מתמטיקה ג׳

לפני שמתחילים

השאלון בנוי משני פרקים ובהם שש שאלות. עונים על ארבע שאלות, ולפחות על שאלה אחת מכל פרק, וכל שאלה שווה 27 נקודות. סך הנקודות לא יעלה על 100. אם נענה על יותר מארבע שאלות, ייבדקו רק ארבע התשובות הראשונות שבמחברת. השאלון אינו מפרט ניקוד לתת-סעיפים.

משך הבחינה שעתיים וחצי. מותרים מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות.

כאן פתורות כל שש השאלות, כדי שכל בחירה אפשרית של תלמיד תהיה מכוסה. בכל שאלה מופיעים הנתונים, השלבים והנימוק לכל שלב, ובסופה הערה קצרה על המקום שבו נופלים.

פרק ראשון, אשכול פיננסי כלכלי

שאלה 1, תכנון ליניארי (27 נקודות)

הנתונים. בחנות ממתקים מוכרים מארזי שי. בכל מארז x חפיסות שוקולד ו-y חטיפים. חפיסת שוקולד שוקלת 150 גרם וחטיף שוקל 50 גרם. במארז יש לכל היותר 20 פריטים, ומשקל המארז הוא לכל היותר 1,500 גרם. הרווח מחפיסה הוא 4 שקלים ומחטיף 3 שקלים.

סעיף א: מערכת האילוצים

נתרגם כל משפט בשאלה לאי-שוויון.

מספר הפריטים במארז הוא מספר החפיסות ועוד מספר החטיפים, והוא לכל היותר 20:

המשקל של x חפיסות הוא 150x גרם, והמשקל של y חטיפים הוא 50y גרם. יחד לכל היותר 1,500 גרם:

נוח לחלק את האילוץ הזה ב-50, ואז הוא נראה פשוט יותר:

ולבסוף, אי אפשר לשים במארז מספר שלילי של פריטים:

מערכת האילוצים: x + y ≤ 20 , 150x + 50y ≤ 1,500 , x ≥ 0 , y ≥ 0, וכמובן x ו-y מספרים שלמים, כי סופרים חפיסות וחטיפים.

סעיף ב: הנקודות A , B ו-C

בסרטוט שני ישרים. כדי לדעת מי מהם עובר דרך A ומי דרך B, נמצא לכל ישר את נקודות החיתוך שלו עם הצירים.

התחום האפשרי נמצא מתחת לשני הישרים. על ציר ה-y הגבול הוא הנמוך מבין השניים, 20, ולכן A(0 , 20). על ציר ה-x הגבול הוא הקרוב מבין השניים, 10, ולכן B(10 , 0). כך גם רואים בסרטוט: הישר התלול יוצא מעל A ונוחת ב-B, והישר המתון יוצא מ-A ונוחת הרחק מימין ל-B.

הנקודה C היא חיתוך שני הישרים. נחסר את המשוואה x + y = 20 מן המשוואה 3x + y = 30. ה-y מתבטל, כי הוא מופיע בשתיהן עם אותו מקדם:

ונציב במשוואה הראשונה:

מכאן C(5 , 15).

סעיף ג: פונקציית המטרה

כל חפיסה מכניסה 4 שקלים וכל חטיף 3 שקלים, ולכן הרווח ממארז אחד הוא

P = 4x + 3y.

סעיף ד: הרווח המקסימלי

(1) פונקציית מטרה ליניארית מקבלת את הערך הגדול ביותר שלה באחד מקודקודי התחום האפשרי. התחום כאן הוא המרובע OACB, ולכן נבדוק את ארבעת הקודקודים:

הערך הגדול ביותר מתקבל ב-C, ושני השיעורים שלה שלמים, כך שזה מארז אפשרי באמת. כדי להשיג רווח מקסימלי צריך לשים במארז 5 חפיסות שוקולד ו-15 חטיפים.

