מתמטיקה א׳

לפני שמתחילים

זה השאלון הראשון של 4 יחידות לימוד בתוכנית החדשה. יש בו שמונה שאלות בשלושה פרקים: סטטיסטיקה והסתברות (שאלות 1 עד 3), גאומטרייה (שאלות 4 ו-5), וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי (שאלות 6 עד 8). עונים על ארבע שאלות, ולפחות על שאלה אחת מכל פרק. כל שאלה שווה 25 נקודות, וארבע שאלות הן 100 נקודות. מי שעונה על יותר מארבע, נבדקות לו רק ארבע התשובות הראשונות שבמחברת, ולכן כדאי להחליט מראש על איזו שאלה מוותרים. השאלון אינו מפרט ניקוד לתת-סעיפים.

משך הבחינה ארבע שעות ורבע. מותרים מחשבון לא גרפי ודפי הנוסחאות המצורפים.

כאן פתורות כל שמונה השאלות. בכל שאלה מופיעים הנתונים, השלבים והנימוק לכל שלב, ובסופה הערה קצרה על המקום שבו נופלים.

פרק ראשון: סטטיסטיקה והסתברות

שאלה 1, התפלגות נורמלית (25 נקודות)

הנתונים. נסמן ב-X את אורכו של מלפפון, בס"מ. X מתפלג נורמלית, הממוצע הוא μ = 10.56 וסטיית התקן היא σ = 3. מלפפון שאורכו קטן מ-12 ס"מ נארז בקופסת שימורים רגילה, וכל השאר נארזים בקופסאות גדולות.

בכל השאלה נעבור בין אורך לציון תקן בנוסחה שבדפי הנוסחאות:

ונקרא את ההסתברויות בטבלת ההתפלגות הנורמלית שבדפי הנוסחאות. הטבלה נותנת את P(Z < z): השורה היא ציון התקן עד הספרה הראשונה אחרי הנקודה, והעמודה היא הספרה השנייה.

סעיף א: אחוז המלפפונים בקופסאות הרגילות

נחשב את ציון התקן של 12 ס"מ:

בטבלה, בשורה 0.4 ובעמודה 8, רשום 0.6840:

68.4% מן המלפפונים נארזים בקופסאות שימורים רגילות.

הטבלה שבדפי הנוסחאות מעוגלת באזור הזה לשלוש ספרות. בטבלה מדויקת יותר מתקבל 0.6844, כלומר 68.44%, וההפרש אינו משנה דבר בהמשך.

סעיף ב: המלפפונים הקצרים במיוחד

(1) רבע מן המלפפונים שבקופסאות הרגילות נחשבים קצרים במיוחד. כלומר, רבע מתוך 68.4%, ולא רבע מכלל המלפפונים:

17.1% מכלל המלפפונים הם קצרים במיוחד.

(2) הקצרים במיוחד הם, כמובן, הקצרים ביותר. לכן הם תופסים את 17.1% התחתונים של ההתפלגות, והמלפפון הארוך ביותר ביניהם יושב בדיוק על הגבול: מתחת לאורך שלו נמצאים 17.1% מן המלפפונים. נסמן את האורך הזה ב-L:

ההסתברות קטנה מחצי, ולכן ציון התקן שלילי, כלומר L קצר מן הממוצע. מחפשים את 0.1710 בגוף הטבלה, ומוצאים אותו בשורה −0.9, בעמודה 5. לכן z = −0.95, ונחזור לאורך:

אורכו של המלפפון הארוך ביותר מבין הקצרים במיוחד הוא 7.71 ס"מ.

סעיף ג: סטיית התקן במשלוח החדש

נסמן ב-Y את האורך במשלוח החדש, וגם הוא מתפלג נורמלית.

הממוצע. 50% מן המלפפונים קצרים מ-11.5 ס"מ. ההתפלגות הנורמלית סימטרית סביב הממוצע, ולכן בדיוק חצי מן הערכים נמצאים מתחת לממוצע. מכאן μ = 11.5.

