מתמטיקה ג׳

לפני שמתחילים

השאלון בנוי משני פרקים ובהם שש שאלות. עונים על ארבע שאלות, ולפחות על שאלה אחת מכל פרק. כל שאלה שווה 27 נקודות, וסך הנקודות לא יעלה על 100. השאלון אינו מפרט ניקוד לתת-סעיפים. אם נענה על יותר מארבע שאלות, ייבדקו רק ארבע התשובות הראשונות שבמחברת.

משך הבחינה שעתיים ורבע. מותרים מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות.

כאן פתורות כל שש השאלות, כדי שכל בחירה אפשרית של תלמיד תהיה מכוסה. בכל שאלה מופיעים הנתונים, השלבים והנימוק לכל שלב, ובסופה הערה קצרה על המקום שבו נופלים.

פרק ראשון, אשכול פיננסי כלכלי

שאלה 1, תכנון ליניארי (27 נקודות)

הנתונים. מסעדה מכינה בכל יום x מנות צמחוניות ו-y מנות בשריות. מערכת האילוצים:

סעיף א: סרטוט התחום האפשרי

שני האילוצים הראשונים מכניסים אותנו לרביע הראשון. לכל אחד משני האילוצים האחרים נסרטט את הישר שלו, בעזרת שתי נקודות החיתוך עם הצירים:

בשני האילוצים הסימן הוא "קטן או שווה", והנקודה (0 , 0) מקיימת את שניהם (0 ≤ 100 וגם 0 ≤ 58). לכן התחום נמצא מתחת לכל אחד משני הישרים, בצד של ראשית הצירים.

עכשיו נמצא את נקודת החיתוך של שני הישרים. נחסר את המשוואה השנייה מן הראשונה:

נקודת החיתוך היא (30 , 14).

על ציר ה-y הישר הנמוך יותר הוא x + 5y = 100 (הוא חותך ב-20, לפני 29), ועל ציר ה-x הישר הקרוב יותר הוא x + 2y = 58 (הוא חותך ב-58, לפני 100). לכן גבול התחום יורד מ-(0 , 20) לאורך הישר x + 5y = 100 עד (30 , 14), וממנה לאורך הישר x + 2y = 58 עד (58 , 0).

התחום האפשרי הוא המרובע שקודקודיו O(0 , 0) , A(0 , 20) , B(30 , 14) , C(58 , 0). (את האותיות A , B , C בחרנו אנחנו, כדי שיהיה נוח לדבר על הקודקודים. בשאלון הן אינן מופיעות.)

סעיף ב: פונקציית המטרה והרווח המרבי

(1) כל מנה צמחונית מכניסה 25 שקלים רווח, וכל מנה בשרית 55 שקלים. הרווח היומי:

P = 25x + 55y.

(2) ערך מרבי של פונקציית מטרה ליניארית על מצולע מתקבל באחד מקודקודיו, ולכן נציב את ארבעת הקודקודים:

הערך הגדול ביותר מתקבל ב-B. צריך למכור ביום 30 מנות צמחוניות ו-14 מנות בשריות, והרווח המרבי הוא 1,520 שקלים.

סעיף ג: אחרי שינוי המחירים

(1) הרווח ממנה צמחונית קטן ב-10 אחוזים, כלומר נשארים 90 אחוזים ממנו. הרווח ממנה בשרית גדל ב-20 אחוזים, כלומר הוא 120 אחוזים ממה שהיה:

הרווח ממנה צמחונית הוא עכשיו 22.5 שקלים, והרווח ממנה בשרית 66 שקלים.

(2) פונקציית המטרה החדשה היא P = 22.5x + 66y. התחום האפשרי לא השתנה, כי האילוצים לא השתנו, ולכן נבדוק שוב את אותם קודקודים:

הרווח המרבי החדש הוא 1,599 שקלים, שוב בקודקוד B. נחסר את הרווח המרבי הקודם:

הרווח המרבי של המסעדה ביום גדל ב-79 שקלים.

איפה נופלים בשאלה 1. בסעיף ג(2) נוטים להניח שהרווח המרבי החדש מתקבל באותו קודקוד, ולחשב רק אותו. כאן זה אכן יוצא כך, אבל זה לא מובטח מראש: שינוי במחירים עלול להעביר את המקסימום לקודקוד אחר, ולכן בודקים שוב את כולם. טעות נוספת היא לחשב 10 אחוזים כ-2.5 שקלים ולשכוח להחסיר אותם, או להוסיף 20 אחוזים לרווח של המנה הצמחונית במקום לבשרית.

