840. שווה.

כעבור 5 חודשים מסוף חופשת הקיץ היה למתן ולרועי אותו הסכום, 840 שקלים.

סעיף ד: השלמת המלבנים בגרף

בסרטוט שלושה מלבנים ריקים:

• המלבן על ציר הסכום, בגובה נקודת החיתוך של שני הגרפים: זה הסכום המשותף מסעיף ג, 840.
• המלבן השמאלי על ציר הזמן, מתחת לנקודת החיתוך: זה הזמן מסעיף ג, 5.
• המלבן הימני על ציר הזמן, במקום שבו הגרף היורד פוגש את הציר: הגרף היורד הוא של מתן, והוא פוגש את ציר הזמן כשהכסף שלו נגמר. לפי סעיף א(2) זה 12.

איפה נופלים בשאלה 6. בסעיף ב, בבלבול בין המספר ההתחלתי לבין השינוי החודשי. בביטוי II שני המספרים של רועי נמצאים, אבל במקומות הפוכים. כדאי להציב x = 0 בכל ביטוי: התוצאה חייבת להיות הסכום שהיה בסוף החופשה. ובסעיף ד, לכתוב 840 מתחת לנקודת החיתוך על ציר הזמן, במקום על ציר הסכום.

התשובות בקצרה