ציון התקן של 14.26. 12.5% ארוכים מ-14.26 ס"מ, ולכן כל השאר קצרים ממנו:

בטבלה הערך 0.8750 נמצא בשורה 1.1, בעמודה 5, ולכן z = 1.15.

סטיית התקן.

סטיית התקן של האורכים במשלוח החדש היא 2.4 ס"מ.

איפה נופלים בשאלה 1. בסעיף ב(1) לוקחים 25% מכלל המלפפונים במקום רבע מ-68.4%. בסעיף ב(2) מחפשים בטבלה 0.25 (שוב אותה טעות), או לוקחים z חיובי ומקבלים מלפפון "קצר במיוחד" שארוך מן הממוצע. ובסעיף ג מחפשים בטבלה 0.125 במקום 0.875, מקבלים z שלילי וסטיית תקן שלילית. סטיית תקן שלילית היא תמיד סימן שהשטח נלקח מן הצד הלא נכון.

שאלה 2, מתאם ורגרסיה (25 נקודות)

הנתונים. x הוא מספר הילדים של זוג, ו-y הוא ההוצאה החודשית של הזוג על דלק, בשקלים. במדגם ארבעה זוגות:

נתון גם S_y = √835,000.

סעיף א: דיאגרמת הפיזור

על הציר האופקי מסמנים את x, מספר הילדים, מ-0 עד 4. על הציר האנכי מסמנים את y, ההוצאה החודשית בשקלים. כל הערכים בין 1,500 ל-3,800, ולכן נוח להתחיל את הציר האנכי ב-1,000 (ולסמן שבירה ליד הראשית) ולסמן שנתות כל 500 שקלים.

מסמנים ארבע נקודות:

ורושמים ליד כל נקודה את ערכיה על הצירים, כפי שהשאלה מבקשת. כבר כאן רואים שהנקודות עולות משמאל לימין וכמעט מסתדרות על קו ישר. כדאי לזכור את התמונה הזאת, כי בסעיף ב נצפה לקבל מתאם חיובי וחזק.

סעיף ב: ממוצעים ומקדם המתאם

(1) הממוצעים:

במדגם יש לזוג בממוצע 2 ילדים, וההוצאה החודשית הממוצעת על דלק היא 2,500 שקלים.

(2) בדפי הנוסחאות מקדם המתאם הוא

נבנה טבלה של הסטיות מן הממוצע ושל המכפלות שלהן:

סטיית התקן של x אינה נתונה, ונחשב אותה מעמודת הסטיות:

כדאי לבדוק בדרך גם את הנתון של S_y, באותה עמודה של y:

בדיוק הנתון, ולכן גם הממוצע ȳ = 2500 נכון. עכשיו מציבים:

מקדם המתאם הוא r ≈ 0.986. זה מתאם חיובי חזק מאוד, בדיוק כמו שרמזה הדיאגרמה.

סעיף ג: ישר הרגרסיה

בדפי הנוסחאות:

אפשר להציב את r המעוגל, אבל יש דרך נקייה יותר. נציב במקום r את הביטוי המלא שלו מסעיף ב: S_y מצטמצם, ונשאר

(מי שמציב r = 0.986 מקבל 0.986 × 913.78 : 1.581 ≈ 569.8, כלומר 570 עד כדי עיגול.) הישר עובר בנקודת הממוצעים (2 , 2500):

משוואת ישר הרגרסיה היא y = 570x + 1360. במילים: כל ילד נוסף מוסיף, לפי הניבוי, כ-570 שקלים להוצאה החודשית על דלק.

סעיף ד: עלייה של 6% בכל ההוצאות

עלייה של 6% פירושה שכל ערך של y מוכפל ב-1.06. x לא השתנה.

