נדב כץ
נדב כץ · בית הספר לשיעורים פרטיים ולקורסים
לדף הבחינה

הפתרון המלא · נדב כץ

מתמטיקה ג׳

שאלון 35372 · קיץ, מועד א׳ · תשפ״ד · 2024

שאלה אחרי שאלה, שלב אחרי שלב, עם הנמקה לכל שלב. אפשר לקפוץ ישר לשאלה שבחרתם.

לדף הבחינה ולשאלון עצמולתשובות הסופיות בלבד

קיץ תשפ"ד 2024, מועד א. פתרון מלא

בשאלון שש שאלות בשני פרקים, ויש לענות על ארבע שאלות לפי בחירה. כל שאלה שווה 28 נקודות, וסך הנקודות אינו עולה על 100. השאלון אינו מפרט כמה נקודות יש בכל תת־סעיף, ולכן גם אנחנו לא ננחש חלוקה כזאת. משך הבחינה שעתיים וחצי, ומותר מחשבון לא גרפי ודף נוסחאות.

כאן פתורות כל שש השאלות, כדי שכל תלמיד ימצא את השאלות שבחר.

שאלה 1 (28 נקודות): גאומטרייה אנליטית

הנתונים בקצרה. משולש ABC שווה שוקיים, ובו AB = AC. הישר AE הוא הגובה לבסיס BC. הקודקוד C נמצא על ציר ה־x. נתון גם:

A(4 , 14) , E(0 , 2)

בסעיפים האחרונים מעבירים דרך B ישר המקביל לגובה AE, והוא חותך את ציר ה־y בנקודה F.

סעיף א(1): השיפוע של AE

שיפוע של ישר שעובר בשתי נקודות הוא הפרש שיעורי ה־y חלקי הפרש שיעורי ה־x:

m(AE) = (14 − 2) / (4 − 0) = 124 = 3

התשובה: השיפוע של AE הוא 3.

סעיף א(2): משוואת הישר BC

הישר BC הוא הבסיס, ו־AE הוא הגובה אליו, כלומר AE מאונך ל־BC. כששני ישרים מאונכים, מכפלת השיפועים שלהם היא (−1):

m(BC) = −1 / m(AE) = −13

הישר BC עובר בנקודה E(0 , 2). מכיוון ש־E נמצאת על ציר ה־y, השיעור 2 הוא ממש נקודת החיתוך עם ציר ה־y:

y = −(13)x + 2

התשובה: משוואת BC היא y = −(13)x + 2.

אפשר כמובן להציב ולוודא: עבור x = 0 מתקבל y = 2, כלומר הישר אכן עובר ב־E.

סעיף ב: שיעורי הקודקוד C

נתון ש־C על ציר ה־x, ולכן שיעור ה־y שלה הוא 0. נציב במשוואת BC:

0 = −(13)x + 2 → (13)x = 2 → x = 6

התשובה: C(6 , 0).

סעיף ג: שיעורי הקודקוד B

כאן נמצא הרעיון של השאלה. במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם התיכון לבסיס, ולכן E היא אמצע הקטע BC. לפי נוסחת אמצע קטע:

E = ( (x(B) + x(C)) / 2 , (y(B) + y(C)) / 2 )

נציב את E(0 , 2) ואת C(6 , 0):

0= (x(B) + 6) / 2 → x(B) = −62= (y(B) + 0) / 2 → y(B) = 4

התשובה: B(−6 , 4).

בדיקה שכדאי לעשות בעצמכם: המשולש אמור להיות שווה שוקיים.

AB= √(4 − (−6))² + (14 − 4)² = √100 + 100 = √200AC= √(4 − 6)² + (14 − 0)² = √4 + 196 = √200

השוקיים אכן שוות, ולכן הפתרון עומד בתנאי השאלה.

סעיף ד: משוואת הישר BF

הישר BF מקביל ל־AE, ולישרים מקבילים יש שיפוע שווה, ולכן השיפוע של BF הוא 3. הישר עובר ב־B(−6 , 4). נשתמש במשוואת ישר דרך נקודה:

y − 4= 3·(x − (−6))y − 4= 3x + 18
y = 3x + 22

התשובה: משוואת BF היא y = 3x + 22.

מכאן גם מקבלים את F: הישר חותך את ציר ה־y כאשר x = 0, ולכן F(0 , 22).

