מתמטיקה א׳

לפני שמתחילים

זה השאלון הראשון של 4 יחידות לימוד בתוכנית החדשה. יש בו שמונה שאלות בשלושה פרקים: סטטיסטיקה והסתברות (שאלות 1 עד 3), גאומטרייה (שאלות 4 ו-5), וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי (שאלות 6 עד 8). עונים על ארבע שאלות, ולפחות על שאלה אחת מכל פרק. כל שאלה שווה 25 נקודות, וארבע שאלות הן 100 נקודות. מי שעונה על יותר מארבע, נבדקות לו רק ארבע התשובות הראשונות שבמחברת, ולכן כדאי להחליט מראש על איזו שאלה מוותרים. השאלון אינו מפרט ניקוד לתת-סעיפים.

משך הבחינה ארבע שעות ורבע. מותרים מחשבון לא גרפי ודפי הנוסחאות המצורפים.

כאן פתורות כל שמונה השאלות. בכל שאלה מופיעים הנתונים, השלבים והנימוק לכל שלב, ובסופה הערה קצרה על המקום שבו נופלים.

פרק ראשון: סטטיסטיקה והסתברות

שאלה 1, התפלגות נורמלית (25 נקודות)

הנתונים. נסמן ב-X את משקל הלידה של תינוק בעיר, בק"ג. X מתפלג נורמלית, והממוצע הוא μ = 3.4. נתון גם ש-96.41% מן התינוקות שוקלים פחות מ-5.02 ק"ג, כלומר P(X < 5.02) = 0.9641.

בכל השאלה נעבור בין משקל לציון תקן בנוסחה שבדפי הנוסחאות:

ונקרא את ההסתברויות בטבלת ההתפלגות הנורמלית שבדפי הנוסחאות. הטבלה נותנת את P(z < z₀): השורה היא הספרה הראשונה אחרי הנקודה, והעמודה היא הספרה השנייה.

סעיף א: סטיית התקן

הפעם ההסתברות ידועה וציון התקן לא. מחפשים את 0.9641 בגוף הטבלה, ומוצאים אותו בשורה 1.8, בעמודה 0. לכן ציון התקן של 5.02 ק"ג הוא z = 1.8.

סטיית התקן היא 0.9 ק"ג.

סעיף ב: המשקל של אורי

אורי שוקל פחות מ-9% מן התינוקות, כלומר 9% מן התינוקות כבדים ממנו. כל השאר, 100% − 9% = 91%, שוקלים פחות ממנו:

בטבלה הערך 0.9100 נמצא בשורה 1.3, בעמודה 4. לכן ציון התקן של אורי הוא z = 1.34. נחזור ממנו למשקל:

אורי נולד במשקל של כ-4.61 ק"ג.

ציון התקן חיובי, ובאמת אורי כבד מן הממוצע. זו בדיקה טובה: מי שקיבל כאן משקל נמוך מ-3.4 הפך את הניסוח.

סעיף ג: משקל נמוך מאוד

(1) נחשב את ציון התקן של 1.5 ק"ג:

בטבלה, בשורה −2.1 ובעמודה 1, רשום 0.0174:

1.74% מן התינוקות בעיר נולדים במשקל נמוך מאוד.

(2) 1.74% מתוך 20,000 תינוקות:

לפי הטבלה, 348 תינוקות נולדו באותה שנה במשקל נמוך מאוד.

סעיף ד: הממוצע בעיר של שחר

שחר נולד באותו משקל כמו אורי, 4.606 ק"ג. לשניהם אותו ציון תקן, ולכן גם ציון התקן של שחר הוא 1.34. בעיר של שחר סטיית התקן היא 0.8, והממוצע μ לא ידוע:

המשקל הממוצע בעיר של שחר הוא כ-3.53 ק"ג.

איפה נופלים בשאלה 1. בסעיף ב, בניסוח "נמוך ממשקלם של 9%". מי שמחפש בטבלה את 0.09 מקבל z = −1.34 ומשקל של כ-2.19 ק"ג, תינוק קל מן הממוצע, וזה ההפך מן הנתון. השאלה הנכונה היא תמיד: כמה אחוזים נמצאים מתחת לנקודה? מלכודת שנייה בסעיפים א ו-ב: בסעיף א מחפשים מספר בגוף הטבלה ולא בעמודת ה-z, כי שם ידועה ההסתברות ולא ציון התקן.