שאלה 2, גאומטריה אנליטית (27 נקודות)

הנתונים. ABCD טרפז ישר זווית, AD מקביל ל-BC, והזווית ABC ישרה. הנקודה E היא אמצע הצלע AB. נתון E(3 , 0) ו-A(0 , 6). הקודקוד C נמצא על ציר ה-x.

סעיף א: הקודקוד B

E היא אמצע הקטע AB, ולכן כל שיעור שלה הוא הממוצע של השיעורים המתאימים של A ושל B. נסמן B(x , y):

מכאן B(6 , −6).

סעיף ב: שיפוע AB ומשוואת BC

(1) השיפוע בין A(0 , 6) לבין B(6 , −6):

שיפוע הצלע AB הוא −2.

(2) הזווית ABC ישרה, ולכן BC מאונכת ל-AB. מכפלת השיפועים של שני ישרים מאונכים היא −1:

הישר BC עובר דרך B(6 , −6). נציב בצורה y = mx + n:

משוואת הצלע BC היא y = 0.5x − 9.

סעיף ג: הקודקוד C

C נמצא על ציר ה-x, ולכן y = 0. הוא נמצא גם על הישר BC, ונציב:

מכאן C(18 , 0).

סעיף ד: איזו משוואה מתאימה ל-AD ואיזו ל-CD

הישר AD. בטרפז נתון ש-AD מקביל ל-BC, וישרים מקבילים הם בעלי שיפוע שווה. לכן שיפוע AD הוא 0.5, ונשארות שתי אפשרויות: משוואה I ומשוואה II. הישר AD עובר דרך A(0 , 6), ולכן הוא חותך את ציר ה-y בגובה 6. במשוואה I החיתוך הוא בגובה 3, ובמשוואה II בגובה 6.

לישר AD מתאימה משוואה II, y = 0.5x + 6.

הישר CD. נשארו משוואות III ו-IV, ושיפוע שתיהן 2. הישר CD עובר דרך C(18 , 0), ולכן נבדוק איזו מהן מתקיימת בנקודה הזאת:

לישר CD מתאימה משוואה III, y = 2x − 36.

סעיף ה: הקודקוד D ושטח המשולש ECD

(1) D היא נקודת החיתוך של AD ושל CD. נשווה את שתי המשוואות:

ונציב באחת מהן:

מכאן D(28 , 20). בדיקה במשוואה השנייה: 2 × 28 − 36 = 20, כנדרש.

(2) שני קודקודים של המשולש, E(3 , 0) ו-C(18 , 0), נמצאים על ציר ה-x. נוח לקחת את EC כבסיס: אורכו הוא הפרש שיעורי ה-x, והגובה אליו הוא המרחק של D מציר ה-x, כלומר שיעור ה-y של D:

שטח המשולש ECD הוא 150 יחידות שטח.

איפה נופלים בשאלה 2. בסעיף א מחשבים בטעות את הממוצע של A ושל E, כאילו B היא אמצע הקטע AE. הנתון הפוך: E היא האמצע, ו-B היא הקצה. בסעיף ב(2) מעתיקים את שיפוע AB במקום לחשב שיפוע מאונך. בסעיף ד לא די לומר "השיפוע מתאים": שתי משוואות מכל זוג בעלות אותו שיפוע, וההכרעה היא בנקודה שהישר עובר בה.

פרק שני, אשכול חברה ומדע

שאלה 3, התפלגות נורמלית (27 נקודות)

הנתונים. חשבונות החשמל בשכונה מתפלגים נורמלית, וסטיית התקן היא 160 שקלים. ל-16 אחוזים מן הדירות היה חשבון נמוך מ-400 שקלים.

קריאת הגרף. מתחת לציר יש 11 מלבנים ריקים, אחד לכל קו אנכי בגרף. האחוזים ברצועות, משמאל לימין, הם 0.5 , 1.5 , 5 , 9 , 15 , 19 , 19 , 15 , 9 , 5 , 1.5 , 0.5. כל רצועה ברוחב חצי סטיית תקן, והקו האמצעי, שבין שני ה-19, הוא קו הממוצע. לכן המלבנים מתאימים, משמאל לימין, לערכים שבמרחק 2.5 , 2 , 1.5 , 1 , 0.5 סטיות תקן מתחת לממוצע, לממוצע עצמו, ולאותם מרחקים מעליו.

