לפני שמתחילים
השאלון בנוי משני פרקים ובהם שש שאלות. עונים על ארבע שאלות בלבד, וכל שאלה שווה 28 נקודות. השאלון אינו מפרט ניקוד לתת-סעיפים, והוא מוסיף כלל שכדאי לזכור: סך הנקודות לא יעלה על 100. אם נענה על יותר מארבע שאלות, ייבדקו רק ארבע התשובות הראשונות שבמחברת.
משך הבחינה שעתיים וחצי. מותרים מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות.
כאן פתורות כל שש השאלות, כדי שכל בחירה אפשרית של תלמיד תהיה מכוסה. בכל שאלה מופיעים הנתונים, השלבים והנימוק לכל שלב, ובסופה הערה קצרה על המקום שבו נופלים.
פרק ראשון, אשכול פיננסי כלכלי
שאלה 1, גאומטריה אנליטית (28 נקודות)
הנתונים. במרובע ADEB הקודקוד A נמצא על ציר ה-x, והקודקודים D ו-E נמצאים על ציר ה-y. הצלע AD מאונכת לצלע AB, ומשוואת הישר AD היא y = −2x + 4. בהמשך נתון גם כי BE מקבילה לציר ה-x, וכי E(0 , 9).
סעיף א: הקודקודים A ו-D
שני הקודקודים יושבים על הישר AD, ולכן שניהם מקיימים את המשוואה שלו. מה שמבדיל ביניהם הוא הציר שעליו הם נמצאים, וכל ציר קובע מראש אחד משני השיעורים.
הקודקוד A על ציר ה-x, ולכן שיעור ה-y שלו הוא 0:
מכאן A(2 , 0).
הקודקוד D על ציר ה-y, ולכן שיעור ה-x שלו הוא 0:
מכאן D(0 , 4).
סעיף ב: משוואת הישר AB
נתון ש-AD מאונכת ל-AB. מכפלת השיפועים של שני ישרים מאונכים היא מינוס 1, ושיפוע AD הוא מינוס 2, ולכן:
הישר AB עובר דרך A(2 , 0), ונציב כדי למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה-y:
משוואת הישר AB היא y = 0.5x − 1.
סעיף ג: הקודקוד B
הצלע BE מקבילה לציר ה-x, ולכן לכל נקודה עליה אותו שיעור y. הנקודה E היא (0 , 9), ולכן גם שיעור ה-y של B הוא 9. הקודקוד B נמצא על הישר AB, ונציב:
מכאן B(20 , 9).
סעיף ד: הישר EF והנקודה F
(1) הישר עובר דרך E(0 , 9), ולכן הוא חותך את ציר ה-y בגובה 9, וזה בדיוק המספר החופשי במשוואה. השיפוע נתון, מינוס שליש, ולכן
y = −⅓x + 9.
(2) הנקודה F היא נקודת החיתוך של EF עם הצלע AB, ולכן היא מקיימת את שתי המשוואות. נשווה:
נכפול את שני האגפים ב-6 כדי להיפטר מן השבר:
ונציב במשוואת AB כדי לקבל את שיעור ה-y:
מכאן F(12 , 5).
סעיף ה: שטח המשולש EBF
שני קודקודים של המשולש, E(0 , 9) ו-B(20 , 9), נמצאים על אותו ישר אופקי. נוח לקחת את EB כבסיס, כי אז אורכו הוא הפרש שיעורי ה-x, והגובה אליו הוא הפרש שיעורי ה-y בין הישר הזה לבין F:
שטח המשולש EBF הוא 40 יחידות שטח.
איפה נופלים בשאלה 1. שתי מלכודות. הראשונה: לחשב את שיפוע AB בתור מינוס 2 במקום 0.5, כלומר להעתיק את השיפוע של הישר המאונך במקום להפוך אותו ולשנות את סימנו. השנייה: בסעיף ה לחפש את הגובה בעזרת נוסחת מרחק בין נקודות, במקום להבחין שהבסיס אופקי ולכן הגובה הוא הפרש שיעורי ה-y בלבד.
שאלה 2, תכנון לינארי (28 נקודות)
הנתונים. מפעל מייצר x סוכריות ו-y מסטיקים בדקה. משוואת הישר BC היא y = x + 4, משוואת הישר AC היא y = −0.5x + 13, הנקודות A ו-B נמצאות על ציר ה-y, והתחום האפשרי הוא המשולש האפור שבסרטוט.