שאלה 2, מתאם ורגרסיה (25 נקודות)

הנתונים. במחקר 12 מדינות. x הוא אחוז הגידול השנתי של האוכלוסייה, ו-y הוא אחוז הילדים בני 0 עד 14. ידועים:

ומשוואת ישר הרגרסיה לניבוי y לפי x היא y = 11.3x + 16.3.

בדפי הנוסחאות יש שתי עובדות שנשתמש בהן:

סעיף א: הממוצע וסטיית התקן של y

(1) מן הצורה y − ȳ = m(x − x̄) רואים שכאשר x = x̄ מתקבל y = ȳ. במילים אחרות, ישר הרגרסיה עובר תמיד בנקודת הממוצעים (x̄ , ȳ). לכן נציב x̄ במשוואה:

הממוצע של אחוז הילדים הוא כ-21.55.

(2) השיפוע של הישר הוא m = 11.3. נציב בנוסחת השיפוע:

סטיית התקן של אחוז הילדים היא כ-8.86.

סעיף ב: מדינה שאין בה גידול

"אין גידול שנתי" פירושו x = 0:

לפי ישר הרגרסיה, אחוז הילדים במדינה הזאת הוא 16.3%.

סעיף ג: האם אחוז הילדים הוא בדיוק 38.9

נציב x = 2:

הישר אכן נותן 38.9, אבל לא, אי אפשר להסיק שאחוז הילדים הוא בדיוק 38.9. ישר הרגרסיה נותן ניבוי, כלומר הערכה. מקדם המתאם r = 0.871 מראה קשר לינארי חזק, אבל הוא אינו 1, ולכן הנקודות של המדינות אינן מונחות כולן על הישר. במדינה מסוימת אחוז הילדים יכול להיות גבוה או נמוך מן הניבוי.

איפה נופלים בשאלה 2. בסעיף א(1) מחפשים נוסחה מסובכת לממוצע, ושוכחים שהישר עובר בנקודת הממוצעים. בסעיף א(2) מבלבלים בין sₓ ל-s_y בנוסחת השיפוע: sₓ במכנה, s_y במונה. ובסעיף ג: מי שעונה "כן, כי הצבנו בישר" מפספס את מה שהשאלה בודקת, שניבוי אינו ודאות.

שאלה 3, הסתברות (25 נקודות)

הנתונים. בכל ניסיון יש קליעה או החטאה. בניסיון הראשון ההסתברות לקליעה היא 35, ולכן להחטאה 25. ההסתברות בניסיון השני תלויה במה שקרה בראשון:

• אחרי קליעה: קליעה 23, החטאה 13.
• אחרי החטאה: קליעה 716, החטאה 916.

נבנה עץ ונכפול לאורך כל ענף. כדאי לכתוב את כל התוצאות במכנה 40:

בדיקה: 16 + 8 + 7 + 9 = 40, כלומר סכום ארבעת הענפים הוא 1.

סעיף א: החטאה בראשון וקליעה בשני

זה ענף אחד בעץ:

ההסתברות היא 740, כלומר 0.175.

סעיף ב: קליעה אחת לפחות

(1) "פעם אחת לפחות" הוא כל מה שאינו "שתי החטאות". הדרך הקצרה היא דרך המאורע המשלים:

ההסתברות היא 3140, כלומר 0.775.

(2) זו הסתברות מותנית. ידוע שהיה לפחות קליעה אחת, ושואלים מה הסיכוי שהייתה בדיוק אחת. "בדיוק פעם אחת" הם שני ענפים, קליעה ואז החטאה או החטאה ואז קליעה:

כל מי שקלע בדיוק פעם אחת קלע גם לפחות פעם אחת, ולכן החיתוך של שני המאורעות הוא פשוט "בדיוק פעם אחת". לפי נוסחת ההסתברות המותנית:

ההסתברות היא 1531, כלומר כ-0.484.