(1) סטיית התקן של y גדלה. כשכל הערכים מוכפלים ב-1.06, גם הממוצע מוכפל ב-1.06, ולכן כל סטייה מן הממוצע מוכפלת ב-1.06. סטיית התקן היא "סטייה ממוצעת", ולכן גם היא מוכפלת ב-1.06:

(2) מקדם המתאם לא השתנה. בדפי הנוסחאות יש צורה נוספת של r, דרך ציוני התקן:

ציון התקן של y הוא (y − ȳ) : S_y. גם המונה וגם המכנה מוכפלים ב-1.06, ולכן ציון התקן של כל זוג נשאר כשהיה. אם כל ציוני התקן לא השתנו, גם r לא השתנה. ובשפה של הדיאגרמה: כל הנקודות "נמתחו" כלפי מעלה באותו יחס, והן מסודרות על קו ישר בדיוק כמו קודם.

איפה נופלים בשאלה 2. בסעיף ב מחשבים את Sₓ בחלוקה ב-3 (מספר הזוגות פחות 1) במקום ב-4. בדפי הנוסחאות מחלקים ב-N, והבדיקה של S_y מול הנתון מראה שזו השיטה של השאלון. ובסעיף ד חושבים שאם ההוצאות גדלו, גם הקשר "התחזק". המתאם מודד עד כמה הנקודות קרובות לקו ישר, לא את גובה הנקודות, ולכן הוא לא זז.

שאלה 3, הסתברות (25 נקודות)

הנתונים. במתחם דירות שפונות לפארק ודירות שפונות לכביש:

• ההסתברות שדירה פונה לפארק היא 34, ולכן ההסתברות שהיא פונה לכביש היא 14.
• מספר הדירות המשופצות גדול פי 4 ממספר הדירות שאינן משופצות.
• 28% מן הדירות שפונות לכביש משופצות.

הכלי הנוח כאן הוא טבלה דו-ממדית של הסתברויות: שורה לכל כיוון, עמודה לכל מצב, וסכומים בשוליים. נמלא אותה בהדרגה לאורך הסעיפים.

סעיף א: דירה מכל המתחם

(1) נסמן את מספר הדירות שאינן משופצות ב-k. אז יש 4k דירות משופצות, ובסך הכול 5k דירות:

ההסתברות לבחור דירה משופצת היא 0.8.

(2) 28% מן הדירות שפונות לכביש משופצות. זו הסתברות מותנית, "מתוך הדירות שפונות לכביש", ולכן כדי לקבל את ההסתברות של "גם וגם" מכפילים:

ההסתברות לבחור דירה שגם פונה לכביש וגם משופצת היא 0.07.

עכשיו אפשר להשלים את כל הטבלה בחיסורים בלבד:

למשל, 0.18 = 0.25 − 0.07, ו-0.73 = 0.80 − 0.07. בדיקה: בתא של פארק ולא משופצת מתקבל אותו מספר משני הכיוונים, 0.75 − 0.73 = 0.02 וגם 0.20 − 0.18 = 0.02.

סעיף ב: דירה מבין הדירות שאינן משופצות

הפעם הבחירה נעשית רק בין הדירות שאינן משופצות, ולכן זו הסתברות מותנית. מתוך העמודה "לא משופצת" לוקחים את החלק של הכביש:

ההסתברות שהדירה פונה לכביש היא 0.9.

זה גבוה, וזה הגיוני: כמעט כל הדירות שפונות לפארק משופצות, ולכן מי שלא שופצה היא כמעט תמיד דירה שפונה לכביש.

סעיף ג: מספר הדירות

35 דירות הן גם בכיוון הכביש וגם משופצות, ולפי הטבלה זה 0.07 מכל הדירות:

הדירות שפונות לפארק ומשופצות הן 0.73 מן המתחם:

365 דירות במתחם פונות לפארק ומשופצות.

בדיקה במספרים: 125 דירות פונות לכביש, ו-28% מהן הן 35. בסך הכול 400 דירות משופצות, ו-400 − 35 = 365.

