מתמטיקה ג׳

לפני שמתחילים

השאלון בנוי משני פרקים ובהם שש שאלות. עונים על ארבע שאלות, ולפחות על שאלה אחת מכל פרק. כל שאלה שווה 27 נקודות, וסך הנקודות לא יעלה על 100. השאלון אינו מפרט ניקוד לתת-סעיפים. אם נענה על יותר מארבע שאלות, ייבדקו רק ארבע התשובות הראשונות שבמחברת.

משך הבחינה שעתיים ורבע. מותרים מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות.

כאן פתורות כל שש השאלות, כדי שכל בחירה אפשרית של תלמיד תהיה מכוסה. בכל שאלה מופיעים הנתונים, השלבים והנימוק לכל שלב, ובסופה הערה קצרה על המקום שבו נופלים.

פרק ראשון, אשכול פיננסי כלכלי

שאלה 1, תכנון ליניארי (27 נקודות)

הנתונים. מאפייה מכינה עוגות שוקולד ועוגות גבינה. כל עוגה עוברת שני שלבים: הכנת תערובת במכונה ואפייה בתנור. במחזור ייצור רגיל מכונת התערובת פועלת לכל היותר 48 דקות, והתנור לכל היותר 360 דקות.

x הוא מספר עוגות השוקולד, ו-y הוא מספר עוגות הגבינה במחזור ייצור.

סעיף א: מערכת האילוצים

לכל משאב שיש לו גבול כותבים אי-שוויון אחד: סך הזמן שכל העוגות דורשות ממנו לא יעלה על הזמן שעומד לרשותנו.

מכונת התערובת. כל עוגה, משני הסוגים, דורשת 4 דקות:

התנור. עוגת שוקולד נאפית 20 דקות, ועוגת גבינה 60 דקות:

ומכיוון שמספר עוגות אינו יכול להיות שלילי:

מערכת האילוצים: 4x + 4y ≤ 48 , 20x + 60y ≤ 360 , x ≥ 0 , y ≥ 0, ו-x ו-y מספרים שלמים.

כדאי לפשט לפני שממשיכים. נחלק את האילוץ הראשון ב-4 ואת השני ב-20:

סעיף ב: הנקודות A, B ו-C

בסרטוט יש שני ישרים. כדי לדעת איזה ישר הוא איזה, נמצא לכל אחד את נקודות החיתוך שלו עם הצירים:

בסרטוט הישר התלול חותך את ציר ה-y גבוה מעל A ויורד אל B, והישר המתון יוצא מ-A וממשיך אל מעבר ל-B. לכן הישר התלול הוא x + y = 12, והמתון הוא x + 3y = 18.

הנקודה A היא המקום שבו הישר המתון חותך את ציר ה-y, ולכן A(0 , 6).

הנקודה B היא המקום שבו הישר התלול חותך את ציר ה-x, ולכן B(12 , 0).

הנקודה C היא נקודת החיתוך של שני הישרים. נחסר את המשוואה הראשונה מן השנייה:

ונציב ב-x + y = 12:

מכאן C(9 , 3).

סעיף ג: פונקציית המטרה והרווח המקסימלי

(1) כל עוגת שוקולד מכניסה 47 שקלים, וכל עוגת גבינה 60 שקלים:

P = 47x + 60y

(2) הרווח המקסימלי מתקבל באחד מקודקודי התחום האפשרי. נציב את כל ארבעתם:

הערך הגדול ביותר מתקבל ב-C, ושיעוריה מספרים שלמים, כך שאפשר באמת להכין כמות כזאת.

צריך להכין 9 עוגות שוקולד ו-3 עוגות גבינה. הרווח המקסימלי הוא 603 שקלים.