סעיף ג: ההסתברות p של דני

אצל דני ההסתברות לקליעה היא p בכל ניסיון, בלי תלות בניסיון הקודם. "בדיוק קליעה אחת" היא קליעה ואז החטאה, או החטאה ואז קליעה:

נשווה להסתברות של חנן מסעיף ב(2), 1540 = 38:

נפתור בנוסחת השורשים:

בדיקה: 2 × 34 × 14 = 616 = 38. ובגלל הסימטריה של 2p(1 − p), גם 14 נותן אותה תוצאה.

p = 14 או p = 34.

איפה נופלים בשאלה 3. בסעיף ב(2) מחלקים ב-1 במקום ב-3140, כלומר עונים 1540 ושוכחים שהמידע "קלע לפחות פעם אחת" מקטין את מרחב האפשרויות. בסעיף ג כותבים p(1 − p) בלי הכפל ב-2, ושוכחים שיש שני סדרים שבהם קולעים פעם אחת.

פרק שני: גאומטרייה

שאלה 4, טרפז ישר זווית במערכת צירים (25 נקודות)

הנתונים. בטרפז ABCD הבסיסים מקבילים, AB ∥ DC, והשוק AD מאונכת לבסיס AB. A ו-B על ציר ה-x, האלכסונים נפגשים בנקודה M שעל ציר ה-y, והאלכסונים מאונכים זה לזה. משוואת האלכסון AC היא y = −2x + 8.

סעיף א: משוואת הישר BD

קודם נמצא את M. היא על ציר ה-y, כלומר x = 0, והיא גם על AC:

הישרים AC ו-BD מאונכים, ולכן מכפלת השיפועים שלהם היא −1:

הישר BD עובר ב-M(0 , 8), ולכן החותך שלו עם ציר ה-y הוא 8.

משוואת BD היא y = 0.5x + 8.

סעיף ב: הקודקודים

A היא החיתוך של AC עם ציר ה-x (y = 0):

B היא החיתוך של BD עם ציר ה-x:

D: הצלע AB מונחת על ציר ה-x, ו-AD מאונכת לה, ולכן AD היא ישר אנכי דרך A, כלומר x = 4. הנקודה D נמצאת עליו וגם על האלכסון BD:

C: הבסיס DC מקביל ל-AB, כלומר אופקי, ולכן הוא הישר y = 10. הנקודה C נמצאת עליו וגם על האלכסון AC:

A(4 , 0) , B(−16 , 0) , C(−1 , 10) , D(4 , 10).

זה מתאים לסרטוט: C קצת משמאל לציר ה-y, D מימינו, ו-B רחוקה שמאלה.

סעיף ג: זוויות

(1) הזווית ABD. במשולש ABD הזווית A ישרה. הניצבים הם:

הצלע AD נמצאת מול הזווית B, והצלע AB לידה:

(אותו דבר בדיוק יוצא מן השיפוע של BD: tan של זווית הנטייה של ישר שווה לשיפוע שלו, 0.5.)

∢ABD ≈ 26.57°.

(2) הזווית BCD. כיוון ש-DC ∥ AB, הזוויות BCD ו-CBA הן זוויות חד-צדדיות בין ישרים מקבילים, וסכומן 180°. נחשב קודם את ∢CBA דרך השיפוע של BC:

∢BCD ≈ 146.31°.

הזווית קהה, וגם זה מתאים לסרטוט.

סעיף ד: שטח המשולש BCD

ניקח את CD כבסיס. הוא אופקי, על הישר y = 10:

הגובה לבסיס הזה הוא המרחק של B מן הישר y = 10, כלומר 10.

שטח המשולש BCD הוא 25 יחידות שטח.

סעיף ה: הנקודה F

F נמצאת על המשך הצלע CD, כלומר על הישר y = 10. במשולש BFC הבסיס FC נמצא על אותו ישר, ולכן הגובה מ-B שווה, 10. השטח צריך להיות פי 2 משטח BCD, כלומר 50:

הבסיס FC כפול מ-CD, כי הגובה זהה והשטח כפול. F נמצאת אפוא במרחק 10 מן C על הישר y = 10, ויש שני כיוונים:

F(9 , 10), או F(−11 , 10). מספיקה אחת מהן.

איפה נופלים בשאלה 4. בסעיף ב, במציאת D: מנסים לחתוך את BD עם AC, ומקבלים שוב את M. הנתון שעושה את העבודה הוא AD ⊥ AB, כלומר הישר האנכי x = 4. בסעיף ג(2) מחשבים את הזווית החדה שבין BC לציר ה-x ומגישים אותה כתשובה, בלי לשים לב שבסרטוט הזווית C קהה.