תחילה נמצא את שלושת הקודקודים של התחום, כי הם ישמשו אותנו בכל הסעיפים.
A ו-B נמצאות על ציר ה-y, ולכן נציב x = 0 בכל אחת מן המשוואות:
הנקודה C היא חיתוך שני הישרים:
סעיף א: איזו מערכת אילוצים מתאימה
נבחר נקודה שבוודאות נמצאת בתוך התחום האפור, למשל מרכז הכובד של המשולש, שהוא (2 , 9), ונבדוק אותה מול כל מערכת.
מערכת I דורשת y ≥ x + 4 וגם y ≤ −0.5x + 13:
מערכת II דורשת את ההפך, y ≤ x + 4, וכבר האילוץ הראשון נופל, שכן 9 גדול מ-6.
המערכת המתאימה היא מערכת אילוצים I.
סעיף ב: פונקציית המטרה והרווח המרבי
(1) על כל סוכרייה המפעל מרוויח 2 שקלים ועל כל מסטיק שקל אחד, ולכן הרווח בדקה הוא
P = 2x + y.
(2) ערך מרבי של פונקציית מטרה לינארית על מצולע אפשרי מתקבל תמיד באחד מקודקודיו, ולכן די לבדוק את שלושת הקודקודים:
| הקודקוד | P = 2x + y |
|---|---|
| A(0 , 13) | 0 + 13 = 13 |
| B(0 , 4) | 0 + 4 = 4 |
| C(6 , 10) | 12 + 10 = 22 |
הערך הגדול ביותר מתקבל ב-C. המפעל צריך לייצר 6 סוכריות ו-10 מסטיקים בדקה, והרווח המרבי הוא 22 שקלים בדקה.
סעיף ג: האם ייתכן 5 סוכריות ו-5 מסטיקים
נציב את הנקודה (5 , 5) באילוצים של מערכת I. האילוץ הראשון דורש y ≥ x + 4:
זה אינו מתקיים, שכן 5 קטן מ-9. לא ייתכן. הנקודה (5 , 5) נמצאת מתחת לישר BC, כלומר מחוץ לתחום האפשרי, ולכן המפעל אינו יכול לייצר את הכמויות האלה.
איפה נופלים בשאלה 2. בסעיף א נוטים לבחור מערכת לפי מראה הסימנים ולא לפי בדיקה. הדרך הבטוחה היא נקודה אחת מתוך התחום האפור והצבה. בסעיף ב(2) נוטים לבדוק נקודות שלמות מפוזרות בתוך התחום, וזה גם ארוך וגם אינו מוכיח דבר. הקודקודים מספיקים.
פרק שני, אשכול חברה ומדע
שאלה 3, התפלגות נורמלית (28 נקודות)
הנתונים. שטחי הדירות בעיר מתפלגים נורמלית. הגרף מחולק לרצועות, ובכל רצועה כתוב האחוז שלה: 0.5 , 1.5 , 5 , 9 , 15 , 19 , 19 , 15 , 9 , 5 , 1.5 , 0.5. מתחת לציר מסומנים שני מספרים, 75 ו-102. בעיר 26,000 דירות.
סעיף א: סטיית התקן והממוצע
הגרף בנוי מ-12 רצועות שוות רוחב, שש מימין לממוצע ושש משמאלו. עקומת התפלגות נורמלית משתרעת בפועל על שלוש סטיות תקן לכל צד, ולכן כל רצועה כאן היא חצי סטיית תקן. שני האחוזים הגדולים, 19 ו-19, נוגעים בקו הממוצע משני צדדיו, וזה הקו הגבוה ביותר בסרטוט.
עכשיו נספור רצועות מקו הממוצע אל כל אחד מן המספרים המסומנים:
- המספר 75 יושב שתי רצועות משמאל לממוצע, כלומר במרחק סטיית תקן שלמה.
- המספר 102 יושב רצועה אחת מימין לממוצע, כלומר במרחק חצי סטיית תקן.
נכתוב זאת בשתי משוואות, כאשר μ הוא הממוצע ו-σ היא סטיית התקן:
נחסר את הראשונה מן השנייה:
ונציב חזרה:
סטיית התקן היא 18 מ"ר, והממוצע הוא 93 מ"ר.
