התשובות הסופיות · נדב כץ
מתמטיקה א׳
שאלון 35471 · חורף · תשפ״ד · 2024
שאלה, סעיף והתשובה. בלי דרך ובלי הסבר, כדי לבדוק מהר אם צדקתם. מי שרוצה לראות איך מגיעים לתשובה ימצא את הדרך בפתרון המלא.
פרק ראשון: סטטיסטיקה והסתברות
שאלה 1 25 נקודות
התפלגות נורמלית: סטיית תקן, אחוזון וציון תקן
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | σ = 0.9 ק"ג |
| ב | כ-4.61 ק"ג (4.606 ק"ג) |
| ג(1) | 1.74% |
| ג(2) | 348 תינוקות |
| ד | כ-3.53 ק"ג (3.534 ק"ג) |
שאלה 2 25 נקודות
מתאם ורגרסיה לינארית
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א(1) | ȳ ≈ 21.55 (אחוזים) |
| א(2) | sy ≈ 8.86 |
| ב | 16.3% |
| ג | לא. לפי ישר הרגרסיה הניבוי הוא 38.9, אבל זו הערכה בלבד: r = 0.871 אינו 1, הנקודות אינן מונחות כולן על הישר, ולכן הערך האמיתי יכול להיות שונה |
שאלה 3 25 נקודות
הסתברות: דיאגרמת עץ, הסתברות מותנית ונוסחת ברנולי
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | 740 (0.175) |
| ב(1) | 3140 (0.775) |
| ב(2) | 1531 (כ-0.484) |
| ג | p = 14 או p = 34 |
פרק שני: גאומטרייה
שאלה 4 25 נקודות
גאומטריה אנליטית: טרפז ישר זווית, אלכסונים מאונכים, זוויות ושטחים
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | y = 0.5x + 8 |
| ב | A(4 , 0) , B(−16 , 0) , C(−1 , 10) , D(4 , 10) |
| ג(1) | ∢ABD ≈ 26.57° |
| ג(2) | ∢BCD ≈ 146.31° |
| ד | 25 יחידות שטח |
| ה | F(9 , 10) או F(−11 , 10) |
שאלה 5 25 נקודות
מעגל, משיק, דלתון ודמיון משולשים
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | AB = 503 ≈ 16.67 |
| ב | MO = MD כי שניהם רדיוסים, ו-BO = BD כי אלה שני משיקים למעגל מן הנקודה B (המעגל משיק לציר ה-x בראשית O). למרובע OMDB שני זוגות של צלעות סמוכות שוות, ולכן הוא דלתון |
| ג(1) | ∢A משותפת, ∢ADM = 90° (רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה) ו-∢AOB = 90° (הצירים מאונכים). שתי זוויות שוות, ולכן △ADM ∼ △AOB לפי ז.ז. |
| ג(2) | r = 5 |
| ד | x² + (y − 5)² = 25 |
| ה | כן. ∢MOB = ∢MDB = 90°, זוויות נגדיות שסכומן 180°. מרכז המעגל החוסם הוא אמצע MB: (5 , 2.5) |
פרק שלישי: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי
שאלה 6 25 נקודות
פונקציה רציונלית: קריאת גרף הנגזרת, אסימפטוטות ושטח בעזרת פונקציה קדומה
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | x = 0, נקודת מקסימום |
| ב | עלייה: x < −4 וגם −4 < x < 0. ירידה: 0 < x < 4 וגם x > 4 |
| ג | ביטוי III: f(x) = x²x² − 16 + 1. ביטוי I מוגדר גם ב-x = ±4, ולביטוי II אסימפטוטה אופקית y = 3 |
| ד | (0 , 1) , (2√2 , 0) , (−2√2 , 0) |
| ה | גרף זוגי (סימטרי לציר ה-y), אסימפטוטות x = 4, x = −4, y = 2. משמאל ל-x = −4 הגרף עולה מעל y = 2 אל +∞. בין −4 ל-4 הוא עולה מן −∞, חותך ב-(−2√2 , 0), מגיע למקסימום (0 , 1), יורד, חותך ב-(2√2 , 0) ויורד אל −∞. מימין ל-x = 4 הוא יורד מפלוס אינסוף ומתקרב ל-y = 2 מלמעלה |
| ו | 13 יחידות שטח |
שאלה 7 25 נקודות
פונקציית שורש: תחום, חיתוך, קיצון והזזה אנכית
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | x ≤ 5 |
| ב | (0 , 0) , (5 , 0) |
| ג | (0 , 0) מינימום , (4 , 16√2) ≈ (4 , 22.63) מקסימום , (5 , 0) מינימום בקצה התחום |
| ד | הגרף קיים רק עבור x ≤ 5 ואינו שלילי. הוא יורד משמאל אל המינימום (0 , 0), שבו הוא נוגע בציר ה-x, עולה אל המקסימום (4 , 16√2), ויורד אל נקודת הקצה (5 , 0) |
| ה | c = 16√2 − 20 ≈ 2.63 |
שאלה 8 25 נקודות
פונקציה רציונלית: אסימפטוטות ובעיית קיצון של היקף מלבן
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | x = 1 , y = 2 |
| ב | A(−2 , 5) |
| ג | 9 יחידות שטח |