שאלה 5, מעגל, משיק ודלתון (25 נקודות)

הנתונים. מרכז המעגל M נמצא על החלק החיובי של ציר ה-y, והמעגל משיק לציר ה-x. הישר 4x + 3y = 40 משיק למעגל בנקודה D, חותך את ציר ה-x ב-B ואת ציר ה-y ב-A.

עובדה שנשתמש בה כמה פעמים: הרדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק. המעגל משיק לציר ה-x, ולכן הרדיוס לנקודת ההשקה מאונך לציר ה-x. המרכז נמצא על ציר ה-y, ולכן הרדיוס הזה מונח על ציר ה-y, ונקודת ההשקה היא הראשית O. כלומר ציר ה-x משיק למעגל ב-O, ו-OM הוא רדיוס.

סעיף א: אורך הקטע AB

B, החיתוך עם ציר ה-x (y = 0):

A, החיתוך עם ציר ה-y (x = 0):

המשולש AOB ישר זווית ב-O, ולפי משפט פיתגורס:

AB = 503 ≈ 16.67.

סעיף ב: OMDB הוא דלתון

• MO = MD, כי שניהם רדיוסים במעגל.
• BO = BD: ציר ה-x משיק למעגל ב-O (ראו למעלה), והישר AB משיק למעגל ב-D. אלה שני משיקים למעגל מאותה נקודה B, ושני משיקים היוצאים מנקודה אחת שווים זה לזה.

במרובע OMDB הצלעות MO ו-MD סמוכות (נפגשות ב-M), והצלעות BO ו-BD סמוכות (נפגשות ב-B). מרובע ששני זוגות של צלעות סמוכות בו שווים הוא דלתון, ולכן OMDB דלתון.

סעיף ג: דמיון ורדיוס

(1) נשווה את המשולשים ADM ו-AOB:

• ∢DAM = ∢OAB, זו אותה זווית, כי M על הקטע AO ו-D על הקטע AB.
• ∢ADM = 90°, כי הרדיוס MD מאונך למשיק בנקודת ההשקה D.
• ∢AOB = 90°, כי הצירים מאונכים.

שתי זוויות שוות בהתאמה, ולכן △ADM ∼ △AOB לפי משפט הדמיון ז.ז. ההתאמה: A מתאים ל-A, D מתאים ל-O (הזוויות הישרות), ו-M מתאים ל-B.

(2) נסמן את הרדיוס ב-r. אז M(0 , r), MD = r, וגם:

מן הדמיון, היחס בין צלעות מתאימות קבוע. MD מתאימה ל-OB, ו-AM מתאימה ל-AB:

נכפול בהצלבה:

בדיקה בדרך אחרת: המרחק מן המרכז M(0 , 5) אל המשיק 4x + 3y − 40 = 0 צריך להיות הרדיוס:

רדיוס המעגל הוא 5.

סעיף ד: משוואת המעגל

המרכז M(0 , 5) והרדיוס 5:

x² + (y − 5)² = 25.

סעיף ה: האם הדלתון בר חסימה

מרובע בר חסימה במעגל אם סכום כל שתי זוויות נגדיות בו הוא 180°. בדלתון OMDB:

• ∢MOB = 90°, כי הצירים מאונכים.
• ∢MDB = 90°, כי הרדיוס MD מאונך למשיק.

הקודקודים O ו-D נגדיים במרובע OMDB, וסכום הזוויות שלהם 90° + 90° = 180°. כן, הדלתון בר חסימה במעגל.

מרכז המעגל החוסם: הזווית MOB היא זווית היקפית ישרה במעגל החוסם, והיא נשענת על הקטע MB. זווית היקפית של 90° נשענת על קוטר, ולכן MB הוא קוטר, ומרכז המעגל החוסם הוא אמצע MB:

מרכז המעגל החוסם את הדלתון הוא (5 , 2.5).