סעיף ד: מחזור הייצור שבו הייתה הפסקת חשמל

במחזור הזה הכינו 9 עוגות שוקולד ו-2 עוגות גבינה. נציב בפונקציית המטרה:

ונשווה לרווח המקסימלי של מחזור רגיל:

הרווח קטן ב-60 שקלים. אפשר לראות זאת גם בלי חישוב מלא: לעומת הפתרון המקסימלי חסרה בדיוק עוגת גבינה אחת, ועוגת גבינה מכניסה 60 שקלים.

איפה נופלים בשאלה 1. הטעות הנפוצה היא לשייך את A ו-B לישר הלא נכון. לפני שקוראים נקודות מן הסרטוט, מחשבים את נקודות החיתוך של כל ישר עם הצירים ומשווים לסרטוט. טעות נוספת היא לבדוק בסעיף ג רק את C ולהכריז שהיא המקסימום. צריך להציב את כל הקודקודים ולהשוות.

שאלה 2, גאומטריה אנליטית (27 נקודות)

הנתונים. במרובע ABCD הקודקוד A נמצא על ציר ה-x, הצלע CD מקבילה לציר ה-x, והצלע AB מאונכת לצלע AD. משוואת הצלע AB היא y = −½x + 5. בהמשך נתונים גם משוואת האלכסון BD, y = 0.75x + 2.5, האורך CD = 4, והנקודה E שהיא אמצע הצלע AD.

סעיף א: הקודקוד A והצלע AD

(1) הקודקוד A נמצא על ציר ה-x, ולכן שיעור ה-y שלו הוא 0. נציב במשוואת AB:

מכאן A(10 , 0).

(2) הצלע AD מאונכת ל-AB. מכפלת השיפועים של שני ישרים מאונכים היא מינוס 1, ושיפוע AB הוא מינוס חצי:

הישר AD עובר דרך A(10 , 0). נציב במשוואה y = 2x + n:

משוואת הצלע AD היא y = 2x − 20.

סעיף ב: הקודקוד D

הקודקוד D נמצא גם על הצלע AD וגם על האלכסון BD, ולכן הוא נקודת החיתוך של שני הישרים. נשווה:

ונציב במשוואת AD:

מכאן D(18 , 16). בדיקה במשוואת BD: 0.75 × 18 + 2.5 = 13.5 + 2.5 = 16. מתאים.

סעיף ג: הקודקוד C

הצלע CD מקבילה לציר ה-x, ולכן ל-C ול-D אותו שיעור y, כלומר 16. אורך הצלע 4, ולכן שיעורי ה-x שלהן רחוקים זה מזה ב-4. בסרטוט C נמצא משמאל ל-D, כלומר שיעור ה-x שלו קטן יותר:

מכאן C(14 , 16).

סעיף ד: היקף המשולש CDE

נמצא תחילה את E, אמצע הקטע AD, בעזרת נוסחת אמצע קטע:

מכאן E(14 , 8).

עכשיו שלוש הצלעות:

CD נתונה, והיא 4.

CE. ל-C(14 , 16) ול-E(14 , 8) אותו שיעור x, ולכן הקטע אנכי, ואורכו הוא הפרש שיעורי ה-y:

DE. כאן אין שיעור משותף, ונשתמש בנוסחת המרחק בין שתי נקודות:

(שימו לב: CD אופקית ו-CE אנכית, ולכן במשולש CDE יש זווית ישרה ב-C, ו-DE היא היתר. החישוב שעשינו הוא בדיוק משפט פיתגורס.)

נחבר:

היקף המשולש CDE הוא 12 + √80, בערך 20.94 יחידות אורך. (אפשר גם לכתוב 12 + 4√5.)

איפה נופלים בשאלה 2. בסעיף א(2) מעתיקים את השיפוע מינוס חצי במקום להפוך אותו ולשנות את סימנו, ומקבלים ישר שאינו מאונך. בסעיף ג יש מי שמוסיפים 4 לשיעור ה-x ומקבלים נקודה מימין ל-D. הסרטוט מכריע כאן: C משמאל ל-D.