(2) הרווח המקסימלי ממארז אחד הוא 65 שקלים.

סעיף ה: 9 חפיסות ו-4 חטיפים

נבדוק את הנקודה (9 , 4) מול כל אחד מן האילוצים.

מספר הפריטים:

13 אינו עולה על 20, ולכן האילוץ הזה מתקיים.

המשקל:

1,550 גדול מ-1,500, ולכן אילוץ המשקל אינו מתקיים.

לא ייתכן. מספר הפריטים בסדר, אבל מארז כזה שוקל 1,550 גרם, יותר מן המשקל המותר. הנקודה (9 , 4) נמצאת מעל הישר 3x + y = 30, כלומר מחוץ לתחום האפשרי.

איפה נופלים בשאלה 1. בסעיף ב נוטים להחליף בין הנקודות ולכתוב A(0 , 30), כי זו נקודת החיתוך הגבוהה. התחום חייב לקיים את שני האילוצים יחד, ולכן על כל ציר קובע הגבול המחמיר. בסעיף ה בודקים רק את מספר הפריטים, רואים ש-13 קטן מ-20 ועונים "כן". נקודה אפשרית רק אם היא מקיימת את כל האילוצים.

שאלה 2, גאומטרייה אנליטית (27 נקודות)

הנתונים. במשולש ABC הזווית BAC ישרה. הקודקוד A(−2 , 0) נמצא על ציר ה-x, והנקודה E(4 , 9) היא אמצע הצלע AB. בהמשך נתון שהצלע BC מקבילה לציר ה-x, ונתונה גם הנקודה D(10 , 5).

סעיף א: הקודקוד B

שיעורי אמצע הקטע הם הממוצע של שיעורי הקצוות. נסמן B(x , y) ונכתוב משוואה לכל שיעור:

מכאן B(10 , 18).

דרך קצרה לבדוק: מ-A ל-E זזים 6 ימינה ו-9 למעלה. מ-E ל-B זזים בדיוק אותו הדבר, ומגיעים ל-(10 , 18).

סעיף ב: השיפועים

(1) שיפוע AB:

שיפוע הצלע AB הוא 1.5.

(2) הזווית BAC ישרה, ולכן AC מאונכת ל-AB. מכפלת השיפועים של שני ישרים מאונכים היא −1:

הישר AC עובר דרך A(−2 , 0). נציב בצורה y = mx + n:

משוואת הצלע AC היא y = −⅔x − 1⅓. מי שמעדיף בלי שברים יכול לכפול ב-3 ולכתוב 3y = −2x − 4, כלומר 2x + 3y + 4 = 0.

סעיף ג: הקודקוד C

הצלע BC מקבילה לציר ה-x, ולכן לכל הנקודות שעליה אותו שיעור y כמו ל-B, כלומר 18. הקודקוד C נמצא גם על הישר AC, ונציב בו y = 18. כדי להיפטר מן השברים נשתמש בצורה 2x + 3y + 4 = 0:

מכאן C(−29 , 18). זה מתאים לסרטוט, שבו C רחוקה שמאלה מציר ה-y, באותו גובה כמו B.

סעיף ד: המשולש ADB שווה שוקיים

נחשב את אורכי שתי הצלעות שיוצאות מ-D. הנקודות D(10 , 5) ו-B(10 , 18) נמצאות על אותו ישר אנכי, כי לשתיהן x = 10, ולכן המרחק ביניהן הוא פשוט הפרש שיעורי ה-y:

את AD נחשב בנוסחת המרחק בין שתי נקודות:

AD = DB = 13, ולכן המשולש ADB שווה שוקיים, והבסיס שלו הוא AB.

סעיף ה: היקף המרובע ADBC

ההיקף הוא סכום ארבע הצלעות, בסדר שבו הקודקודים כתובים: AD , DB , BC , CA. את שתי הראשונות כבר יש לנו, 13 כל אחת.

