מתמטיקה ג׳

לפני שמתחילים

השאלון בנוי משני פרקים ובהם שש שאלות. עונים על ארבע שאלות, ולפחות על שאלה אחת מכל פרק. כל שאלה שווה 27 נקודות, וסך הנקודות לא יעלה על 100. השאלון אינו מפרט ניקוד לתת-סעיפים. אם נענה על יותר מארבע שאלות, ייבדקו רק ארבע התשובות הראשונות שבמחברת.

משך הבחינה שעתיים וחצי. מותרים מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות.

כאן פתורות כל שש השאלות, כדי שכל בחירה אפשרית של תלמיד תהיה מכוסה. בכל שאלה מופיעים הנתונים, השלבים והנימוק לכל שלב, ובסופה הערה קצרה על המקום שבו נופלים.

פרק ראשון, אשכול פיננסי כלכלי

שאלה 1, תכנון ליניארי (27 נקודות)

הנתונים. מפעל רהיטים מייצר ספות וכורסאות. כל רהיט עובר במכונת חיתוך ובמכונת ריפוד. במחזור ייצור אחד מכונת החיתוך עובדת לכל היותר 32 שעות, ומכונת הריפוד לכל היותר 36 שעות. מספר השעות לכל רהיט:

x הוא מספר הספות ו-y מספר הכורסאות במחזור ייצור אחד.

סעיף א: מערכת האילוצים

כל מכונה נותנת אילוץ אחד. בכל אחד מהם נכפול את מספר הרהיטים מכל סוג בזמן שהוא דורש במכונה, ונדרוש שהסכום לא יעבור את השעות העומדות לרשותה.

מכונת החיתוך: ספה לוקחת 4 שעות וכורסה 2 שעות, ויש 32 שעות לכל היותר:

מכונת הריפוד: ספה לוקחת 2 שעות וכורסה 6 שעות, ויש 36 שעות לכל היותר:

ואי אפשר לייצר מספר שלילי של רהיטים:

מערכת האילוצים: 4x + 2y ≤ 32 , 2x + 6y ≤ 36 , x ≥ 0 , y ≥ 0, ו-x ו-y מספרים שלמים, כי מייצרים רהיטים שלמים.

כדאי לצמצם את שני האילוצים הראשונים, כי עם מספרים קטנים קל יותר לשרטט ולחשב. נחלק את הראשון ב-2 ואת השני ב-2:

סעיף ב: שרטוט התחום האפשרי

לכל אילוץ נשרטט את ישר הגבול שלו. ישר נקבע על ידי שתי נקודות, והנוחות ביותר הן נקודות החיתוך עם הצירים:

עכשיו נבחר בכל אילוץ את הצד הנכון של הישר. נבדוק את ראשית הצירים (0 , 0): 2 × 0 + 0 = 0, והוא קטן מ-16, וגם 0 + 3 × 0 = 0 קטן מ-18. כלומר הראשית מקיימת את שני האילוצים, ולכן התחום נמצא בצד של הראשית, מתחת לשני הישרים. יחד עם x ≥ 0 ו-y ≥ 0 התחום כולו ברביע הראשון.

נשאר למצוא את הנקודה שבה שני הישרים נחתכים. נבודד את x מן הישר השני, x = 18 − 3y, ונציב בראשון:

התחום האפשרי הוא המרובע שקודקודיו (0 , 0) , (8 , 0) , (6 , 4) , (0 , 6). צלע אחת שלו על ציר ה-x וצלע אחת על ציר ה-y. הצלע מ-(0 , 6) עד (6 , 4) מונחת על הישר x + 3y = 18, והצלע מ-(6 , 4) עד (8 , 0) מונחת על הישר 2x + y = 16. בשרטוט נצבע את המרובע הזה.

סעיף ג: פונקציית המטרה והרווח המקסימלי

(1) כל ספה מכניסה 400 שקלים וכל כורסה 700 שקלים, ולכן הרווח במחזור הוא

P = 400x + 700y.