סעיף ב: אחוז הדירות ששטחן קטן מ-129 מ"ר
נתרגם את 129 לציון תקן:
כלומר 129 נמצא שתי סטיות תקן מעל הממוצע, וזה בדיוק גבול של רצועה. נחבר את כל הרצועות שמשמאל לגבול הזה: כל המחצית שמתחת לממוצע, שהיא 50 אחוזים, ועוד ארבע הרצועות שבין הממוצע לבין שתי סטיות תקן:
98 אחוזים מן הדירות קטנות מ-129 מ"ר.
סעיף ג: לכמה דירות יש מקום חניה
מקום חניה יש לדירה ששטחה גדול מ-75 מ"ר וקטן מ-129 מ"ר, כלומר בין ציון תקן מינוס 1 לבין ציון תקן 2. נחבר את הרצועות שבתחום הזה:
זהו 82 אחוזים מן הדירות, ובעיר 26,000 דירות:
ל-21,320 דירות בעיר יש מקום חניה אחד.
סעיף ד: דירה שציון התקן שלה 2.4
ציון תקן 2.4 פירושו 2.4 סטיות תקן מעל הממוצע. נתרגם לשטח:
לא, לדירה הזאת אין מקום חניה. שטחה 136.2 מ"ר, והוא גדול מ-129 מ"ר, ולכן היא מחוץ לתחום שזכאי למקום חניה. אפשר גם בלי חישוב שטח כלל: הגבול העליון של התחום הוא ציון תקן 2, ו-2.4 גדול ממנו.
איפה נופלים בשאלה 3. הטעות השכיחה היא להניח שכל רצועה בגרף היא סטיית תקן שלמה. סימן ההיכר שהיא חצי סטייה הוא מספר הרצועות, 12 על פני שש סטיות תקן, ושני האחוזים הסמוכים לממוצע, 19 ו-19, שהם הרצועה שבין הממוצע לחצי סטיית תקן. בסעיף ג נוטים לחשב אחוז ולשכוח להכפיל במספר הדירות.
שאלה 4, פונקציה ריבועית כמודל (28 נקודות)
הנתונים. נדב זורק אבן כלפי מעלה. הפונקצייה y = −5x² + 16x + 2 מתארת את גובה האבן מעל הקרקע במטרים כפונקצייה של הזמן בשניות מרגע הזריקה.
סעיף א: הגובה ברגע הזריקה
רגע הזריקה הוא x = 0:
גובה האבן ברגע הזריקה הוא 2 מטרים. זהו הגובה שממנו יצאה האבן מן היד.
סעיף ב: הגובה המרבי
מקדם x² שלילי, ולכן הפרבולה פונה כלפי מטה והקדקוד שלה הוא נקודת המקסימום. שיעור ה-x של הקדקוד:
ונציב כדי לקבל את הגובה:
כעבור 1.6 שניות מרגע הזריקה הייתה האבן בגובה המרבי, והוא 14.8 מטרים.
סעיף ג: מתי הייתה האבן בגובה 14 מטרים
נציב y = 14 ונפתור:
בנוסחת השורשים:
ומכאן שתי האפשרויות:
האבן הייתה בגובה 14 מטרים כעבור 1.2 שניות, בדרכה מעלה, וכעבור 2 שניות, בדרכה מטה. שני הזמנים סבירים: שניהם קטנים מן הרגע שבו האבן נוגעת בקרקע, והם ניצבים משני צדי הקדקוד 1.6, במרחק שווה ממנו.
סעיף ד: מה קרה כעבור 4 שניות
נציב x = 4:
האבן כבר הגיעה לקרקע. גובה שלילי אינו אפשרי במציאות, ומשמעותו שהמודל כבר עבר את הרגע שבו האבן נגעה באדמה. אפשר גם לומר מתי בדיוק זה קרה, כלומר למצוא את החיתוך עם ציר ה-x:
השורש החיובי הוא בערך 3.32, ולכן האבן נגעה בקרקע כעבור 3.32 שניות בקירוב, עוד לפני שעברו 4 שניות.
איפה נופלים בשאלה 4. בסעיף ג יש הנוטים לעצור אחרי פתרון אחד. השאלה מבקשת במפורש את שתי האפשרויות, ופרבולה חותכת ישר אופקי בשתי נקודות. בסעיף ד לא די לכתוב שהתשובה שלילית, צריך גם להסביר מה פירושה: גובה שלילי אין, ולכן האבן כבר על הקרקע.