הצלע BC אופקית, ולכן אורכה הוא הפרש שיעורי ה-x:

את CA נחשב בנוסחת המרחק:

(מי שרוצה צורה מדויקת: 1053 = 81 × 13, ולכן CA = 9√13.)

נחבר:

היקף המרובע ADBC הוא 65 + 9√13, כלומר בערך 97.45 יחידות אורך.

איפה נופלים בשאלה 2. בסעיף א מציבים את E כאילו הייתה קצה, ומקבלים את B באמצע הדרך במקום מעבר ל-E. בסעיף ב(2) שוכחים להפוך את השיפוע, או שוכחים את הסימן, ומקבלים 1.5 או ⅔ במקום −⅔. בסעיף ה מחברים בטעות גם את AB, שהיא אלכסון של המרובע ולא צלע שלו.

פרק שני, אשכול חברה ומדע

שאלה 3, התפלגות נורמלית (27 נקודות)

הנתונים. הציונים במבחן במתמטיקה מתפלגים נורמלית, וסטיית התקן היא 8. הציון של 93 אחוזים מן התלמידים נמוך מ-84. בסוף השאלה גרף התפלגות נורמלית מחולק ל-12 רצועות, ובהן משמאל לימין האחוזים 0.5 , 1.5 , 5 , 9 , 15 , 19 , 19 , 15 , 9 , 5 , 1.5 , 0.5. מתחת לציר 11 מלבנים ריקים.

איך קוראים את הגרף

שתים עשרה רצועות מכסות שלוש סטיות תקן לכל צד של הממוצע, ולכן כל רצועה היא חצי סטיית תקן. כאן חצי סטיית תקן היא 8 : 2 = 4 נקודות ציון. הקו האמצעי, בין 19 ל-19, הוא קו הממוצע. 11 המלבנים עומדים מתחת ל-11 הקווים הפנימיים, מ-2.5 סטיות תקן מתחת לממוצע ועד 2.5 סטיות תקן מעליו.

סעיף א: הממוצע והמלבנים

(1) נחפש בגרף את הקו שמשמאלו בדיוק 93 אחוזים. משמאל לממוצע יש 50 אחוזים, ונוסיף רצועה אחר רצועה מימין לממוצע:

הגענו ל-93 אחרי שלוש רצועות, כלומר בקו שנמצא 1.5 סטיות תקן מעל הממוצע. הציון 84 יושב על הקו הזה:

ממוצע הציונים הוא 72.

(2) מן הממוצע זזים בצעדים של 4, שמאלה וימינה, חמישה צעדים לכל צד:

בדיקה: המלבן התשיעי הוא 84, ומשמאלו 93 אחוזים, בדיוק כנתון.

סעיף ב: אחוז התלמידים שהתקבלו ללימודי העשרה

הציון 80 נמצא במלבן השמיני, כלומר סטיית תקן אחת מעל הממוצע. נחבר את כל הרצועות שמימין לו:

16 אחוזים מן התלמידים התקבלו ללימודי העשרה.

סעיף ג: כמה תלמידים נבחנו

32 התלמידים שציונם גבוה מ-80 הם בדיוק 16 האחוזים שמצאנו בסעיף ב. נסמן ב-N את מספר הנבחנים:

אפשר גם בלי משוואה: 16 אחוזים הם 32 תלמידים, ולכן אחוז אחד הוא 2 תלמידים, ומאה אחוזים הם 200.

במבחן במתמטיקה נבחנו 200 תלמידים.

סעיף ד: הציון של עמית

ציון תקן 1.75 פירושו 1.75 סטיות תקן מעל הממוצע:

הציון של עמית הוא 86. זה מסתדר עם הגרף: 1.75 נמצא בין 1.5 ל-2, ואכן 86 נמצא בין המלבנים 84 ו-88.