(2) ערך מקסימלי של פונקציית מטרה ליניארית על מצולע אפשרי מתקבל באחד מקודקודיו, ולכן נבדוק את ארבעת הקודקודים:

הערך הגדול ביותר מתקבל בקודקוד (6 , 4), ושני השיעורים שלו שלמים, כך שזו תוכנית ייצור אפשרית באמת.

כדי להרוויח רווח מקסימלי על המפעל לייצר 6 ספות ו-4 כורסאות במחזור, והרווח יהיה 5,200 שקלים.

נבדוק שהתוכנית עומדת בשתי המכונות: חיתוך 4 × 6 + 2 × 4 = 32 שעות, ריפוד 2 × 6 + 6 × 4 = 36 שעות. שתי המכונות מנוצלות עד הסוף.

סעיף ד: מחזור של כורסאות בלבד

כורסאות בלבד פירושו x = 0. נציב בשני האילוצים:

שני התנאים חייבים להתקיים יחד, ולכן הקובע הוא המחמיר מביניהם, y ≤ 6. מכונת הריפוד היא צוואר הבקבוק: יש לה זמן ל-6 כורסאות בלבד, גם אם מכונת החיתוך פנויה לעוד.

במחזור הזה ייצרו במפעל 6 כורסאות. זו בדיוק הנקודה (0 , 6), הקודקוד של התחום שעל ציר ה-y.

איפה נופלים בשאלה 1. כל אילוץ שייך למכונה אחת: המקדמים שלו הם המספרים שבעמודה של אותה מכונה, ומימין לסימן ≤ עומדות השעות של אותה מכונה. הטעות השכיחה היא להצמיד לאילוץ את מגבלת השעות של המכונה האחרת, למשל לכתוב 4x + 2y ≤ 36. בסעיף ד יש שלוקחים את y ≤ 16 ושוכחים שגם מכונת הריפוד מגבילה. כשיש שני תנאים, הקטן מנצח.

שאלה 2, גאומטריה אנליטית (27 נקודות)

הנתונים. במשולש ABC הזווית C ישרה. הקודקוד B נמצא על ציר ה-y, והצלע AB חותכת את ציר ה-x בנקודה D. משוואת AB היא y = −½x + 4. בהמשך נתון כי D היא אמצע AB, כי משוואת BC היא y = ⅓x + 4, וכי K(0 , −18).

סעיף א: הנקודות B ו-D

שתי הנקודות יושבות על הישר AB, וכל אחת על ציר אחר.

B על ציר ה-y, ולכן x = 0:

מכאן B(0 , 4). זה פשוט המספר החופשי במשוואה.

D על ציר ה-x, ולכן y = 0:

מכאן D(8 , 0).

סעיף ב: הקודקוד A

D היא אמצע הקטע AB. נוסחת האמצע אומרת ששיעורי האמצע הם הממוצע של שיעורי הקצוות. נסמן A(x , y):

מכאן A(16 , −4).

בדיקה: A צריכה להיות על הישר AB. נציב x = 16: −½ × 16 + 4 = −8 + 4 = −4. מתאים.

סעיף ג: הצלע AC והקודקוד C

(1) הזווית C ישרה, ולכן AC מאונכת ל-BC. שיפוע BC הוא ⅓, ומכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא מינוס 1:

הישר AC עובר דרך A(16 , −4). נציב במשוואת ישר לפי שיפוע ונקודה:

משוואת הצלע AC היא y = −3x + 44.

(2) C היא נקודת המפגש של BC ו-AC, ולכן היא מקיימת את שתי המשוואות. נשווה:

נכפול ב-3 כדי להיפטר מן השבר:

ונציב באחת המשוואות:

מכאן C(12 , 8). בדיקה במשוואה השנייה: ⅓ × 12 + 4 = 8. מתאים.

סעיף ד: שטחים

(1) המשולש ABC ישר זווית ב-C, ולכן שני הניצבים, CA ו-CB, הם בסיס וגובה זה לזה. נחשב את אורכם בנוסחת המרחק:

שטח המשולש ABC הוא 80 יחידות שטח.