סעיף א: הממוצע

נחבר את הרצועות מן הקצה השמאלי עד שנגיע ל-16 אחוזים:

ארבע הרצועות האלה מגיעות עד הקו שנמצא שתי רצועות משמאל לממוצע, כלומר במרחק סטיית תקן שלמה מתחת לממוצע. לכן 400 שקלים הם הממוצע פחות סטיית תקן אחת:

הממוצע של חשבונות החשמל הוא 560 שקלים.

סעיף ב: השלמת המלבנים

כל רצועה היא חצי סטיית תקן, כלומר 160 : 2 = 80 שקלים. נתחיל מן הממוצע, 560, ונלך בקפיצות של 80 לשני הכיוונים:

הערכים במלבנים, משמאל לימין: 160 , 240 , 320 , 400 , 480 , 560 , 640 , 720 , 800 , 880 , 960. המלבן הרביעי, 400, מסכים עם הנתון של סעיף א, וזו בדיקה טובה.

סעיף ג: אחוז הדירות ומספר הדירות

(1) לפי הטבלה, 400 שקלים הם המלבן הרביעי ו-800 שקלים הם המלבן התשיעי. נחבר את הרצועות שביניהם:

ל-77 אחוזים מן הדירות היה חשבון גבוה מ-400 שקלים ונמוך מ-800 שקלים.

(2) 77 אחוזים מן הדירות הם 1,232 דירות. נסמן ב-N את מספר הדירות בשכונה:

בשכונה 1,600 דירות.

סעיף ד: האם הדירה קיבלה התראה

ציון תקן 2.3 פירושו 2.3 סטיות תקן מעל הממוצע. נתרגם לשקלים:

כן, הדירה קיבלה התראה. החשבון שלה 928 שקלים, והוא גבוה מ-900 שקלים.

אפשר להגיע לאותה מסקנה גם מן הכיוון ההפוך: ציון התקן של 900 שקלים הוא (900 − 560) : 160 = 2.125, ו-2.3 גדול ממנו.

איפה נופלים בשאלה 3. הטעות השכיחה היא לחשוב שכל רצועה בגרף היא סטיית תקן שלמה, ואז 16 האחוזים "נוחתים" במרחק שתי סטיות תקן, והממוצע יוצא 720. הסימן לכך שכל רצועה היא חצי סטיית תקן הוא מספר הרצועות, שש בכל צד. בסעיף ג(2) נוטים להכפיל את 1,232 ב-0.77 במקום לחלק בו.

שאלה 4, מודל ריבועי (27 נקודות)

הנתונים. תומר זורק כדור ליואב. מסלול הכדור הוא הפרבולה y = −0.4x² + 2x + 1.1, כאשר x הוא המרחק האופקי מנקודת הזריקה במטרים, ו-y הוא גובה הכדור מעל הקרקע במטרים. הזריקה יוצאת מ-x = 0, ובאותו רגע הכדור בגובה 1.1 מטרים.

סעיף א: הגובה המרבי

מקדם x² שלילי, ולכן הפרבולה פונה כלפי מטה והקדקוד שלה הוא נקודת המקסימום. שיעור ה-x של הקדקוד:

ונציב כדי לקבל את הגובה:

הגובה המרבי שאליו הגיע הכדור הוא 3.6 מטרים, במרחק אופקי של 2.5 מטרים מנקודת הזריקה.

סעיף ב: מתי הכדור במגמת עלייה

פרבולה שפונה כלפי מטה עולה משמאל לקדקוד ויורדת מימינו. המסלול מתחיל בנקודת הזריקה, x = 0, ולכן הכדור עולה מן הזריקה ועד הקדקוד:

הכדור היה במגמת עלייה בעבור 0 < x < 2.5.

סעיף ג: הגובה ברגע שיואב תפס את הכדור

נציב x = 5.2:

יואב תפס את הכדור בגובה 0.684 מטרים מעל הקרקע, כלומר כ-68 ס"מ. זה מתאים לסרטוט, שבו יואב תופס את הכדור נמוך, מעט לפני שהוא נוחת.

סעיף ד: היכן הכדור היה פוגע בקרקע

הכדור פוגע בקרקע כשגובהו 0:

נכפול את שני האגפים ב-(−10), כדי לעבוד עם מקדמים שלמים וחיוביים:

בנוסחת השורשים:

ומכאן שתי האפשרויות:

הפתרון השלילי נפסל, כי הוא מאחורי נקודת הזריקה, והכדור לא היה שם.

הכדור היה פוגע בקרקע בנקודה שבה x = 5.5 מטרים. זה מסתדר עם סעיף ג: ב-5.2 מטרים הכדור עוד היה באוויר, בגובה 0.684 מטרים.