איפה נופלים בשאלה 3. הטעות הגדולה היא לקרוא כל רצועה כסטיית תקן שלמה, ואז הממוצע יוצא 84 − 3 × 8 = 60 וכל המלבנים זזים. מספר הרצועות, 12, הוא הרמז: שש לכל צד, על פני שלוש סטיות תקן. בסעיף ג נוטים לחלק 32 ב-16 ולקבל 2, ולעצור שם. 2 הם התלמידים שבאחוז אחד, לא כל הנבחנים.

שאלה 4, מודל ריבועי (27 נקודות)

הנתונים. נועה זורקת כדור לסל. מסלול הכדור הוא הפרבולה y = −0.5x² + 2x + 2, כאשר x הוא המרחק האופקי מנקודת הזריקה במטרים, ו-y הוא גובה הכדור מעל הקרקע במטרים. בסרטוט הסל נמצא בחלק היורד של המסלול, מימין לנקודה הגבוהה.

סעיף א: הגובה שממנו נזרק הכדור

ברגע הזריקה הכדור עוד לא התקדם אופקית, כלומר x = 0:

נועה זרקה את הכדור מגובה 2 מטרים. זו נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-y, והיא בדיוק המקום שבו הכדור יוצא מן הידיים בסרטוט.

סעיף ב: הגובה המקסימלי

מקדם x² שלילי, ולכן הפרבולה פונה כלפי מטה, והקודקוד שלה הוא הנקודה הגבוהה ביותר. שיעור ה-x של הקודקוד:

ונציב כדי לקבל את הגובה:

הגובה המקסימלי שאליו הגיע הכדור הוא 4 מטרים, במרחק אופקי של 2 מטרים מנקודת הזריקה.

סעיף ג: מתי הכדור עלה

פרבולה שפונה כלפי מטה עולה עד הקודקוד ויורדת אחריו. הכדור יצא לדרכו ב-x = 0, והגיע לשיא ב-x = 2. ביניהם הוא עלה כל הזמן.

הכדור היה במגמת עלייה בעבור 0 < x < 2.

(מבחינה אלגברית הפונקצייה עולה לכל x < 2, אבל לפני נקודת הזריקה אין כדור, ולכן התחום מתחיל ב-0.)

סעיף ד: שיעור ה-x של הכדור כשהגיע לסל

הכדור הגיע לסל בגובה 3.02 מטרים. נציב y = 3.02:

נכפול את שני האגפים ב-(−2), כדי שהמקדם של x² יהיה 1:

בנוסחת השורשים:

ומכאן שתי אפשרויות:

שני הפתרונות נכונים מבחינה אלגברית: הכדור היה בגובה 3.02 מטרים פעמיים, פעם בעלייה ופעם בירידה. הסל נמצא בסרטוט בחלק היורד של המסלול, מימין לשיא שב-x = 2, ולכן הפתרון 0.6 נפסל.

כשהכדור הגיע לסל, שיעור ה-x שלו היה 3.4, כלומר 3.4 מטרים מנקודת הזריקה.

איפה נופלים בשאלה 4. בסעיף ג כותבים את תחום העלייה בשיעורי y, "מ-2 עד 4", במקום בשיעורי x. השאלה שואלת על x, המרחק האופקי. בסעיף ד מגישים את שני הפתרונות בלי לבחור, או בוחרים את 0.6 כי הוא יצא ראשון. הסרטוט מכריע: הסל אחרי השיא.

אשכול התמצאות במישור ובמרחב

שאלה 5, ראייה מרחבית (27 נקודות)

הנתונים. מבנה בנוי מקוביות זהות, וכל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת. החץ בסרטוט, בפינה השמאלית התחתונה של המשטח, מסמן את כיוון המבט מלפנים. תבנית תרשים המספרים היא רשת של 3 עמודות ו-4 שורות, ותבניות המבטים מימין ומשמאל הן רשתות של 4 עמודות ו-3 שורות.