שימו לב שאין צורך לחשב את √160 בקירוב: מכפלת שורש בעצמו היא המספר שמתחתיו. (ואגב, שני הניצבים שווים, כלומר המשולש ישר זווית ושווה שוקיים.)

(2) המרובע BCAK מורכב משני משולשים, ABC שכבר חישבנו, ו-ABK. האלכסון AB מפריד ביניהם: C נמצאת מעל הישר AB ו-K מתחתיו.

במשולש ABK שני קודקודים, B(0 , 4) ו-K(0 , −18), נמצאים על ציר ה-y. נוח לקחת את BK כבסיס, ואז הגובה אליו הוא המרחק של A מציר ה-y, כלומר שיעור ה-x של A:

ונחבר:

שטח המרובע BCAK הוא 256 יחידות שטח.

איפה נופלים בשאלה 2. בסעיף ב יש המחשבים את האמצע של B ו-D במקום להשתמש ב-D כאמצע. D כבר נתונה כאמצע, והנעלם הוא הקצה השני. בסעיף ג(1) נוטים להעתיק את השיפוע ⅓ כמו שהוא, ושוכחים להפוך אותו ולשנות סימן. בסעיף ד(2) מחפשים נוסחה לשטח מרובע, כשהדרך הקצרה היא לפרק אותו לשני משולשים, ולבחור בסיס שיושב על ציר.

פרק שני, אשכול חברה ומדע

שאלה 3, התפלגות נורמלית (27 נקודות)

הנתונים. צריכת המים החודשית של משפחה בעיר מתפלגת נורמלית, וסטיית התקן היא 2.4 מ"ק. 16% מן המשפחות צורכות פחות מ-7 מ"ק בחודש. בגרף ההתפלגות שבסוף השאלה 12 רצועות, ובהן משמאל לימין האחוזים 0.5 , 1.5 , 5 , 9 , 15 , 19 , 19 , 15 , 9 , 5 , 1.5 , 0.5, ומתחת לציר 11 מלבנים ריקים, אחד בכל קו גבול שבין שתי רצועות.

כל רצועה בגרף הזה היא חצי סטיית תקן: יש 12 רצועות על פני שש סטיות תקן, ושתי הרצועות של 19% נוגעות בקו הממוצע משני צדדיו.

סעיף א: הממוצע, והשלמת הגרף

(1) נחפש בגרף איפה מצטברים 16% משמאל. נחבר רצועות משמאל:

בין הקו שמשמאלו 16% לבין הממוצע נשארות שתי רצועות, 15 ו-19, ושתי רצועות של חצי סטיית תקן הן סטיית תקן שלמה. לכן זה הקו של סטיית תקן אחת מתחת לממוצע, ועליו יושב המספר 7:

הממוצע של צריכת המים החודשית הוא 9.4 מ"ק.

(2) מן הממוצע זזים בצעדים של חצי סטיית תקן, 1.2 מ"ק כל צעד, לשני הכיוונים. המלבן האמצעי הוא הממוצע, ויש חמישה מלבנים מכל צד שלו:

במלבנים, משמאל לימין: 3.4 , 4.6 , 5.8 , 7 , 8.2 , 9.4 , 10.6 , 11.8 , 13 , 14.2 , 15.4.

סעיף ב: אחוז המשפחות שצורכות יותר מ-13 מ"ק

בטבלה שבנינו, 13 יושב על הקו של ציון תקן 1.5. אפשר גם לחשב:

נחבר את כל הרצועות שמימין לקו הזה:

7% מן המשפחות צורכות יותר מ-13 מ"ק מים בחודש.

סעיף ג: כמה משפחות בעיר

560 משפחות צורכות יותר מ-13 מ"ק, ומסעיף ב אלה 7% מכלל המשפחות. נסמן ב-N את מספר המשפחות:

בעיר 8,000 משפחות.

סעיף ד: אחוז המשפחות שנבדק שעון המים שלהן

השעון נבדק בשני מקרים נפרדים, ולכן נחבר את האחוזים של שני הזנבות.

ציון תקן גדול מ-1.5: זה בדיוק מה שמצאנו בסעיף ב, 7%.