בדיקה: נמצא את D. הישר MD מאונך למשיק, שהשיפוע שלו −43, ולכן השיפוע של MD הוא 34: y = 0.75x + 5. נציב במשיק: 4x + 3(0.75x + 5) = 40, כלומר 6.25x = 25, x = 4, ו-D(4 , 8). המרחק בריבוע מ-(5 , 2.5) אל D הוא 1 + 30.25 = 31.25, ואל O הוא 25 + 6.25 = 31.25. שווה, כמו שצריך.

איפה נופלים בשאלה 5. בסעיף ב שוכחים לנמק למה ציר ה-x משיק למעגל דווקא ב-O, ובלי זה BO אינו "משיק מ-B". בסעיף ג(1) כותבים "זווית ישרה" ב-D בלי הסיבה, הרדיוס מאונך למשיק. ובסעיף ה עונים "כן" ועוצרים, או לוקחים בטעות את M, מרכז המעגל הנתון, כמרכז של המעגל החוסם.

פרק שלישי: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי

שאלה 6, פונקציה רציונלית וגרף הנגזרת (25 נקודות)

הנתונים. f מוגדרת לכל x ≠ ±4. בסרטוט מופיע הגרף של הנגזרת f′(x), לא של f עצמה, והוא חותך את ציר ה-x רק בראשית.

הכלל שמנחה את כל הסעיפים: היכן ש-f′ מעל ציר ה-x, f עולה; היכן ש-f′ מתחת לציר, f יורדת. מן הסרטוט:

סעיף א: נקודת הקיצון

f′ מתאפסת רק ב-x = 0, ושם היא עוברת מחיובית (משמאל) לשלילית (מימין). כלומר f עולה עד x = 0 ויורדת אחריו.

ל-f יש נקודת קיצון אחת, ב-x = 0, והיא נקודת מקסימום.

ב-x = ±4 אין קיצון: הנקודות האלה אינן בתחום ההגדרה.

סעיף ב: תחומי עלייה וירידה

לפי הטבלה:

f עולה בשני תחומים: x < −4, וגם −4 < x < 0. f יורדת בשני תחומים: 0 < x < 4, וגם x > 4.

שני תחומי העלייה נפרדים, כי x = −4 אינו בתחום. לכן כותבים אותם כשני תחומים ולא כ"x < 0".

סעיף ג: איזה ביטוי מייצג את f

נבדוק כל ביטוי מול שני נתונים: התחום x ≠ ±4 והאסימפטוטה האופקית y = 2.

• ביטוי I, x²x² + 16 + 1. המכנה x² + 16 תמיד חיובי ואף פעם אינו 0, ולכן הביטוי מוגדר לכל x, גם ב-±4. נפסל, כי f אינה מוגדרת ב-±4.
• ביטוי II, x²x² − 16 + 2. כש-x שואף לאינסוף, x²x² − 16 שואף ל-1, כי המעלות במונה ובמכנה שוות והמקדמים המובילים 1 ו-1. לכן הביטוי שואף ל-1 + 2 = 3. נפסל, כי האסימפטוטה צריכה להיות y = 2.
• ביטוי III, x²x² − 16 + 1. המכנה מתאפס ב-x = ±4, והביטוי שואף ל-1 + 1 = 2. מתאים לשני הנתונים.

אפשר לוודא גם מול גרף הנגזרת. לפי כלל המנה:

המכנה תמיד חיובי, ולכן הסימן של f′ הפוך לסימן של x: חיובי משמאל ל-0, שלילי מימין לו, ואפס רק ב-x = 0. בדיוק מה שרואים בסרטוט.

הביטוי III מייצג את f: f(x) = x²x² − 16 + 1.

סעיף ד: נקודות החיתוך עם הצירים

עם ציר ה-y (x = 0):

עם ציר ה-x (f(x) = 0):

שני הערכים שונים מ-±4, ולכן שניהם בתחום.

(0 , 1) , (2√2 , 0) , (−2√2 , 0).

סעיף ה: סקיצה

נאסוף את מה שכבר ידוע:

• אסימפטוטות אנכיות x = −4 ו-x = 4, ואסימפטוטה אופקית y = 2.
• מקסימום ב-(0 , 1), חיתוך עם ציר ה-x ב-(±2√2 , 0).
• הפונקציה זוגית: f(−x) = f(x), כי x מופיע רק בריבוע. לכן הגרף סימטרי לציר ה-y.
• כש-|x| > 4 המונה x² גדול מן המכנה x² − 16 (ושניהם חיוביים), ולכן x²x² − 16 > 1 ו-f(x) > 2. בשני הקצוות הגרף מתקרב ל-y = 2 מלמעלה.