איך קוראים את הציור

מי שעומד ליד החץ ומסתכל לכיוונו רואה מולו את הפאות הבהירות של הקוביות. השורה הקדמית היא זו שלאורך שפת המשטח הקרובה אליו, והיא מתחילה בפינה השמאלית של המשטח. הרוחב, שלוש קוביות, הולך מן הפינה השמאלית אל הפינה התחתונה של המשטח. העומק, ארבע שורות, הולך מן החץ לאחור, למעלה וימינה בציור. בתרשים המספרים השורה הקדמית היא השורה התחתונה, והאחורית היא העליונה.

נעבור שורה אחר שורה, מקדימה לאחור:

• השורה הקדמית. יש בה קובייה אחת בלבד, משמאל. מימין לה רואים את המשטח החשוף, ואת הפאה הכהה של הקובייה הזאת, ולכן שתי המשבצות האחרות בשורה ריקות.
• השורה השנייה. שלוש קוביות בגובה אחד. רואים את שלוש הפאות העליונות, ואת הפאות הבהירות של האמצעית והימנית, שעומדות מול המשבצות הריקות.
• השורה השלישית. משמאל קובייה אחת, שרואים חלק מן הפאה העליונה שלה. באמצע מגדל של שלוש קוביות: שתי פאות בהירות זו מעל זו, ומעליהן פאה עליונה שלמה. מימין קובייה אחת.
• השורה האחורית. מימין קובייה אחת, שהפאה העליונה שלה גלויה בקצה הציור. באמצע שתי קוביות: מימין למגדל רואים את הפאה הכהה של הקובייה השנייה ואת קצה הפאה העליונה שלה. משמאל יש מגדל של שלוש קוביות, וממנו רואים רק את הקובייה העליונה, זו שמבצבצת מעל המגדל האמצעי.

הקובייה הגבוהה ביותר בציור דורשת זהירות. אילו הייתה מונחת על המגדל האמצעי, היא הייתה מסתירה את הפאה העליונה שלו, ואנחנו רואים את הפאה הזאת שלמה. לכן הקובייה עומדת מאחורי המגדל ומשמאלו, בגובה שלוש. ומכיוון שכל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת, יש מתחתיה עוד שתי קוביות שאינן נראות. גם תבניות המבטים, שגובהן שלוש שורות, מתאימות לכך: אין במבנה עמודה בגובה ארבע.

סעיף א: תרשים המספרים

השורה העליונה בתרשים היא האחורית, וכל שורה נקראת משמאל לימין. נקודה מסמנת משבצת ריקה:

במילים: בשורה העליונה 3 , 2 , 1. בשורה השנייה 1 , 3 , 1. בשורה השלישית 1 , 1 , 1. בשורה התחתונה 1 משמאל, והשתיים האחרות ריקות.

נספור: 6 + 5 + 3 + 1 = 15. במבנה 15 קוביות.

סעיף ב: המבט מימין והמבט משמאל

במבט מהצד כל שורה של התרשים נדחסת לעמודה אחת במבט, וגובה העמודה הוא הגובה הגדול ביותר בשורה:

עכשיו צריך לדעת באיזה צד של המבט עומדת כל שורה.

מבט מימין. מי שעומד מימין למבנה ומסתכל עליו רואה את השורה הקדמית בצד שמאל שלו, ואת האחורית בצד ימין. לכן משמאל לימין הגבהים הם 1 , 1 , 3 , 3:

מבט משמאל. מי שעומד משמאל למבנה רואה את השורה הקדמית בצד ימין שלו, ואת האחורית בצד שמאל. לכן משמאל לימין הגבהים הם 3 , 3 , 1 , 1:

שני המבטים הם תמונת ראי זה של זה, כמו תמיד במבט מימין ובמבט משמאל.

סעיף ג: הורדת קוביות בלי לשנות את המבט מלמעלה

המבט מלמעלה מראה רק אילו משבצות תפוסות, ולא כמה קוביות עומדות בכל אחת. לכן הוא לא ישתנה כל עוד בכל משבצת תפוסה נשארת לפחות קובייה אחת. ומכיוון שכל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת, מורידים תמיד מלמעלה, והקובייה התחתונה נשארת.