ציון תקן קטן ממינוס 2.5: רק הרצועה הקיצונית משמאל, 0.5%.

שעון המים נבדק אצל 7.5% מן המשפחות.

סעיף ה: משפחת כהן

נחשב את ציון התקן של 12 מ"ק:

לא, למשפחת כהן לא נבדק שעון המים. ציון התקן שלה, בערך 1.08, אינו גדול מ-1.5 ואינו קטן ממינוס 2.5. אפשר לראות זאת גם בלי חישוב: ציון תקן 1.5 מתאים ל-13 מ"ק, ו-12 קטן מ-13 וגדול מן הממוצע.

איפה נופלים בשאלה 3. הטעות השכיחה היא להניח שכל רצועה היא סטיית תקן שלמה, ואז 7 מתקבל כממוצע פחות שתי סטיות. סופרים רצועות ומחברים אחוזים: הקו שמשמאלו 16% רחוק מן הממוצע שתי רצועות, כלומר סטיית תקן אחת. בסעיף ד שוכחים את הזנב השמאלי, ובסעיף ה כדאי לזכור שמינוס 2.5 הוא גבול נמוך מאוד, ו-12 רחוק ממנו.

שאלה 4, מודל ריבועי (27 נקודות)

הנתונים. מגלשת מים בצורת הפרבולה y = x² − 6x + 11. ציר ה-x הוא הקרקע, ומודד את המרחק במטרים מן הסולם. ציר ה-y הוא הגובה במטרים. הסולם אנכי, מתחיל בראשית O ומגיע אל A, תחילת המגלשה. נועם יורד מ-A עד הנקודה B ומשם חוזר אל C, נקודת המינימום של הפרבולה.

סעיף א: גובה הסולם

הסולם מונח על ציר ה-y, ולכן A היא הנקודה של המגלשה שבה x = 0:

גובה הסולם AO הוא 11 מטרים.

סעיף ב: הגובה של C

מקדם x² חיובי, ולכן הפרבולה פונה כלפי מעלה והקדקוד שלה הוא נקודת המינימום, C. שיעור ה-x של הקדקוד:

ונציב כדי לקבל את הגובה:

הנקודה C נמצאת בגובה 2 מטרים מעל הקרקע. הקדקוד הוא C(3 , 2).

סעיף ג: שיעור ה-x של B

B בגובה 6 מטרים. נציב y = 6:

נפרק לגורמים: מחפשים שני מספרים שמכפלתם 5 וסכומם מינוס 6, והם מינוס 1 ומינוס 5:

שני הפתרונות נכונים מתמטית: הפרבולה בגובה 6 בשתי נקודות, אחת משמאל לקדקוד ואחת מימינו. בסרטוט B נמצאת מימין ל-C, כלומר בצד שבו x גדול מ-3. הנקודה x = 1 היא מקום שנועם עבר בו בירידה מ-A, לפני שהגיע ל-C.

שיעור ה-x של B הוא 5.

סעיף ד: מתי נועם היה במגמת עלייה

הפרבולה יורדת משמאל לקדקוד ועולה מימינו. לאורך הדרך של נועם:

• מ-A עד C, כלומר מ-x = 0 עד x = 3, הוא יורד.
• מ-C עד B, כלומר מ-x = 3 עד x = 5, הוא עולה.
• מ-B הוא חוזר אל C ויורד שוב.

נועם היה במגמת עלייה בעבור 3 < x < 5.

איפה נופלים בשאלה 4. בסעיף ג נוטים לכתוב שני פתרונות ולהשאיר אותם כך. אחד מהם צריך לפסול לפי הסרטוט, ולהסביר למה. בסעיף ד יש הכותבים x > 3 בלי גבול עליון, אבל המגלשה נגמרת ב-B, ושם, ב-x = 5, נועם כבר מפסיק לעלות.