אשכול התמצאות במישור ובמרחב
שאלה 5, תיבות (28 נקודות)
הנתונים. במרכז ספורט שתי בריכות בצורת תיבה שבסיסה מלבן. אורכי צלעות הבסיס של בריכת המבוגרים הם 25 מטרים ו-13 מטרים, וגובהה 2.4 מטרים. גובה בריכת הילדים הוא שליש מגובה בריכת המבוגרים, אחת מצלעות הבסיס שלה גדולה פי 2 מן הצלע האחרת, והנפח שלה 40 מ"ק.
סעיף א: נפח בריכת המבוגרים
נפח תיבה הוא מכפלת שלוש המידות:
נפח בריכת המבוגרים הוא 780 מ"ק.
סעיף ב: השטח שסיידו
מסיידים את הקירות החיצוניים, כלומר את ארבעת הקירות האנכיים בלבד. הרצפה אינה קיר, והיא אינה נכללת. שני קירות באורך 25 ושניים באורך 13, וכולם בגובה 2.4:
אפשר לקצר: היקף הבסיס כפול הגובה,
השטח שסיידו הוא 182.4 מ"ר.
סעיף ג: גובה בריכת הילדים
גובה בריכת הילדים הוא 0.8 מטרים.
סעיף ד: צלעות הבסיס של בריכת הילדים
נסמן ב-a את הצלע הקצרה, ואז הצלע השנייה היא 2a. הנפח נתון:
הפתרון השלילי נפסל, כי אורך צלע אינו שלילי.
אורכי צלעות הבסיס של בריכת הילדים הם 5 מטרים ו-10 מטרים.
בדיקה: 5 × 10 × 0.8 = 40 מ"ק, כנדרש.
איפה נופלים בשאלה 5. בסעיף ב מוסיפים את שטח הרצפה, ולפעמים גם את "המכסה" שאינו קיים כלל בבריכה. השאלה מדברת על הקירות החיצוניים, וקיר הוא פאה אנכית. בסעיף ד מסמנים את הצלע הגדולה ב-a ואת הקטנה ב-2a, ומקבלים מספרים לא שלמים. כדאי תמיד לסמן באות את הקטן.
שאלה 6, מבנים מקוביות (28 נקודות)
הנתונים. שלושה מבנים בנויים מקוביות זהות, וכל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת. החץ שבכל סרטוט מסמן את כיוון המבט מלפנים. לפנינו גם שני תרשימים של מבטים מלמעלה, תרשים I ותרשים II, שכל אחד מהם רשת של 3 עמודות ו-4 שורות.
ראשית נקרא את שלושת המבנים ונכתוב לכל אחד את תרשים המספרים שלו, כלומר כמה קוביות עומדות בכל תא של הרשת. זו העבודה שממנה נובעים כל הסעיפים.
מבנה 1 בנוי מ-8 קוביות, מבנה 2 מ-11 קוביות ומבנה 3 מ-9 קוביות. אלה תרשימי המספרים שלהם, שורה עליונה למעלה, והתא הריק סימנו בנקודה:
סעיף א: איזה תרשים מתאר כל מבנה
המבט מלמעלה אינו מבחין בגובה, אלא רק במשבצות התפוסות. נסמן כל תא תפוס:
- מבנה 1 תופס 7 תאים, ותבניתם היא בדיוק תרשים II.
- מבנה 2 תופס 8 תאים, ותבניתם היא בדיוק תרשים I.
- מבנה 3 תופס 8 תאים באותה תבנית, ולכן גם הוא תרשים I.
מבנה 1 מתואר בתרשים II. מבנה 2 ומבנה 3 מתוארים שניהם בתרשים I.
אין כאן טעות: שני מבנים שונים יכולים לתת אותו מבט מלמעלה, כי המבט הזה מאבד את המידע על הגובה. מבנה 2 ומבנה 3 עומדים על אותן משבצות בדיוק, והם נבדלים רק בכמה קוביות מונחות זו על זו.
סעיף ב: תרשים המספרים של מבנה 3
במילים, כדי שלא תהיה אי הבנה בקריאה: בשורה העליונה, בתא השמאלי 1, באמצעי 2 והימני ריק. בשורה השנייה 1 , 1 , 1. בשורה השלישית 1 , 1, והימני ריק. בשורה התחתונה השמאלי ריק, באמצעי 1, והימני ריק. סך הכול 9 קוביות, כמספר הקוביות שבסרטוט.