סעיף ה: היקף המשולש FBE

לפני החישוב כדאי לעצור ולהסתכל בצורה. הישר BF מקביל ל־AE, והישר AE מאונך ל־BC. ישר המאונך לאחד משני ישרים מקבילים מאונך גם לשני, ולכן BF מאונך ל־BE. כלומר הזווית ב־B היא זווית ישרה, ו־FE הוא היתר.

נחשב את שלוש הצלעות:

FB= √(0 − (−6))² + (22 − 4)² = √36 + 324 = √360 = 6√10BE= √(0 − (−6))² + (2 − 4)² = √36 + 4 = √40 = 2√10FE= 22 − 2 = 20

הצלע FE קצרה לחישוב משום ששתי הנקודות יושבות על ציר ה־y, ולכן המרחק ביניהן הוא הפרש שיעורי ה־y.

בדיקה יפה לפי משפט פיתגורס: 360 + 40 = 400 = 20².

ההיקף:

P = 20 + 6√10 + 2√10 = 20 + 8√10 ≈ 45.3

התשובה: היקף המשולש FBE הוא 20 + 8√10, כלומר כ־45.3 יחידות אורך.

איפה נופלים כאן. תלמידים רבים מחפשים את B בעזרת המרחק AB = AC ופותרים משוואה ריבועית. הדרך הזאת עובדת, אבל היא ארוכה ומזמינה טעויות. הדרך הקצרה היא לזכור שבמשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם התיכון, ואז B מתקבלת ישר מנוסחת אמצע קטע.

שאלה 2 (28 נקודות): תכנון ליניארי

הנתונים בקצרה. בחנות מוכרים שני סוגי מארזים. מארז א' בנוי מ־12 סבונים ומ־3 קרמים, ומארז ב' בנוי מ־8 סבונים ומ־6 קרמים. בכל יום עומדים לרשות החנות 240 סבונים לכל היותר ו־132 קרמים לכל היותר. הרווח ממארז א' הוא 25 שקלים, וממארז ב' 20 שקלים. מסמנים ב־x את מספר המארזים מסוג א' וב־y את מספר המארזים מסוג ב'.

סעיף א: מערכת האילוצים

סופרים בנפרד כל חומר גלם. הסבונים: כל מארז א' לוקח 12 סבונים וכל מארז ב' לוקח 8 סבונים, ואין יותר מ־240. הקרמים: 3 בכל מארז א' ו־6 בכל מארז ב', ואין יותר מ־132. לזה מוסיפים שמספר מארזים אינו יכול להיות שלילי:

12x + 8y≤ 2403x + 6y≤ 132
x≥ 0y≥ 0

השורה הראשונה היא אילוץ הסבונים, השורה השנייה היא אילוץ הקרמים, ושתי האחרונות אומרות שמספר מארזים אינו שלילי.

נוח לצמצם, וזה גם מה שנשתמש בו בהמשך:

3x + 2y≤ 60x + 2y≤ 44

סעיף ב: פונקציית המטרה

P = 25x + 20y

ויש למצוא את הערך המרבי שלה.

סעיף ג: איזה סרטוט מתאר את התחום האפשרי

נמצא את נקודות הקצה של שני הישרים:

הישרחיתוך עם ציר ה־yחיתוך עם ציר ה־xאיך הוא נראה
3x + 2y = 60(0 , 30)(20 , 0)תלול
x + 2y = 44(0 , 22)(44 , 0)מתון

שני האילוצים הם "קטן או שווה", ולכן התחום נמצא מתחת לשני הישרים, ושני האילוצים x ≥ 0 ו־y ≥ 0 כולאים אותו ברביע הראשון. התחום המתקבל נשען על שני הצירים, ופינתו העליונה היא (0 , 22), פינתו הימנית (20 , 0), וביניהן נקודת המפגש של שני הישרים.

התשובה: סרטוט 1.

סעיף ד: כמה מארזים מכל סוג

הערך המרבי של פונקציית המטרה מתקבל תמיד באחד מקודקודי התחום, ולכן נבדוק את כולם. תחילה נמצא את נקודת המפגש של שני הישרים. נחסר את המשוואה השנייה מן הראשונה:

(3x + 2y) − (x + 2y) = 60 − 44
2x = 16 → x = 8
8 + 2y = 44 → y = 18

הקודקודים והרווח בכל אחד מהם:

הקודקודהרווח P = 25x + 20y
(0 , 0)0
(20 , 0)500
(0 , 22)440
(8 , 18)560

כדאי לוודא שהנקודה (8 , 18) באמת חוקית: הסבונים 12·8 + 8·18 = 240, בדיוק המלאי. הקרמים 3·8 + 6·18 = 132, בדיוק המלאי.