איפה נופלים בשאלה 3. בסעיף ב עונים 0.18, ההסתברות של "גם לא משופצת וגם כביש", במקום לחלק בהסתברות של הקבוצה שממנה בוחרים. טעות שנייה היא לענות 0.72, שזו ההסתברות ההפוכה: מתוך הדירות שפונות לכביש, כמה אינן משופצות. המשפט "בוחרים מבין..." הוא תמיד הסימן לחלוקה.

פרק שני: גאומטרייה

שאלה 4, גאומטריה אנליטית (25 נקודות)

הנתונים. ABCD טרפז ישר זווית, AB ∥ DC ו-∢D = 90°. הקודקוד B על ציר ה-y, והקודקוד C על החלק השלילי של ציר ה-x. הבסיס CD חותך את ציר ה-y בנקודה H. הנקודה E(2 , 7) נמצאת על הבסיס AB, ומשוואת השוק AD היא y = −2x + 16.

סעיף א: הקודקוד B

∢D = 90°, ולכן AD מאונכת ל-DC. אבל AB מקבילה ל-DC, וישר שמאונך לאחד משני ישרים מקבילים מאונך גם לשני. לכן AD מאונכת גם ל-AB. מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא מינוס 1, ושיפוע AD הוא מינוס 2:

הישר AB עובר דרך E(2 , 7):

הקודקוד B על ציר ה-y, כלומר x = 0, ולכן y = 6.

B(0 , 6).

סעיף ב: הקודקוד C

C על ציר ה-x, ולכן C(c , 0). נשתמש בנוסחת המרחק עם הנתון BC = √72:

C על החלק השלילי של ציר ה-x, ולכן c = −6.

C(−6 , 0).

סעיף ג: הזווית CBO

המשולש CBO ישר זווית ב-O, כי הצירים מאונכים זה לזה. הניצבים הם OC = 6 ו-OB = 6. מול הזווית CBO נמצא הניצב OC, והניצב שלידה הוא OB:

∢CBO = 45°. (משולש ישר זווית ושווה שוקיים, ולכן שתי הזוויות החדות שוות.)

סעיף ד: הישר CD והזווית CHB

(1) CD מקביל ל-AB, ולכן גם שיפועו 0.5. הישר עובר דרך C(−6 , 0):

משוואת הישר CD היא y = 0.5x + 3.

(2) H היא נקודת החיתוך של CD עם ציר ה-y. נציב x = 0 ונקבל H(0 , 3).

נסתכל קודם על המשולש CHO, שהוא ישר זווית ב-O. הניצבים הם OC = 6 ו-OH = 3:

אבל השאלה שואלת על ∢CHB, לא על ∢CHO. על ציר ה-y הנקודה B(0 , 6) נמצאת מעל H, והנקודה O(0 , 0) מתחת ל-H. לכן HB ו-HO הן שתי קרניים הפוכות על אותו ישר, והזוויות CHB ו-CHO צמודות, כלומר סכומן 180°:

∢CHB ≈ 116.57°. הזווית קהה, וכך היא נראית גם בסרטוט.

סעיף ה: שטח המשולש CBE

ניקח את BE כבסיס. BE מונח על הישר AB, ולכן הגובה מ-C אליו הוא המרחק של C מן הישר AB. הנקודה C נמצאת על DC, שמקביל ל-AB, ולכן המרחק הזה הוא בדיוק המרחק בין שני הבסיסים של הטרפז, כלומר הגובה של הטרפז. השוק AD מאונכת לשני הבסיסים, ולכן הגובה הזה הוא האורך AD.

נמצא את A ואת D.

A היא החיתוך של AB עם AD:

D היא החיתוך של CD עם AD:

כלומר A(4 , 8) ו-D(5.2 , 5.6). עכשיו שני האורכים:

והשטח:

שטח המשולש CBE הוא 3 יחידות שטח.

