התשובות הסופיות · נדב כץ
מתמטיקה א׳
שאלון 35471 · קיץ, מועד א׳ · תשפ״ד · 2024
שאלה, סעיף והתשובה. בלי דרך ובלי הסבר, כדי לבדוק מהר אם צדקתם. מי שרוצה לראות איך מגיעים לתשובה ימצא את הדרך בפתרון המלא.
פרק ראשון: סטטיסטיקה והסתברות
שאלה 1 25 נקודות
התפלגות נורמלית: אחוז מתחת לערך, אחוזון וסטיית תקן
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | 68.4% (לפי הטבלה שבדפי הנוסחאות. בטבלה מדויקת יותר 68.44%) |
| ב(1) | 17.1% מכלל המלפפונים |
| ב(2) | 7.71 ס"מ |
| ג | σ = 2.4 ס"מ (הממוצע במשלוח החדש 11.5 ס"מ) |
שאלה 2 25 נקודות
דיאגרמת פיזור, מקדם מתאם וישר רגרסיה
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | דיאגרמת פיזור עם ארבע נקודות: (0 , 1500) , (1 , 1800) , (3 , 2900) , (4 , 3800). ציר x: מספר הילדים, ציר y: ההוצאה החודשית על דלק בשקלים. הנקודות עולות משמאל לימין וכמעט על קו ישר |
| ב(1) | x̄ = 2 ילדים , ȳ = 2,500 שקלים |
| ב(2) | r ≈ 0.986 |
| ג | y = 570x + 1360 |
| ד(1) | גדלה. כל הערכים של y מוכפלים ב-1.06, ולכן גם סטיית התקן מוכפלת ב-1.06 (מכ-913.8 לכ-968.6) |
| ד(2) | לא השתנה. הכפלת כל ערכי y במספר חיובי אינה משנה את ציוני התקן, ולכן r נשאר כשהיה |
שאלה 3 25 נקודות
הסתברות: טבלה דו-ממדית והסתברות מותנית
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א(1) | 0.8 (ארבע חמישיות) |
| א(2) | 0.07 |
| ב | 0.9 |
| ג | 365 דירות (במתחם 500 דירות) |
פרק שני: גאומטרייה
שאלה 4 25 נקודות
גאומטריה אנליטית: טרפז ישר זווית, ישרים מקבילים ומאונכים, זוויות ושטח
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | B(0 , 6) |
| ב | C(−6 , 0) |
| ג | ∢CBO = 45° |
| ד(1) | y = 0.5x + 3 |
| ד(2) | ∢CHB ≈ 116.57° |
| ה | 3 יחידות שטח |
שאלה 5 25 נקודות
מעגל, משיק, חוצה זווית ודמיון משולשים
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | MA ⊥ CD (רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה), ∢CMA = ∢DMA (MA חוצה זווית), MA צלע משותפת. לכן △CMA ≅ △DMA לפי ז.צ.ז., ומכאן MC = MD, והמשולש CMD שווה שוקיים |
| ב | B(0 , 14) , A(−6 , 2) |
| ג | C(−18 , 8) |
| ד(1) | ME : MC = MF : MD = 1 : 2 (אמצעי קטעים), והזווית M משותפת. לכן △CMD ∼ △EMF לפי צ.ז.צ. |
| ד(2) | 4 : 1 (שטח CMD פי 4 משטח EMF) |
פרק שלישי: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי
שאלה 6 25 נקודות
פונקציה רציונלית: תחום, אסימפטוטות, קיצון, סקיצה וזיהוי גרף הנגזרת
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א(1) | x ≠ 3 וגם x ≠ −3 |
| א(2) | x = 3 , x = −3 , y = 6 |
| ב | (0 , 4) נקודת מקסימום |
| ג | (0 , 4) , (√6 , 0) , (−√6 , 0) |
| ד | גרף זוגי (סימטרי לציר ה-y), אסימפטוטות x = ±3 ו-y = 6. משמאל ל-x = −3 הגרף עולה מקרוב ל-y = 6 (מעליו) אל +∞. בין −3 ל-3 הוא עולה מן −∞, חותך ב-(−√6 , 0), מגיע למקסימום (0 , 4), יורד, חותך ב-(√6 , 0) ויורד אל −∞. מימין ל-x = 3 הוא יורד מן +∞ ומתקרב ל-y = 6 מלמעלה |
| ה | גרף IV. f′(0) = 0 ולכן גרף הנגזרת עובר בראשית (II ו-III אינם עוברים בה), ו-f′(x) > 0 לכל x < 0 בתחום (בגרף I הענף שמשמאל ל-x = −3 שלילי) |
| ו(1) | לא נכון. כאשר x > 3, המונה −36x שלילי והמכנה חיובי, ולכן f′(x) < 0 והשיפוע שלילי |
| ו(2) | נכון. כאשר x < −3, המונה −36x חיובי והמכנה חיובי, ולכן f′(x) > 0 |
שאלה 7 25 נקודות
פונקציית שורש עם פרמטר: תחום, קיצון, סקיצה ופונקציה שנגזרתה נתונה
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | b = 12 |
| ב | x ≤ 2.5 |
| ג | (0 , √5) ≈ (0 , 2.24) |
| ד | (0.5 , 2.25) מקסימום , (2.5 , 1.25) מינימום בקצה התחום |
| ה | הגרף קיים רק עבור x ≤ 2.5. הוא עולה מן −∞ (משמאל), חותך את ציר ה-x ב-(−10 , 0) ואת ציר ה-y ב-(0 , √5), מגיע למקסימום (0.5 , 2.25), ויורד אל נקודת הקצה (2.5 , 1.25), שבה הוא נגמר |
| ו | x = −10, נקודת מקסימום של g. כאשר x < −10, f(x) < 0 ולכן g′(x) = −f(x) חיובית ו-g עולה. כאשר −10 < x < 2.5, f(x) > 0 ולכן g′(x) שלילית ו-g יורדת |
שאלה 8 25 נקודות
בעיית קיצון: שטח משולש שקודקודיו על גרף פונקציה רציונלית
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | B(t , 48t² + 1) , C(−t , 48t² + 1) |
| ב | t = 4 (השטח המינימלי 24 יחידות שטח) |
| ג | 8 + 4√13 ≈ 22.42 יחידות אורך |