הגרף בנוי משלושה חלקים:

• משמאל ל-x = −4: הגרף עולה, מתחיל קרוב ל-y = 2 (מעליו) ונמשך כלפי מעלה אל +∞ כשמתקרבים ל-x = −4.
• בין x = −4 ל-x = 4: הגרף מתחיל במינוס אינסוף ליד x = −4, עולה, חותך את ציר ה-x ב-(−2√2 , 0), מגיע לשיא (0 , 1), יורד, חותך שוב ב-(2√2 , 0), ונופל אל מינוס אינסוף ליד x = 4. זו צורה של כיפה, כמו האות U הפוכה.
• מימין ל-x = 4: הגרף יורד מפלוס אינסוף ליד x = 4 ומתקרב ל-y = 2 מלמעלה.

סעיף ו: השטח שמתחת לגרף הנגזרת

השטח מוגבל על ידי הגרף של f′, ציר ה-x והישר x = 2. f′ חותכת את ציר ה-x רק ב-x = 0, ולכן השטח נמצא בין x = 0 ל-x = 2. בתחום הזה f′ שלילית (הגרף מתחת לציר), ולכן השטח הוא מינוס האינטגרל.

הנקודה החשובה: אין צורך לבצע אינטגרציה של −32x : (x² − 16)². פונקציה קדומה של f′ היא f עצמה, והיא כבר ידועה:

השטח הוא 13 יחידות שטח.

איפה נופלים בשאלה 6. בסעיפים א ו-ב קוראים את הסרטוט כאילו הוא גרף של f, ומחפשים "שיא" בגרף הנגזרת. מה שקובע הוא הסימן של f′, כלומר מעל או מתחת לציר. בסעיף ו מקבלים −13 ומגישים שטח שלילי, או מתחילים לחפש פונקציה קדומה לביטוי מסובך, כשהפונקציה הקדומה כתובה כבר בסעיף ג.

שאלה 7, פונקציית שורש (25 נקודות)

הנתונים. f(x) = x² × √−2x + 10.

סעיף א: תחום ההגדרה

הביטוי שמתחת לשורש חייב להיות אי-שלילי:

(בחילוק במספר שלילי, −2, סימן אי-השוויון מתהפך.)

תחום ההגדרה הוא x ≤ 5.

סעיף ב: נקודות החיתוך עם הצירים

עם ציר ה-y (x = 0): f(0) = 0 × √10 = 0, הנקודה (0 , 0).

עם ציר ה-x (f(x) = 0): מכפלה שווה לאפס כשאחד הגורמים אפס:

(0 , 0) ו-(5 , 0).

סעיף ג: נקודות הקיצון

נגזור לפי כלל המכפלה. הנגזרת של √−2x + 10 היא −2 : (2√−2x + 10), כלומר −1 : √−2x + 10:

נביא למכנה משותף √−2x + 10. את האיבר הראשון נכפול ונחלק בשורש, ו-√a × √a = a:

הנגזרת מוגדרת ב-x < 5 (ב-x = 5 המכנה מתאפס). היא מתאפסת כשהמונה אפס:

המכנה תמיד חיובי, ולכן הסימן של f′ נקבע במונה. נבדוק נקודה אחת בכל תחום:

הערכים:

• ב-x = 0 הפונקציה עוברת מירידה לעלייה: (0 , 0) מינימום.
• ב-x = 4 היא עוברת מעלייה לירידה: (4 , 16√2) מקסימום, כלומר בערך (4 , 22.63).
• ב-x = 5 התחום נגמר. הפונקציה יורדת אל הנקודה הזאת ומוגדרת בה, ולכן (5 , 0) מינימום בקצה התחום.

נקודות הקיצון: (0 , 0) מינימום, (4 , 16√2) מקסימום, (5 , 0) מינימום בקצה.

סעיף ד: סקיצה

• הגרף קיים רק משמאל ל-x = 5, כולל הנקודה x = 5 עצמה.
• f(x) ≥ 0 בכל התחום, כי x² ≥ 0 והשורש אינו שלילי. לכן הגרף כולו על ציר ה-x או מעליו.
• ככל ש-x הולך שמאלה, x² וגם השורש גדלים, ולכן f שואפת לאינסוף.