בדיקה. E(2 , 7) היא בדיוק אמצע הקטע שבין B(0 , 6) ל-A(4 , 8). לכן שטח CBE הוא חצי משטח המשולש CBA, שלו אותו גובה ובסיס כפול. AB = √20, ולכן

וחצי מזה הוא 3, כמו שקיבלנו.

איפה נופלים בשאלה 4. בסעיף ב שוכחים לפסול את c = 6, אף שהשאלה אומרת במפורש שהקודקוד על החלק השלילי של הציר. בסעיף ד(2) מחשבים את ∢CHO, הזווית שבתוך המשולש, ומגישים 63.43° בלי לשים לב ש-B נמצאת מעל H ולא מתחתיה.

שאלה 5, מעגל ומשיק (25 נקודות)

הנתונים. AB קוטר במעגל שמרכזו M. הקטע CD משיק למעגל בנקודה A. B היא אחת מנקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה-y. AM חוצה את הזווית CMD.

סעיף א: המשולש CMD שווה שוקיים

נשווה בין המשולשים CMA ו-DMA:

1. ∢MAC = ∢MAD = 90°, כי רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה, ו-MA הוא רדיוס לנקודת ההשקה A.
2. ∢CMA = ∢DMA, כי נתון ש-MA חוצה את הזווית CMD.
3. MA צלע משותפת לשני המשולשים.

לכן △CMA ≅ △DMA לפי משפט החפיפה ז.צ.ז. (זווית, הצלע שביניהן, זווית). מן החפיפה נובע שהצלעות המתאימות שוות: MC = MD.

במשולש CMD יש שתי צלעות שוות, MC = MD, ולכן הוא שווה שוקיים.

(אפשר לומר זאת גם כך: במשולש CMD הקטע MA הוא גם גובה וגם חוצה זווית, ומשולש שבו גובה וחוצה זווית מאותו קודקוד מתלכדים הוא שווה שוקיים.)

סעיף ב: הנקודות B ו-A

ממשוואת המעגל (x + 3)² + (y − 8)² = 45 קוראים את המרכז, M(−3 , 8), ואת ריבוע הרדיוס, 45.

B על ציר ה-y, ולכן x = 0:

נתון ששיעור ה-y של B גדול מ-8, ולכן B(0 , 14).

A היא הקצה השני של הקוטר AB, ולכן M היא אמצע הקטע AB:

B(0 , 14) ו-A(−6 , 2).

בדיקה: (−6 + 3)² + (2 − 8)² = 9 + 36 = 45, ולכן A באמת על המעגל. שימו לב שגם (0 , 2) נמצאת על המעגל ועל ציר ה-y, אבל היא איננה A: היא לא הקצה הנגדי של B.

סעיף ג: הנקודה C

קודם כול משוואת המשיק CD. שיפוע הרדיוס MA:

המשיק מאונך לרדיוס, ולכן שיפועו −0.5. הוא עובר דרך A(−6 , 2):

נתון ש-CM מקביל לציר ה-x, ולכן ל-C אותו שיעור y כמו ל-M, כלומר 8. נציב במשוואת המשיק:

C(−18 , 8). זה מתאים לסרטוט: C רחוקה שמאלה, בגובה של M.

סעיף ד: המשולשים CMD ו-EMF

(1) E היא אמצע CM, ולכן ME = MC : 2. F היא אמצע DM, ולכן MF = MD : 2. מכאן

הזווית EMF והזווית CMD הן אותה זווית, כי E על הקרן MC ו-F על הקרן MD.

שתי צלעות פרופורציוניות והזווית שביניהן שווה, ולכן △CMD ∼ △EMF לפי משפט הדמיון צ.ז.צ. (דרך אחרת: EF הוא קטע אמצעים במשולש CMD, ולכן גם EF = CD : 2, ושלוש הצלעות פרופורציוניות.)

(2) יחס הדמיון בין CMD ל-EMF הוא 2. יחס השטחים של משולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון:

שטח המשולש CMD גדול פי 4 משטח המשולש EMF.