התשובה: צריך למכור 8 מארזים מסוג א' ו־18 מארזים מסוג ב'. הרווח המרבי הוא 560 שקלים.

סעיף ה: כשמחליטים לארוז 132 קרמים לפחות

עכשיו האילוץ של הקרמים מתהפך, והאילוץ של הסבונים נשאר כשהיה:

3x + 6y≥ 1323x + 2y≤ 60

ואחרי צמצום השורה הראשונה:

x + 2y ≥ 44

התחום החדש נמצא מעל הישר המתון ומתחת לישר התלול, וגם x ≥ 0. זהו משולש קטן שנשען על ציר ה־y בין (0 , 22) ל־(0 , 30), וקודקודו השלישי הוא (8 , 18).

התשובה: סרטוט 3.

איפה נופלים כאן. ההבדל בין סעיף ג לסעיף ה הוא רק בכיוון של אי השוויון האחד. כדאי לקחת נקודת ניסיון, למשל (0 , 0), ולבדוק אם היא מקיימת את האילוץ. בסעיף ג היא כן שייכת לתחום, ובסעיף ה היא לא, שהרי 0 + 0 אינו גדול מ־44.

שאלה 3 (28 נקודות): התפלגות נורמלית

הנתונים בקצרה. משקל הביצים מתפלג נורמלית, הממוצע 58 גרם, ומשקלן של 31% מן הביצים קטן מ־53 גרם. ביצה קטנה משקלה פחות מ־53 גרם, ביצה בינונית בין 53 ל־63 גרם, וכל השאר גדולות.

הגרף שבדף הנוסחאות מחלק את ההתפלגות לרצועות של חצי סטיית תקן, ואלה האחוזים בהן, משמאל לימין: 0.5, 1.5, 5, 9, 15, 19, 19, 15, 9, 5, 1.5, 0.5.

סעיף א: סטיית התקן

נצבור את האחוזים מן הקצה השמאלי של הגרף ונראה היכן מגיעים ל־31%:

0.5 + 1.5 + 5 + 9 + 15 = 31

חמש הרצועות האלה מסתיימות ב־z = −0.5, ולכן המשקל 53 גרם הוא בדיוק חצי סטיית תקן מתחת לממוצע. נציב בנוסחת ציון התקן:

z = (x − μ) / σ
−0.5 = (53 − 58) / σ → −0.5σ = −5 → σ = 10

התשובה: סטיית התקן היא 10 גרם.

סעיף ב: אחוז הביצים הבינוניות

נתרגם את שני הגבולות לציוני תקן:

z(53)= (53 − 58) / 10 = −0.5z(63)= (63 − 58) / 10 = 0.5

בין (−0.5) ל־0.5 יש בגרף שתי רצועות, ובכל אחת 19%:

19 + 19 = 38

התשובה: 38% מן הביצים הן בינוניות.

סעיף ג(1): כמה ביצים היו בלול

1,824 ביצים בינוניות הן 38% מכלל הביצים. נסמן ב־N את המספר הכולל:

0.38·N = 1824 → N = 1824 / 0.38 = 4800

התשובה: 4,800 ביצים.

סעיף ג(2): בכמה תבניות נארזו הביצים הגדולות

ביצה גדולה היא ביצה שמשקלה מעל 63 גרם, כלומר z גדול מ־0.5. נסכום את הרצועות שמימין ל־0.5:

15 + 9 + 5 + 1.5 + 0.5 = 31

(אפשר גם לקצר: הגרף סימטרי, ומתחת ל־(−0.5) ראינו 31%, ולכן מעל 0.5 יש אותו אחוז.)

מספר הביצים הגדולות, ואחריו מספר התבניות:

0.31 · 4800 = 1488
1488 / 12 = 124

התשובה: 124 תבניות.

סעיף ד: ביצה שציון התקן שלה 0.2

נחזיר את ציון התקן למשקל:

x = μ + z·σ = 58 + 0.2·10 = 60

המשקל 60 גרם נמצא בין 53 ל־63.