פרק שני, אשכול חברה ומדע

שאלה 3, התפלגות נורמלית (27 נקודות)

הנתונים. המרחקים שנסעו שליחי חברה בחודש מסוים מתפלגים נורמלית, והממוצע הוא 1,470 ק"מ. 7% מן השליחים נסעו פחות מ-810 ק"מ. בגרף ההתפלגות שבסוף השאלה 12 רצועות, ובהן משמאל לימין האחוזים 0.5 , 1.5 , 5 , 9 , 15 , 19 , 19 , 15 , 9 , 5 , 1.5 , 0.5, ומתחת לציר 11 מלבנים ריקים, אחד בכל קו גבול שבין שתי רצועות.

הגרף הזה בנוי בצעדים של חצי סטיית תקן. האחוזים 19 , 15 , 9 , 5 , 1.5 הם השטחים של רצועות ברוחב חצי סטיית תקן, מן הממוצע והלאה, ו-0.5% הוא כל מה שנשאר מעבר ל-2.5 סטיות תקן. הקו שבין שתי הרצועות של 19% הוא הממוצע, והמלבן שמתחתיו הוא המלבן האמצעי.

סעיף א: סטיית התקן, והשלמת הגרף

(1) נחפש בגרף איפה מצטברים 7% משמאל. נחבר רצועות מן הקצה השמאלי:

הקו שמשמאלו 7% רחוק מן הממוצע שלוש רצועות, 9 , 15 ו-19. שלוש רצועות של חצי סטיית תקן הן סטייה וחצי, כלומר זה הקו של ציון תקן מינוס 1.5, ועליו יושב המספר 810:

סטיית התקן היא 440 ק"מ.

(2) מן הממוצע זזים בצעדים של חצי סטיית תקן, 220 ק"מ כל צעד, לשני הכיוונים. המלבן האמצעי הוא הממוצע, ויש חמישה מלבנים מכל צד שלו:

במלבנים, משמאל לימין: 370 , 590 , 810 , 1,030 , 1,250 , 1,470 , 1,690 , 1,910 , 2,130 , 2,350 , 2,570. כדאי לבדוק שהמלבן השלישי משמאל הוא 810, הנתון שממנו התחלנו.

סעיף ב: בין הממוצע לבין 1,910 ק"מ

בטבלה, 1,910 יושב על הקו של ציון תקן 1. אפשר גם לחשב:

בין הממוצע לבין ציון תקן 1 יש שתי רצועות:

34% מן השליחים נסעו מרחק גדול מן הממוצע וקטן מ-1,910 ק"מ.

סעיף ג: כמה שליחים בחברה

170 שליחים נסעו מרחק בתחום הזה, ומסעיף ב אלה 34% מכלל השליחים. נסמן ב-N את מספר השליחים:

בחברה 500 שליחים.

סעיף ד: האם דני קיבל תוספת

נחשב את ציון התקן של 2,482 ק"מ:

לא, דני לא קיבל תוספת לשכר. ציון התקן שלו הוא 2.3, והתוספת ניתנה רק למי שציון התקן שלו גבוה מ-2.6. אפשר לבדוק גם מן הכיוון ההפוך: ציון תקן 2.6 מתאים למרחק 1,470 + 2.6 × 440 = 2,614 ק"מ, ודני נסע פחות מזה.

איפה נופלים בשאלה 3. הטעות השכיחה היא להניח שכל רצועה היא סטיית תקן שלמה, ואז 810 נראה רחוק מן הממוצע שלוש סטיות, וסטיית התקן יוצאת 220. סופרים רצועות ומחברים אחוזים: שלוש רצועות הן סטייה וחצי. בסעיף ג מחלקים ב-0.34 ולא כופלים בו.