בדיקה במספרים: במשולש שווה השוקיים CMD הגובה MA הוא גם תיכון, ולכן A אמצע CD, ומכאן D(6 , −4). CA = √12² + 6² = √180, ולכן CD = 2√180, ו-MA = √45:

ושטח EMF הוא רבע מזה, 22.5.

איפה נופלים בשאלה 5. בסעיף ב לוקחים את B(0 , 2) או, אחרי שמצאו את B, את A(0 , 2), נקודת החיתוך השנייה עם ציר ה-y, במקום הקצה הנגדי של הקוטר. בסעיף ד(2) עונים 2, יחס הצלעות, במקום ריבועו.

פרק שלישי: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי

שאלה 6, פונקציה רציונלית (25 נקודות)

הנתונים. f(x) = 2x² : (x² − 9) + 4.

סעיף א: תחום ההגדרה והאסימפטוטות

(1) אסור שהמכנה יתאפס:

התחום: x ≠ 3 וגם x ≠ −3.

(2) אסימפטוטות אנכיות. ב-x = 3 וב-x = −3 המכנה מתאפס, והמונה אינו מתאפס שם: 2 × 9 = 18. לכן שני הישרים הם אסימפטוטות אנכיות.

אסימפטוטה אופקית. במונה ובמכנה של השבר אותה מעלה, 2, ולכן כש-x גדל מאוד (בערכו המוחלט) השבר מתקרב ליחס המקדמים המובילים, 2 : 1 = 2. לזה מוסיפים 4:

האסימפטוטות: x = 3 , x = −3 , y = 6.

סעיף ב: נקודת הקיצון

נגזור את השבר בכלל המנה שבדפי הנוסחאות. המספר 4 נגזר לאפס:

נשווה לאפס. שבר מתאפס כשהמונה מתאפס:

עכשיו טבלת סימנים. המכנה (x² − 9)² הוא ריבוע, ולכן חיובי בכל התחום, והסימן של f′ הוא הסימן של −36x:

נקודת הקיצון היא (0 , 4), והיא נקודת מקסימום.

סעיף ג: נקודות החיתוך עם הצירים

עם ציר ה-y (x = 0): כבר חישבנו, f(0) = 4, כלומר (0 , 4).

עם ציר ה-x (f(x) = 0):

שני הערכים שונים מ-±3, ולכן שניהם בתחום.

(0 , 4) , (√6 , 0) , (−√6 , 0).

סעיף ד: סקיצה

נאסוף את מה שכבר ידוע:

• אסימפטוטות אנכיות x = −3 ו-x = 3, ואסימפטוטה אופקית y = 6.
• מקסימום ב-(0 , 4), חיתוך עם ציר ה-x ב-(±√6 , 0).
• הפונקציה זוגית: f(−x) = f(x), כי x מופיע רק בריבוע. לכן הגרף סימטרי לציר ה-y.
• כש-|x| > 3 מתקיים 2x² : (x² − 9) − 2 = 18 : (x² − 9) > 0, ולכן f(x) > 6. בשני הקצוות הגרף מתקרב ל-y = 6 מלמעלה.

הגרף בנוי משלושה חלקים:

• משמאל ל-x = −3: הגרף עולה. הוא מתחיל קרוב ל-y = 6 (מעליו) ונמשך כלפי מעלה אל +∞ כשמתקרבים ל-x = −3.
• בין x = −3 ל-x = 3: הגרף מתחיל במינוס אינסוף ליד x = −3, עולה, חותך את ציר ה-x ב-(−√6 , 0), מגיע לשיא (0 , 4), יורד, חותך שוב ב-(√6 , 0), ונופל אל מינוס אינסוף ליד x = 3. זו צורה של כיפה, כמו האות U הפוכה.
• מימין ל-x = 3: הגרף יורד מפלוס אינסוף ליד x = 3 ומתקרב ל-y = 6 מלמעלה.