אשכול התמצאות במישור ובמרחב

שאלה 5, מבנים מקוביות (27 נקודות)

הנתונים. שני מבנים, I ו-II, בנויים מקוביות זהות, וכל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת. החץ בכל סרטוט מסמן את כיוון המבט מלפנים. נתונים גם מבט מלמעלה ומבט מימין של אחד המבנים:

• מבט מלמעלה: 2 שורות ו-3 עמודות. השורה העליונה מלאה, ובשורה התחתונה רק המשבצת האמצעית מלאה.
• מבט מימין: 2 עמודות. העמודה השמאלית בגובה ריבוע אחד, והימנית בגובה שלושה ריבועים.

ראשית נקרא את שני המבנים ונכתוב לכל אחד את תרשים המספרים שלו. שניהם עומדים על משטח של 2 שורות ו-3 עמודות. בתרשים השורה העליונה היא השורה האחורית, והתחתונה היא הקדמית, הקרובה למי שמסתכל מלפנים. נקודה מסמנת משבצת ריקה:

במבנה I יש 7 קוביות: בשורה האחורית עמודה של קובייה אחת משמאל, מגדל של שלוש באמצע ועמודה של שתיים מימין, ובשורה הקדמית קובייה אחת באמצע. במבנה II יש 6 קוביות: בשורה האחורית שתיים, אחת ושתיים, ובשורה הקדמית קובייה אחת באמצע.

סעיף א: איזה מבנה מתאים לשני המבטים

המבט מלמעלה מראה רק אילו משבצות תפוסות. בשני המבנים התפוסות הן שלוש המשבצות של השורה האחורית והמשבצת האמצעית של השורה הקדמית. כלומר המבט מלמעלה מתאים לשניהם, והוא לבדו אינו מכריע.

המבט מימין מכריע. מי שעומד מימין למבנה רואה את השורה הקדמית בצד שמאל שלו ואת האחורית בצד ימין, ובכל אחת מהן את הגובה הגדול ביותר שבה:

במבט הנתון העמודה הימנית בגובה 3, ולכן היא מתאימה רק למבנה I. במבנה II אין אף עמודה בגובה שלוש קוביות.

המבנה המתאים הוא מבנה I.

סעיף ב: המבט מלפנים של מבנה I

במבט מלפנים כל עמודה של התרשים נדחסת לעמודה אחת, וגובהה הוא הגובה הגדול ביותר שבה:

המבט מלפנים הוא שלוש עמודות של ריבועים, ומשמאל לימין גובהן 1 , 3 , 2. סך הכול שישה ריבועים:

סעיף ג: הסרת קוביות

(1) שני תנאים כובלים אותנו. המבט מלמעלה לא ישתנה רק אם כל ארבע המשבצות התפוסות יישארו תפוסות, כלומר בכל אחת מהן תישאר לפחות קובייה אחת. המבט מימין לא ישתנה רק אם בשורה הקדמית הגובה הגדול ביותר יישאר 1, ובשורה האחורית הוא יישאר 3. ומכיוון שכל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת, מסירים תמיד מלמעלה.

נעבור משבצת משבצת:

• בשורה הקדמית יש קובייה אחת בלבד. אם נסיר אותה, תתרוקן משבצת. אי אפשר.
• באחורית השמאלית קובייה אחת. אי אפשר להסיר אותה מאותה סיבה.
• באחורית האמצעית שלוש קוביות, והיא העמודה היחידה בגובה 3. אם נוריד ממנה קובייה, המבט מימין ירד לגובה 2. אי אפשר.
• באחורית הימנית שתי קוביות. אפשר להסיר את העליונה: המשבצת נשארת תפוסה, והגובה 3 שבשורה האחורית עדיין קיים בעמודה האמצעית.

אפשר להסיר קובייה אחת, את העליונה שבעמודה האחורית הימנית. אחריה נשארות 6 קוביות. (המבט מלפנים כן משתנה, מ-1 , 3 , 2 ל-1 , 3 , 1, אבל השאלה אינה דורשת לשמור עליו.)

(2) תרשים המספרים אחרי ההסרה, השורה האחורית למעלה:

במילים: בשורה העליונה משמאל לימין 1 , 3 , 1. בשורה התחתונה המשבצת השמאלית ריקה, באמצעית 1, והימנית ריקה. סך הכול 6 קוביות.