שאלה 4, מודל ריבועי (27 נקודות)

הנתונים. נועם גולש בסקייטבורד על מסלול בצורת הפרבולה y = 0.4x² − 1.2x. ציר ה-x מונח על פני הקרקע ומודד במטרים את המרחק האופקי מן הנקודה O, וציר ה-y מודד במטרים את גובה המסלול ביחס לקרקע. המסלול מתחיל בראשית O ומסתיים בנקודה A שעל ציר ה-x.

סעיף א: אורך הקטע OA

הנקודות O ו-A הן נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-x, כלומר שם y = 0:

x = 0 היא הנקודה O, ולכן A(3 , 0).

אורך הקטע OA הוא 3 מטרים.

סעיף ב: הנקודה הנמוכה ביותר במסלול

המקדם של x² חיובי, 0.4, ולכן הפרבולה פתוחה כלפי מעלה, והקודקוד שלה הוא הנקודה הנמוכה ביותר. שיעור ה-x של הקודקוד:

(זה בדיוק באמצע בין שתי נקודות החיתוך, 0 ו-3.) נציב כדי לקבל את הגובה:

הנקודה הנמוכה ביותר במסלול היא (1.5 , −0.9). כלומר 1.5 מטרים מ-O, ו-0.9 מטרים מתחת לפני הקרקע.

סעיף ג: מתי נועם גלש במגמת ירידה

בפרבולה שפתוחה כלפי מעלה הגרף יורד משמאל לקודקוד ועולה מימינו. המסלול מתחיל ב-x = 0, ולכן הירידה היא מתחילת המסלול ועד הקודקוד.

נועם גלש במגמת ירידה בעבור 0 < x < 1.5.

סעיף ד: הנקודות שבגובה מינוס 0.5

נציב y = −0.5 במשוואת המסלול:

נכפול ב-10 כדי להיפטר מן השברים העשרוניים:

ונשתמש בנוסחת השורשים:

שני הערכים נמצאים בין 0 ל-3, כלומר על המסלול. בדיקה: 0.4 × 0.25 − 0.6 = −0.5, ו-0.4 × 6.25 − 3 = −0.5. מתאים.

נועם עבר בנקודות שגובהן מינוס 0.5 בעבור x = 0.5 ובעבור x = 2.5.

איפה נופלים בשאלה 4. בסעיף ב עוצרים אחרי שיעור ה-x של הקודקוד, והשאלה מבקשת את שיעורי הנקודה, כלומר גם את y. בסעיף ג כותבים x < 1.5 בלי הגבול 0, ושוכחים שהמסלול מתחיל ב-O. בסעיף ד מציבים 0.5 במקום מינוס 0.5, ומקבלים נקודות שאינן על המסלול.

אשכול התמצאות במישור ובמרחב

שאלה 5, ראייה מרחבית (27 נקודות)

הנתונים. מבנה בנוי מקוביות זהות על משטח של 4 שורות ו-4 עמודות. כל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת, והחץ מסמן את כיוון המבט מלפנים: מי שמסתכל מלפנים רואה את הפאות הגדולות והבהירות של הקוביות.

סעיף א: תרשים המספרים

בתרשים המספרים כותבים בכל משבצת כמה קוביות עומדות בה. השורה העליונה בתרשים היא השורה האחורית, והתחתונה היא הקדמית, הקרובה למי שמסתכל מלפנים. נקרא את הסרטוט שורה אחר שורה, מלפנים לאחור:

• השורה הקדמית. משמאל מגדל של 2 קוביות. אחריו שתי משבצות ריקות: רואים בהן את רצפת המשטח. מימין קובייה אחת.
• השורה השנייה. משמאל קובייה אחת: רואים את הפאה הצדדית שלה ואת פיסת הגג שלה בין המגדל הקדמי לבין המגדל שמאחוריו. שתי משבצות האמצע ריקות, והרצפה נראית גם כאן. מימין קובייה אחת, שגגה באותו גובה כמו הקובייה הקדמית.
• השורה השלישית. משמאל מגדל של 2 קוביות. המשבצת השנייה ריקה, והרצפה נראית בה עד הקיר האחורי. בשלישית קובייה אחת, ובימנית מגדל של 2 קוביות.
• השורה האחורית. משמאל לימין: 2 קוביות, 2 קוביות, המגדל הגבוה ביותר במבנה ובו 4 קוביות, ו-3 קוביות.