הגרף יורד משמאל אל (0 , 0), נוגע שם בציר ה-x בלי לחצות אותו, עולה עד (4 , 16√2) ≈ (4 , 22.63), ויורד בתלילות אל נקודת הקצה (5 , 0), שבה הוא נעצר.

סעיף ה: הערך של c

g(x) = f(x) − c היא הזזה של הגרף של f למטה ב-c יחידות. ההזזה אינה משנה את הנגזרת, g′(x) = f′(x), ולכן ל-g יש נקודות קיצון באותם ערכי x: מינימום ב-x = 0, מקסימום ב-x = 4.

ישר אופקי כמו y = 20 משיק לגרף בנקודה שבה השיפוע של הגרף 0, כלומר בנקודה שבה g′(x) = 0. האפשרויות הן x = 0 או x = 4:

c = 16√2 − 20 ≈ 2.63.

בדיקה: 16√2 ≈ 22.63, וההזזה למטה ב-2.63 מורידה את נקודת המקסימום בדיוק לגובה 20.

איפה נופלים בשאלה 7. בגזירה של השורש שוכחים את הנגזרת הפנימית, −2. בתחום ההגדרה שוכחים להפוך את סימן אי-השוויון ומקבלים x ≥ 5. ובסעיף ג מפספסים את נקודת הקצה (5 , 0): השאלה מבקשת את כל נקודות הקיצון, ונקודת קצה שבה הפונקציה מוגדרת נחשבת.

שאלה 8, פונקציה רציונלית ובעיית קיצון (25 נקודות)

הנתונים. f(x) = 9 : (1 − x) + 2, מוגדרת לכל x ≠ 1.

סעיף א: האסימפטוטות

אנכית: המכנה 1 − x מתאפס ב-x = 1, והמונה 9 שונה מ-0 שם. לכן x = 1.

אופקית: כש-x שואף לאינסוף או למינוס אינסוף, 9 : (1 − x) שואף ל-0, ולכן f שואפת ל-2. לכן y = 2.

x = 1 ו-y = 2.

סעיף ב: הנקודה A שבעבורה ההיקף מינימלי

נסמן A(x , 9 : (1 − x) + 2). A ברביע השני, ולכן x < 0. (לכל x < 0 מתקבל f(x) > 2 > 0, כך שהנקודה באמת ברביע השני.)

המלבן נוצר מן האסימפטוטות ומן האנכים מ-A אליהן. ארבעת הקודקודים שלו הם A, נקודת המפגש של האסימפטוטות (1 , 2), ושתי נקודות העקב של האנכים. אורכי הצלעות:

שני הביטויים חיוביים, כי x < 1. ההיקף:

נגזור. הנגזרת של 2(1 − x) היא −2. את 18 : (1 − x) נכתוב כ-18(1 − x)⁻¹, והנגזרת שלה היא 18 × (−1)(1 − x)⁻² × (−1) = 18 : (1 − x)²:

נשווה לאפס:

רק x = −2 עומד בתנאי x < 0. נוודא שזה מינימום, בבדיקת הסימן של P′ משני צדדיו:

ירידה ואחריה עלייה, ולכן ב-x = −2 מינימום. שיעור ה-y:

A(−2 , 5). ההיקף המינימלי הוא 2 × 3 + 2 × 3 = 12.

סעיף ג: שטח המלבן

שטח המלבן הוא 9 יחידות שטח.

הערה מעניינת: השטח הוא (1 − x) × 9 : (1 − x) = 9 לכל נקודה A על הגרף, לא רק ב-x = −2. כל המלבנים האלה שווי שטח, וההיקף הקטן ביותר מתקבל כשהמלבן הוא ריבוע, 3 על 3.

איפה נופלים בשאלה 8. במדידת הצלעות. מי שלוקח את שיעורי A עצמם, |x| ו-y, מודד את המרחק לצירים ולא לאסימפטוטות, ומקבל מלבן אחר לגמרי. ועוד מלכודת: בפתרון (1 − x)² = 9 לוקחים את שני הפתרונות, ושוכחים שרק x = −2 נמצא ברביע השני.

התשובות בקצרה