סעיף ה: איזה גרף מתאר את f′

מה שידוע על f′(x) = −36x : (x² − 9)²:

1. f′(0) = 0, ולכן גרף הנגזרת עובר בראשית הצירים.
2. f′ חיובית לכל x < 0 בתחום (גם משמאל ל-x = −3 וגם בין −3 ל-0), ושלילית לכל x > 0. זו בדיוק טבלת הסימנים מסעיף ב.
3. גם ל-f′ יש אסימפטוטות אנכיות ב-x = ±3, וכש-|x| גדל היא מתקרבת ל-0.

נבדוק את הגרפים:

• II ו-III: הענף האמצעי חותך את ציר ה-y מעל הראשית, כלומר f′(0) > 0. נפסלים לפי 1.
• I: עובר בראשית, אבל הענף שמשמאל ל-x = −3 נמצא מתחת לציר ה-x, כלומר שם f′ < 0, ובענף האמצעי הוא שלילי משמאל לראשית. נפסל לפי 2.
• IV: הענף השמאלי מעל הציר, הענף האמצעי מעל הציר משמאל לראשית, עובר בראשית ויורד מתחת לציר מימינה, והענף הימני מתחת לציר ומתקרב אליו. מתאים לכל שלושת הסימנים.

גרף IV מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x).

סעיף ו: נכון או לא נכון

(1) לא נכון. כאשר x > 3, המונה −36x שלילי והמכנה (x² − 9)² חיובי, ולכן f′(x) < 0. שיפוע המשיק בכל נקודה בתחום הזה שלילי, וזה מתאים לכך שבסעיף ב מצאנו שהפונקציה יורדת שם.

(2) נכון. כאשר x < −3, המונה −36x חיובי (מינוס כפול מספר שלילי) והמכנה חיובי, ולכן f′(x) > 0 בכל נקודה בתחום, ושיפוע המשיק חיובי.

איפה נופלים בשאלה 6. בסעיף ב שוכחים את הנגזרת של המכנה בכלל המנה, או שוכחים שהמספר 4 נגזר לאפס, ומקבלים נגזרת שאינה מתאפסת ב-0. בסעיף ה בוחרים גרף לפי "צורה דומה" לגרף של f, במקום לבדוק שני דברים פשוטים: האם הגרף עובר בראשית, ומה הסימן שלו בכל קטע.

שאלה 7, פונקציית שורש (25 נקודות)

הנתונים. f(x) = √5 − 2x + bx, ו-b > 0 הוא פרמטר. הגרף חותך את ציר ה-x בנקודה (−10 , 0).

סעיף א: הערך של b

הנקודה (−10 , 0) על הגרף, ולכן f(−10) = 0:

b = 12. הערך חיובי, כמו שנדרש.

מכאן והלאה f(x) = √5 − 2x + 0.5x.

סעיף ב: תחום ההגדרה

מה שבתוך השורש לא יכול להיות שלילי:

התחום: x ≤ 2.5.

סעיף ג: החיתוך עם ציר ה-y

(0 , √5).

סעיף ד: נקודות הקיצון

לפי דפי הנוסחאות, הנגזרת של √u(x) היא u′(x) : (2√u(x)). כאן u = 5 − 2x ו-u′ = −2:

הנגזרת מוגדרת רק כאשר x < 2.5 (בקצה, x = 2.5, המכנה מתאפס). נשווה לאפס:

בדיקת סימן משני הצדדים:

לכן (0.5 , 2.25) היא נקודת מקסימום.

נשארה נקודת הקצה של התחום, x = 2.5:

בין 0.5 ל-2.5 הפונקציה יורדת, ולכן ליד הקצה כל ערכי הפונקציה גדולים מ-1.25. זו נקודת מינימום בקצה התחום.

(0.5 , 2.25) נקודת מקסימום , (2.5 , 1.25) נקודת מינימום בקצה התחום.

משמאל אין עוד קיצון: הפונקציה עולה כל הדרך מ-x קטן מאוד עד 0.5. למשל f(−50) = √105 − 25 ≈ −14.75, כלומר משמאל הגרף יורד בלי גבול.