תרשים המספרים (נקודה מסמנת משבצת ריקה):

במילים: בשורה העליונה משמאל לימין 2 , 2 , 4 , 3. בשנייה 2 , ריק , 1 , 2. בשלישית 1 , ריק , ריק , 1. בתחתונה 2 , ריק , ריק , 1. סך הכול 21 קוביות.

סעיף ב: איזה תרשים מתאר כל מבט

מתרשים המספרים מחשבים כל מבט בלי לנחש:

מבט מלפנים. כל עמודה של התרשים נדחסת לעמודה אחת, וגובהה הוא המספר הגדול ביותר שבה. נעבור על העמודות משמאל לימין, ואת כל עמודה נקרא בתרשים מלמעלה למטה:

גבהים 2 , 2 , 4 , 3. כך בדיוק נראה תרשים I.

מבט מימין. כל שורה של התרשים נדחסת לעמודה אחת. מי שעומד מימין למבנה רואה את השורה הקדמית בצד שמאל שלו ואת האחורית בצד ימין. הגבהים, מן השורה הקדמית אל האחורית: 2 , 1 , 2 , 4. כך נראה תרשים IV.

מבט מלמעלה. רואים רק אילו משבצות תפוסות. השורה האחורית תפוסה כולה. בשורה השלישית ריקה רק המשבצת השנייה משמאל. בשתי השורות הקדמיות תפוסות רק המשבצות הקיצוניות. כך נראה תרשים II.

תרשים III מראה גבהים 3 , 4 , 1 , 2. אין במבנה מבט כזה: המבט מלפנים הוא 2 , 2 , 4 , 3, המבט מימין 2 , 1 , 2 , 4, והמבט משמאל, כפי שנראה בסעיף ג, 4 , 2 , 1 , 2.

התשובה: תרשים I הוא המבט מלפנים, תרשים IV הוא המבט מימין, תרשים II הוא המבט מלמעלה, ותרשים III אינו מתאר שום מבט של המבנה.

סעיף ג: המבט משמאל

מי שעומד משמאל למבנה רואה את השורה האחורית בצד שמאל שלו ואת הקדמית בצד ימין. זו תמונת הראי של המבט מימין. הגבהים, מן השורה האחורית אל הקדמית:

המבט משמאל: ארבע עמודות, ומשמאל לימין גובהן 4 , 2 , 1 , 2. בתבנית של 4 על 4 צובעים כך (■ משבצת צבועה, נקודה משבצת ריקה, השורה העליונה היא הגובה הרביעי):

סך הכול 9 משבצות צבועות.

סעיף ד: הוספת 5 קוביות

נשווה את המבט מלמעלה החדש למבט מלמעלה של המבנה (תרשים II). ההבדל היחיד הוא בשורה הקדמית: המשבצת השלישית משמאל, שהייתה ריקה, תפוסה עכשיו. כל שאר המשבצות נשארו כפי שהיו. מכאן שלושה תנאים:

1. במשבצת הקדמית השלישית חייבת לעמוד לפחות קובייה אחת.
2. אסור להניח קובייה במשבצת ריקה אחרת, אחרת המבט מלמעלה ישתנה.
3. המבט מלפנים לא משתנה, ולכן הגובה הגדול ביותר בכל עמודה נשאר 2 , 2 , 4 , 3. המשבצת החדשה נמצאת בעמודה השלישית, שגובהה 4, ולכן אפשר להניח בה עד 4 קוביות.