סעיף ג: מבט מלפנים של מבנה 3
במבט מלפנים כל עמודה של הרשת נדחסת לעמודה אחת, וגובהה הוא הגובה הגדול ביותר שיש בה. נעבור על שלוש העמודות של תרשים המספרים:
המבט מלפנים הוא שורה של שלושה ריבועים, ומעל הריבוע האמצעי ריבוע נוסף. סך הכול ארבעה ריבועים, והגבהים משמאל לימין הם 1 , 2 , 1:
סעיף ד: כמה קוביות אפשר להוסיף
(1) שני תנאים כובלים אותנו. המבט מלמעלה חייב להישאר כשהיה, ולכן אסור לתפוס משבצת חדשה, ומותר להוסיף רק בעמודות שכבר תפוסות. המבט מלפנים חייב להישאר כשהיה, ולכן בכל עמודה של הרשת אסור לעבור את הגובה הגדול ביותר שכבר יש בה.
הגבהים המרביים שמצאנו בסעיף ג הם 1 , 2 , 1. נעבור תא תא:
- בעמודה השמאלית הגובה המרבי 1, וכל שלושת התאים התפוסים כבר בגובה 1. אין מה להוסיף.
- בעמודה האמצעית הגובה המרבי 2. יש בה ארבעה תאים תפוסים, אחד מהם כבר בגובה 2 ושלושה בגובה 1. כל אחד משלושת האלה יכול לעלות ל-2, וזו תוספת של 3 קוביות.
- בעמודה הימנית הגובה המרבי 1, והתא היחיד שבה כבר בגובה 1. אין מה להוסיף.
הוסיפו 3 קוביות.
(2) תרשים המספרים אחרי ההוספה:
במילים: השורה העליונה 1 , 2 וריק. השורה השנייה 1 , 2 , 1. השורה השלישית 1 , 2 וריק. השורה התחתונה ריק , 2 וריק. סך הכול 12 קוביות, שהן 9 הקוביות המקוריות ועוד 3.
נבדוק את עצמנו מול שני התנאים. המשבצות התפוסות לא השתנו, ולכן המבט מלמעלה נשאר תרשים I. הגבהים המרביים בעמודות הם עדיין 1 , 2 , 1, ולכן גם המבט מלפנים נשאר כשהיה.
איפה נופלים בשאלה 6. בסעיף א נוטים לחפש תרשים שונה לכל מבנה, כי יש שלושה מבנים, ואז מכריחים התאמה שאינה קיימת. המבט מלמעלה מוחק את הגובה, ולכן שני מבנים שונים בגובהם יקבלו אותו תרשים. בסעיף ד נוטים להוסיף קובייה על הקובייה הגבוהה ביותר, וזה משנה מיד את המבט מלפנים. הכלל הוא להשוות כל עמודה אל הגובה שכבר קיים בה, בלי לעבור אותו.
התשובות בקצרה
| שאלה | סעיף | התשובה |
|---|---|---|
| 1 | א | A(2 , 0) , D(0 , 4) |
| 1 | ב | y = 0.5x − 1 |
| 1 | ג | B(20 , 9) |
| 1 | ד(1) | y = −⅓x + 9 |
| 1 | ד(2) | F(12 , 5) |
| 1 | ה | 40 יחידות שטח |
| 2 | א | מערכת אילוצים I |
| 2 | ב(1) | P = 2x + y |
| 2 | ב(2) | 6 סוכריות ו-10 מסטיקים, רווח 22 שקלים |
| 2 | ג | לא ייתכן, הנקודה מחוץ לתחום |
| 3 | א | סטיית תקן 18, ממוצע 93 |
| 3 | ב | 98 אחוזים |
| 3 | ג | 21,320 דירות |
| 3 | ד | לא, השטח 136.2 מ"ר |
| 4 | א | 2 מטרים |
| 4 | ב | 1.6 שניות, 14.8 מטרים |
| 4 | ג | 1.2 שניות ו-2 שניות |
| 4 | ד | כבר על הקרקע, הגובה במודל יוצא שלילי |
| 5 | א | 780 מ"ק |
| 5 | ב | 182.4 מ"ר |
| 5 | ג | 0.8 מטרים |
| 5 | ד | 5 מטרים ו-10 מטרים |
| 6 | א | מבנה 1 תרשים II, מבנה 2 ומבנה 3 תרשים I |
| 6 | ב | 1 2 . / 1 1 1 / 1 1 . / . 1 . |
| 6 | ג | שלושה ריבועים, ומעל האמצעי אחד נוסף |
| 6 | ד(1) | 3 קוביות |
| 6 | ד(2) | 1 2 . / 1 2 1 / 1 2 . / . 2 . |