(1) נעבור על המשבצות שיש בהן יותר מקובייה אחת:

• המגדל האחורי השמאלי, 3 קוביות. אפשר להוריד 2.
• המשבצת האחורית האמצעית, 2 קוביות. אפשר להוריד 1.
• המגדל האמצעי שבשורה השלישית, 3 קוביות. אפשר להוריד 2.

בכל שאר המשבצות התפוסות יש קובייה אחת בלבד, ואם נוריד אותה המשבצת תתרוקן.

הורידו 5 קוביות.

(2) במבנה היו 15 קוביות:

נשארו 10 קוביות, קובייה אחת בכל אחת מעשר המשבצות התפוסות.

איפה נופלים בשאלה 5. בסעיף א שמים את הקובייה העליונה על המגדל האמצעי ומקבלים עמודה בגובה 4. הפאה העליונה הגלויה של המגדל האמצעי מראה שאין עליו כלום. בסעיף ב מחליפים בין המבט מימין למבט משמאל. הדרך הבטוחה היא לדמיין שעומדים בצד ולשאול: איפה אצלי הקדמית? בסעיף ג סופרים את הקוביות שנשארות ועונים בטעות 10 על (1). קודם כמה הורידו, אחר כך כמה נשארו.

שאלה 6, גופים במרחב (27 נקודות)

הנתונים. המקרר של נעמי הוא תיבה שבסיסה ריבוע. גובהו 180 ס"מ ואורך צלע הבסיס 75 ס"מ. הגובה בין שני מדפים סמוכים הוא 15 אחוזים מגובה המקרר. יש שני סירים בצורת גליל: לסיר א' רדיוס בסיס 10 ס"מ ונפח 1,400π סמ"ק, ולסיר ב' רדיוס בסיס 12 ס"מ ושטח מעטפת 672π סמ"ר.

סעיף א: נפח המקרר

נפח תיבה הוא שטח הבסיס כפול הגובה. הבסיס ריבוע שצלעו 75:

נפח המקרר הוא 1,012,500 סמ"ק, כלומר בערך 1,012 ליטרים.

סעיף ב: הגובה בין שני מדפים סמוכים

הגובה בין שני מדפים סמוכים הוא 27 ס"מ.

סעיף ג: הגובה של סיר א'

נפח גליל הוא שטח הבסיס, πr², כפול הגובה h. נציב את הנתונים:

נחלק את שני האגפים ב-100π:

הגובה של סיר א' הוא 14 ס"מ. (ובדרך אגב, 14 קטן מ-27, כך שסיר א' נכנס בין המדפים בלי בעיה.)

סעיף ד: האם סיר ב' נכנס בין המדפים

הפעם נתון שטח המעטפת ולא הנפח. המעטפת של גליל היא מלבן שאורכו היקף הבסיס, 2πr, ורוחבו הגובה, ולכן שטחה 2πrh. נציב:

גובה סיר ב' הוא 28 ס"מ, והגובה שבין שני מדפים סמוכים הוא 27 ס"מ בלבד:

אי אפשר להכניס את סיר ב' בגובה שבין שני מדפים סמוכים, כי הסיר גבוה ב-1 ס"מ מן המרווח.

איפה נופלים בשאלה 6. בסעיף ד משתמשים בנוסחת הנפח במקום בנוסחת המעטפת, כי בסעיף ג עבדו עם נפח. כדאי לקרוא בכל פעם מה בדיוק נתון. עוד טעות שכיחה היא לשכוח את ה-2 שבנוסחה 2πrh, ואז הגובה יוצא 56. ובסעיף א יש מי שכופלים 75 רק פעם אחת, ושוכחים שהבסיס ריבוע.

התשובות בקצרה