התשובה: הביצה נחשבת ביצה בינונית, משום שמשקלה 60 גרם, והוא בתחום הביצים הבינוניות.

איפה נופלים כאן. סעיף ג(2) מפתה לחשב 1488 חלקי 12 ולעגל למטה, אבל כאן החלוקה יוצאת שלמה בדיוק, ואין צורך בעיגול. אם קיבלתם מספר שאינו שלם, סימן שהאחוז של הביצים הגדולות חושב על פי גבול לא נכון בגרף.

שאלה 4 (28 נקודות): מודל ריבועי

הנתונים בקצרה. הפונקצייה

y = x² − 8x + 17

מתארת את כמות המוצרים במפעל, במיליונים, לפי הזמן x בשנים מתחילת התקופה.

סעיף א: הכמות בתחילת התקופה

תחילת התקופה היא x = 0, כלומר נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה־y:

y(0) = 0 − 0 + 17 = 17

התשובה: 17 מיליון מוצרים.

סעיף ב: הכמות כעבור 7 שנים

y(7) = 7² − 8·7 + 17 = 49 − 56 + 17 = 10

התשובה: 10 מיליון מוצרים.

סעיף ג: מתי הכמות הייתה הקטנה ביותר

מקדם ה־x² חיובי, ולכן הפרבולה פונה כלפי מעלה ולקדקוד שלה יש ערך מינימלי. שיעור ה־x של הקדקוד:

x = −b / (2a) = −(−8) / (2·1) = 4

התשובה: כעבור 4 שנים. (הכמות אז היא y(4) = 16 − 32 + 17 = 1, כלומר מיליון מוצרים.)

סעיף ד: מתי ייצרו 2 מיליון מוצרים

נשווה את הפונקצייה ל־2 ונפתור:

x² − 8x + 17= 2x² − 8x + 15= 0
(x − 3)(x − 5) = 0
x₁ = 3 , x₂ = 5

שני הפתרונות חיוביים ושניהם בתוך התקופה, ולכן שניהם מתאימים.

התשובה: כעבור 3 שנים וכעבור 5 שנים.

למה שתי תשובות. הגרף יורד עד לשנה הרביעית ואחר כך עולה, ולכן הוא חוצה את הגובה 2 פעמיים: פעם אחת בדרך למטה ופעם אחת בדרך חזרה למעלה.

שאלה 5 (28 נקודות): גופים במרחב

הנתונים בקצרה. ממתק שוקולד בצורת פירמידה ישרה SABCD שבסיסה ריבוע ABCD. צלע הבסיס 4 ס"מ, וגובה הפירמידה SO הוא 3.75 ס"מ. הנקודה F היא אמצע צלע הבסיס, והקטע SF הוא גובה הפאה הצדדית.

סעיף א: נפח הפירמידה

נפח פירמידה הוא שליש ממכפלת שטח הבסיס בגובה. שטח הבסיס הוא שטח ריבוע שצלעו 4:

V = (13)·4²·3.75 = (13)·16·3.75 = 20

התשובה: 20 סמ"ק.

סעיף ב(1): גובה הפאה הצדדית SF

נסתכל במשולש SOF. הנקודה O היא מרכז הריבוע, והנקודה F היא אמצע צלע הבסיס, ולכן OF הוא מחצית צלע הבסיס:

OF = 4 / 2 = 2

בפירמידה ישרה הגובה SO מאונך לבסיס, ולכן המשולש SOF ישר זווית ב־O. לפי משפט פיתגורס:

SF = √SO² + OF² = √3.75² + 2² = √14.0625 + 4 = √18.0625 = 4.25

התשובה: SF = 4.25 ס"מ.

סעיף ב(2): שטח המדבקה

המדבקה מכסה בדיוק פאה צדדית אחת, והפאה היא משולש שבסיסו צלע הבסיס והגובה אליו הוא SF:

S = (4 · 4.25) / 2 = 8.5

התשובה: 8.5 סמ"ר.

סעיף ג: נפח הממתק בצורת חרוט

רדיוס הבסיס שווה למחצית צלע בסיס הפירמידה, והגובה שווה לגובה הפירמידה:

r= 4 / 2 = 2 , h = 3.75V= (13)·π·r²·h = (13)·π·4·3.75 = 5π ≈ 15.71

התשובה: 5π סמ"ק, כלומר כ־15.71 סמ"ק.