סעיף ד: מבט מלפנים מול מבט מאחור

מי שמסתכל מאחור רואה את אותן עמודות בדיוק, אבל בסדר הפוך: מה שהיה מימין למסתכל מלפנים נמצא משמאל למסתכל מאחור. לכן המבט מאחור הוא תמונת ראי של המבט מלפנים, והשניים זהים רק כשהמבט מלפנים סימטרי.

1. לא נכון. במבנה I המבט מלפנים הוא 1 , 3 , 2, ומאחור הוא 2 , 3 , 1. העמודה הנמוכה עוברת מצד לצד, ולכן שני המבטים שונים.

2. נכון. במבנה II הגבהים בכל עמודה הם 2 , 1 , 2 (העמודה השמאלית 2, האמצעית 1 ו-1, הימנית 2). הסדר הזה סימטרי, ולכן גם מאחור מתקבל 2 , 1 , 2, ושני המבטים זהים.

איפה נופלים בשאלה 5. בסעיף א נוטים לעצור אחרי המבט מלמעלה, שמתאים לשני המבנים. המבט מימין הוא שמכריע, וצריך לזכור שבו הקדמית משמאל והאחורית מימין. בסעיף ג(1) מסירים את הקובייה העליונה של המגדל, כי היא הבולטת ביותר, וזה בדיוק מה שמשנה את המבט מימין. הכלל: הגובה המרבי בכל שורה חייב להישאר במקום כלשהו בשורה.

שאלה 6, גופים במרחב (27 נקודות)

הנתונים. נר מסוג א' הוא פירמידה ישרה שבסיסה ריבוע, צלע הבסיס 6 ס"מ והגובה 12 ס"מ. נר מסוג ב' הוא חרוט ישר, רדיוס הבסיס 4 ס"מ והגובה 10 ס"מ. ככל שהנפח גדול יותר, הנר דולק זמן ארוך יותר.

סעיף א: נפח נר מסוג א'

נפח פירמידה הוא שליש משטח הבסיס כפול הגובה. הבסיס ריבוע שצלעו 6:

נפח השעווה של נר מסוג א' הוא 144 סמ"ק.

סעיף ב: איזה נר דולק זמן ארוך יותר

נפח חרוט הוא שליש משטח הבסיס כפול הגובה, והבסיס עיגול:

נר מסוג ב' ידלק זמן ארוך יותר, כי נפח השעווה שלו, בערך 167.55 סמ"ק, גדול מנפח הנר מסוג א', 144 סמ"ק.

סעיף ג: הקו היוצר ושטח המעטפת של נר מסוג ב'

(1) הגובה, הרדיוס והקו היוצר של חרוט ישר יוצרים משולש ישר זווית: הגובה והרדיוס הם הניצבים, והקו היוצר הוא היתר. לפי משפט פיתגורס:

אורך הקו היוצר הוא √116, בערך 10.77 ס"מ. (אפשר גם לכתוב 2√29.)

(2) שטח המעטפת של חרוט הוא π כפול הרדיוס כפול הקו היוצר:

שטח המעטפת של נר מסוג ב' הוא בערך 135.34 סמ"ר. בצורה מדויקת: 8√29 π.

סעיף ד: האם 60,000 סמ"ק יספיקו

נחשב כמה שעווה צריך לכל סוג, ונחבר:

לא, 60,000 סמ"ק שעווה לא יספיקו. ההזמנה דורשת בערך 85,088 סמ"ק, כלומר חסרים בערך 25,000 סמ"ק. כדאי לשים לב שגם הנרות מסוג א' לבדם, 43,200 סמ"ק, כבר לוקחים יותר משני שלישים מן הכמות.

איפה נופלים בשאלה 6. בנפח הפירמידה והחרוט שוכחים לחלק ב-3, ואז הנפחים כפולים פי 3 והתשובות בסעיפים ב ו-ד מתבלבלות. בסעיף ג(2) יש המציבים את הגובה, 10, במקום הקו היוצר. נוסחת המעטפת דורשת את הקו היוצר, ולכן סעיף ג(1) בא לפניה.

התשובות בקצרה