נניח 4 קוביות במשבצת החדשה. את הקובייה החמישית נניח על הקובייה הבודדת שבמשבצת השמאלית של השורה השנייה. העמודה השמאלית נשארת כך בגובה 2, וזה הגובה שלה במבט מלפנים.

תרשים מספרים אפשרי אחרי ההוספה:

בדיקה: 21 + 5 = 26 קוביות. המבט מלפנים: 2 , 2 , 4 , 3, כמו קודם. המבט מלמעלה: בדיוק התרשים הנתון.

יש עוד תשובות נכונות. כל תרשים שעומד בשלושת התנאים מתקבל, למשל קובייה אחת במשבצת החדשה ועוד ארבע על משבצות תפוסות, כל עוד אף עמודה אינה עוברת את הגובה שלה במבט מלפנים.

איפה נופלים בשאלה 5. בסעיף א הופכים את סדר השורות וכותבים את השורה הקדמית למעלה. בסעיף ב ובסעיף ג מתבלבלים בין ימין לשמאל: מי שעומד מימין רואה את הקדמית בצד שמאל שלו, ומי שעומד משמאל רואה אותה בצד ימין. בסעיף ד מניחים 5 קוביות במשבצת החדשה, ואז העמודה השלישית מגיעה לגובה 5 והמבט מלפנים משתנה.

שאלה 6, גופים במרחב (27 נקודות)

הנתונים. קרטון החלב של יום א' הוא תיבה שבסיסה ריבוע: הגובה 24 ס"מ, וצלע הבסיס 6.5 ס"מ. לדני 7 כוסות זהות בצורת גליל, רדיוס הבסיס של כל כוס 3 ס"מ, ושטח המעטפת שלה 48π סמ"ר.

סעיף א: נפח קרטון החלב

נפח תיבה הוא שטח הבסיס כפול הגובה. הבסיס ריבוע שצלעו 6.5:

נפח קרטון החלב הוא 1,014 סמ"ק.

סעיף ב: גובה הכוס ונפחה

(1) שטח המעטפת של גליל הוא היקף הבסיס כפול הגובה, כלומר 2πrh. נציב r = 3:

גובה הכוס הוא 8 ס"מ.

(2) נפח גליל הוא שטח הבסיס כפול הגובה:

נפח הכוס הוא 72π, בערך 226.19 סמ"ק.

סעיף ג: האם החלב יספיק

בכל כוס רוצים 85% מנפחה:

ובשבע כוסות:

לא, החלב לא יספיק. כדי למלא 85% מכל שבע הכוסות צריך בערך 1,345.86 סמ"ק, ובקרטון יש רק 1,014 סמ"ק. חסרים בערך 331.86 סמ"ק, והחלב שבקרטון מספיק ל-5 כוסות בלבד.

סעיף ד: צלע הבסיס של הקרטון של יום ב'

גם הקרטון הזה תיבה שבסיסה ריבוע וגובהה 24 ס"מ. נסמן ב-a את צלע הבסיס:

(הפתרון השלילי של המשוואה נפסל, כי אורך צלע הוא מספר חיובי.)

צלע הבסיס של הקרטון של יום ב' היא √62.5, בערך 7.91 ס"מ. והיא באמת ארוכה מ-6.5 ס"מ, כמו שמתאים לקרטון גדול יותר באותו גובה.

איפה נופלים בשאלה 6. בסעיף ב(1) מחלקים 48 ב-3 ושוכחים את ה-2 שבנוסחת המעטפת, ומקבלים גובה 16. בסעיף ג משווים את נפח הקרטון לנפח המלא של שבע כוסות, בלי ה-85%. כאן התשובה יוצאת "לא" בשני המקרים, אבל הנימוק חייב להיות על 85%. בסעיף ד מחלקים 1,500 ב-24 ועוצרים ב-62.5, שהוא שטח הבסיס ולא הצלע.

התשובות בקצרה