סעיף ד: כמה מארזים אפשר להכין

בכל מארז שתי פירמידות וחרוט אחד, ולכן נפח המארז הוא:

2·20 + 5π = 40 + 5π ≈ 55.71

כמה מארזים כאלה נכנסים ב־170 סמ"ק שוקולד:

170 / 55.71 ≈ 3.05

מארז חלקי אי אפשר להכין, ולכן מעגלים כלפי מטה. בדיקה: ארבעה מארזים היו דורשים כ־222.8 סמ"ק שוקולד, ולרינה אין כמות כזאת.

התשובה: אפשר להכין 3 מארזים לכל היותר.

איפה נופלים כאן. אל תעגלו את 5π ל־15.7 בתחילת החישוב ואז שוב בסופו. עבדו עם π עד השורה האחרונה. ובסעיף הזה העיגול הוא תמיד כלפי מטה, כי מארז שאין לו מספיק שוקולד פשוט אינו קיים.

שאלה 6 (28 נקודות): ראייה מרחבית

הנתונים בקצרה. מבנה בנוי מקוביות זהות, כל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת, והחץ שבסרטוט מסמן את כיוון המבט מלפנים. לצד המבנה מודפס תרשים של אחד המבטים: ריבוע של שלוש על שלוש שבו כל המשבצות צבועות חוץ מן המשבצת השמאלית העליונה.

הדבר הראשון שעושים: מתרגמים את הסרטוט למפת גבהים, כלומר כמה קוביות יש בכל עמודה. מסתכלים על המבנה מלמעלה, שורת החזית למטה (הכיוון שהחץ מצביע אליו):

שמאלאמצעימין
שורה אחורית333
שורה אמצעית232
שורת החזית121

סך הכול 3+3+3+2+3+2+1+2+1 = 20 קוביות. המבנה יושב בתוך תיבה שאורכה שלוש קוביות, רוחבה שלוש קוביות וגובהה שלוש קוביות.

סעיף א: איזה מבט התרשים מתאר

בכל מבט רואים בכל עמודה את הקובייה הגבוהה ביותר שבאותו כיוון, ולכן מספיק לקחת את המקסימום בכל טור או בכל שורה של מפת הגבהים:

רק מבט אחד מתאים לתרשים המודפס.

התשובה: התרשים מתאר את המבט מימין.

סעיף ב: השלמת המבט משמאל

לפי החישוב שלמעלה, במבט משמאל הגבהים משמאל לימין הם 3, 3, 2:

שורהשמאלאמצעימין
עליונהצבועהצבועהריקה
אמצעיתצבועהצבועהצבועה
תחתונהצבועהצבועהצבועה

התשובה: צובעים שמונה משבצות, ומשאירים ריקה רק את המשבצת הימנית העליונה.

שימו לב שהמבט משמאל והמבט מימין הם תמונת ראי זה של זה, וזו בדיקה טובה שאפשר לעשות לעצמכם.

סעיף ג: תרשים המספרים

תרשים מספרים הוא המבט מלמעלה, ובכל משבצת רשום כמה קוביות יש באותה עמודה. זו בדיוק מפת הגבהים שבנינו בהתחלה:

3 3 3
2 3 2
1 2 1

השורה העליונה בתרשים היא השורה האחורית של המבנה, והשורה התחתונה היא שורת החזית, הצד שהחץ מצביע אליו.

סעיף ד: כמה קוביות הוסיפו

מוסיפים קוביות מעל הקוביות הקיימות עד שמתקבלת קובייה שלמה. המבנה תופס שלוש קוביות בכל אחד משלושת הכיוונים, ולכן הקובייה השלמה היא 3×3×3:

מספר הקוביות
בקובייה השלמה3³ = 27
במבנה הנתון20
שהוסיפו27 − 20 = 7

התשובה: הוסיפו 7 קוביות.

איפה נופלים כאן. קל לספור רק את הקוביות שרואים בסרטוט ולשכוח את הקוביות שמסתתרות מאחורי המדרגות. לכן עדיף לעבור דרך מפת הגבהים: בשביל כל אחת מתשע העמודות שואלים כמה קוביות יש בה, ורק אז מחברים.