איפה נופלים בשאלה 4. בסעיף ב כותבים x < 2.5 בלי גבול תחתון. המסלול מתחיל ב-x = 0, ולפני כן לא היה כדור באוויר. בסעיף ד יש הנוטים לטעות בסימן בתוך השורש: המספר החופשי −11 שלילי, ולכן −4 × 4 × (−11) הוא חיבור של 176 ולא חיסור.

אשכול התמצאות במישור ובמרחב

שאלה 5, מבנה מקוביות (27 נקודות)

הנתונים. מבנה בנוי מקוביות זהות, וכל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת. החץ בסרטוט, בפינה השמאלית התחתונה, מסמן את כיוון המבט מלפנים.

קריאת המבנה. המבנה עומד על משטח של 4 שורות ו-4 עמודות. נעבור על השורות מן הקדמית, הקרובה לחץ, אל האחורית, ובכל שורה משמאל לימין, כפי שרואה אותן מי שעומד מלפנים:

• השורה הקדמית: קובייה בודדת בפינה השמאלית, שתי משבצות ריקות (רואים בהן את המשטח), וקובייה בודדת בפינה הימנית.
• השורה השנייה: קובייה בודדת משמאל, משבצת ריקה, קובייה בודדת, ועמודה של שתי קוביות מימין.
• השורה השלישית: קובייה בודדת משמאל, ואחריה שלוש עמודות של שתי קוביות.
• השורה האחורית: עמודה של שתי קוביות משמאל, ואחריה שלוש עמודות של שלוש קוביות.

סעיף א: המבט מימין והמבט מלפנים

המבט מלפנים. מי שעומד מלפנים רואה כל עמודה של המשטח כעמודה אחת, וגובהה הוא הגובה הגדול ביותר שיש בה, מן הקדמית ועד האחורית:

המבט מלפנים: ארבע עמודות, וגובהן משמאל לימין 2 , 3 , 3 , 3. בתבנית של 4 עמודות ו-3 שורות ממלאים הכול, חוץ מן המשבצת העליונה השמאלית (▢ משבצת מלאה, נקודה משבצת ריקה):

המבט מימין. מי שעומד מימין למבנה ומסתכל עליו רואה את השורה הקדמית בצד שמאל שלו ואת השורה האחורית בצד ימין. בכל שורה הוא רואה את הגובה הגדול ביותר שבה:

המבט מימין: ארבע עמודות, וגובהן משמאל לימין 1 , 2 , 2 , 3, מדרגות שעולות ימינה:

סעיף ב: תרשים המספרים

בתרשים המספרים כל משבצת של המשטח מקבלת את מספר הקוביות שעומדות בה. השורה האחורית כתובה למעלה, והקדמית, הקרובה למי שמסתכל מלפנים, למטה. נקודה מסמנת משבצת ריקה:

במילים: בשורה העליונה 2 , 3 , 3 , 3. בשורה השנייה 1 , 2 , 2 , 2. בשורה השלישית 1, ריק, 1 , 2. בשורה התחתונה 1, ריק, ריק, 1. סך הכול 24 קוביות.

סעיף ג: קובייה אחת שתשווה את המבט מלפנים למבט מאחור

מי שעומד מאחור רואה את אותן עמודות כמו מי שעומד מלפנים, אבל בסדר הפוך: העמודה הימנית של המבט מלפנים נמצאת אצלו משמאל. לכן המבט מאחור הוא תמונת ראי של המבט מלפנים:

כדי ששני המבטים יהיו זהים, המבט מלפנים צריך להיות סימטרי: העמודה השמאלית צריכה להיות בגובה של העמודה הימנית, כלומר 3. קובייה אחת יכולה להגביה עמודה רק אם היא מונחת על המשבצת הגבוהה ביותר בעמודה הזאת. בעמודה השמאלית המשבצת הגבוהה ביותר היא האחורית, בגובה 2.

מוסיפים קובייה על המשבצת האחורית השמאלית, והיא עולה מגובה 2 לגובה 3. עכשיו המבט מלפנים הוא 3 , 3 , 3 , 3, וגם המבט מאחור הוא 3 , 3 , 3 , 3.

תרשים המספרים לאחר ההוספה:

במילים: השורה העליונה 3 , 3 , 3 , 3, ושאר השורות לא השתנו. סך הכול 25 קוביות.