סעיף ה: סקיצה

• הגרף קיים רק עבור x ≤ 2.5, ומסתיים בנקודה (2.5 , 1.25).
• משמאל הוא בא ממינוס אינסוף ועולה.
• הוא חותך את ציר ה-x ב-(−10 , 0) ואת ציר ה-y ב-(0 , √5).
• הוא מגיע לשיא (0.5 , 2.25), ויורד אל נקודת הקצה (2.5 , 1.25), שבה הוא נגמר.

סעיף ו: נקודת הקיצון הפנימית של g

נתון g′(x) = −f(x). נקודת קיצון פנימית של g היא נקודה שבה g′ מתאפסת ומחליפה סימן, כלומר נקודה שבה f מתאפסת ומחליפה סימן.

איפה f מתאפסת? לפי סעיפים ד ו-ה:

• בקטע x ≤ 0.5 הפונקציה עולה, ולכן היא חוצה את ציר ה-x פעם אחת בלבד, ב-x = −10.
• בקטע 0.5 ≤ x ≤ 2.5 הפונקציה יורדת מ-2.25 ל-1.25, ולכן היא חיובית שם.

כלומר f מתאפסת רק ב-x = −10. עכשיו הסימנים:

לפונקציה g יש נקודת קיצון פנימית ב-x = −10, והיא נקודת מקסימום.

איפה נופלים בשאלה 7. בסעיף ד שוכחים את נקודת הקצה (2.5 , 1.25). בסעיף ו עונים x = 0.5, הקיצון של f, כאילו השאלה עוסקת בה. הנגזרת של g היא f עצמה (עם מינוס), ולכן מה שחשוב הוא איפה f מתאפסת, לא איפה יש לה קיצון. ומי ששוכח את המינוס מקבל מינימום במקום מקסימום.

שאלה 8, בעיית קיצון (25 נקודות)

הנתונים. f(x) = 48 : x² + 1. הנקודה A היא (0 , −2). הנקודות B ו-C על גרף הפונקציה, BC מקביל לציר ה-x, ושיעור ה-x של B הוא t, כאשר t > 0.

סעיף א: B ו-C באמצעות t

B על הגרף, ולכן שיעור ה-y שלה הוא f(t):

BC מקביל לציר ה-x, ולכן ל-C אותו שיעור y. נמצא את שיעור ה-x שלה:

x = t היא B עצמה, ולכן ל-C נשאר x = −t (וכך גם בסרטוט: C משמאל לציר ה-y).

B(t , 48t² + 1) , C(−t , 48t² + 1).

סעיף ב: השטח המינימלי

ניקח את BC כבסיס. הוא אופקי, ולכן אורכו הוא הפרש שיעורי ה-x:

הגובה מ-A לבסיס הוא ההפרש בין שיעור ה-y של BC לבין שיעור ה-y של A:

השטח כפונקציה של t:

נגזור ונשווה לאפס:

בדיקת סימן:

לכן ב-t = 4 יש מינימום, והשטח המינימלי הוא S(4) = 12 + 12 = 24.

t = 4.

סעיף ג: היקף המשולש

נציב t = 4:

ולכן B(4 , 4), C(−4 , 4) ו-A(0 , −2). שלוש הצלעות:

(AB = AC, וזה צפוי: A על ציר הסימטריה של הגרף, ולכן המשולש שווה שוקיים.)

היקף המשולש ABC הוא 8 + 4√13, כ-22.42 יחידות אורך.

איפה נופלים בשאלה 8. בגובה. שיעור ה-y של A שלילי, ולכן הגובה הוא (48t² + 1) + 2, לא (48t² + 1) − 2. טעות שנייה: לקחת t כאורך הבסיס במקום 2t. ובסעיף ג שוכחים ש"היקף" הוא סכום שלוש הצלעות, ומגישים את השטח 24.

התשובות בקצרה