סעיף ד: אחרי הורדת הקוביות

(1) הורידו את הקובייה שהוסיפו, ולכן חזרנו ל-24 קוביות. בתרשים החדש:

הורידו 3 קוביות נוספות. אפשר גם לראות אותן ישירות, כשמשווים את התרשים החדש לתרשים של סעיף ב: בשורה האחורית המשבצת הימנית ירדה מ-3 ל-2, ובשורה השלישית המשבצת השלישית והמשבצת הימנית ירדו כל אחת מ-2 ל-1.

(2) נבדוק כל מבט:

• המבט מלמעלה מראה רק אילו משבצות תפוסות. לא התרוקנה אף משבצת, ולכן הוא לא השתנה.
• המבט מימין (הגובה הגדול ביותר בכל שורה): 1 , 2 , 2 , 3, כמו קודם. בשורה האחורית עדיין יש עמודות בגובה 3, ובשורה השלישית עדיין יש עמודה בגובה 2. הוא לא השתנה.
• המבט משמאל הוא תמונת ראי של המבט מימין, ולכן גם הוא לא השתנה.
• המבט מלפנים (הגובה הגדול ביותר בכל עמודה): בעמודה הימנית יש עכשיו 1 , 2 , 1 , 2, והגובה הגדול ביותר ירד מ-3 ל-2. המבט מלפנים עבר מ-2 , 3 , 3 , 3 ל-2 , 3 , 3 , 2.

המבט שהשתנה הוא המבט מלפנים.

איפה נופלים בשאלה 5. במבט מימין שוכחים שמי שעומד מימין רואה את השורה הקדמית בצד שמאל שלו, ומציירים את המדרגות הפוך. בסעיף ג מוסיפים קובייה על אחת המשבצות שבגובה 1 בעמודה השמאלית, אבל אז הגובה הגדול ביותר בעמודה נשאר 2, והמבט מלפנים לא משתנה. בסעיף ד(1) עונים 4, כי סופרים גם את הקובייה שהוסיפו, אבל השאלה שואלת על הקוביות הנוספות בלבד.

שאלה 6, חרוט וגליל (27 נקודות)

הנתונים. שלושה קונוסים זהים בצורת חרוט. רדיוס הבסיס של כל אחד 21 ס"מ, וגובהו 72 ס"מ. עמוד התמרור הוא גליל, גובהו גדול פי 3 מגובה הקונוס, ונפחו 3,456π סמ"ק.

סעיף א: הקו היוצר של קונוס

הגובה, רדיוס הבסיס והקו היוצר יוצרים משולש ישר זווית: הגובה והרדיוס הם הניצבים, והקו היוצר הוא היתר. לפי משפט פיתגורס:

הקו היוצר של כל קונוס הוא 75 ס"מ.

סעיף ב: שטח המעטפת של שלושת הקונוסים

שטח המעטפת של חרוט הוא π כפול הרדיוס כפול הקו היוצר:

ושלושה קונוסים:

שטח המעטפת של שלושת הקונוסים יחד הוא 4,725π סמ"ר, כלומר כ-14,844 סמ"ר.

סעיף ג: רדיוס הבסיס של העמוד

גובה העמוד:

נפח גליל הוא שטח הבסיס כפול הגובה. נסמן ב-R את רדיוס הבסיס של העמוד:

הפתרון השלילי נפסל, כי אורך אינו שלילי.

רדיוס הבסיס של העמוד הוא 4 ס"מ.

סעיף ד: מעטפת העמוד מול מעטפת הקונוסים

שטח המעטפת של גליל הוא היקף הבסיס כפול הגובה:

שטח המעטפת של העמוד קטן משטח המעטפת של שלושת הקונוסים יחד. לעמוד 1,728π סמ"ר, כ-5,429 סמ"ר, ולשלושת הקונוסים 4,725π סמ"ר, כ-14,844 סמ"ר. כדי להשוות אין צורך אפילו להציב את π: שני השטחים כתובים ככפולה של π, ודי להשוות את 1,728 ל-4,725.

איפה נופלים בשאלה 6. בסעיף ב מחשבים מעטפת של קונוס אחד ושוכחים להכפיל בשלושה, או משתמשים בגובה 72 במקום בקו היוצר 75. בסעיף ג מציבים בנוסחת הנפח את גובה הקונוס, 72, ולא את גובה העמוד, 216, ומקבלים R² = 48, שאינו נותן מספר שלם. בסעיף ד נוטים לחשב מעטפת של גליל כ-πR²h, שזו בכלל נוסחת הנפח.

התשובות בקצרה