התשובות הסופיות · נדב כץ
מתמטיקה א׳
שאלון 35471 · קיץ, מועד א׳ · תשפ״ה · 2025
שאלה, סעיף והתשובה. בלי דרך ובלי הסבר, כדי לבדוק מהר אם צדקתם. מי שרוצה לראות איך מגיעים לתשובה ימצא את הדרך בפתרון המלא.
פרק ראשון: סטטיסטיקה והסתברות
שאלה 1 20 נקודות
התפלגות נורמלית: סטיית תקן, אחוז מעל ערך, גודל אוכלוסייה והשוואה בציוני תקן
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | σ = 0.4 מטר |
| ב | 5.5% מן המשתתפים |
| ג | 200 משתתפים |
| ד | בקפיצה לגובה. ציון התקן של אלון בקפיצה לגובה הוא 1.25, ובקפיצה לרוחק הוא 1 בלבד |
שאלה 2 20 נקודות
מתאם ורגרסיה ליניארית
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א(1) | x̄ = 98 מ"ר |
| א(2) | Sₓ = √179.2 ≈ 13.39 מ"ר |
| ב | r ≈ 0.983 |
| ג | y = 0.0917x − 6.29 |
| ד | כ-2.88 מיליון שקלים |
| ה(1) | לא השתנתה. כל מחיר גדל ב-0.2, הממוצע גדל ב-0.2, והסטיות מן הממוצע נשארות אותן סטיות |
| ה(2) | לא השתנה. מקדם המתאם תלוי רק בסטיות מן הממוצעים ובסטיות התקן, ואף אחד מהם לא השתנה |
שאלה 3 20 נקודות
הסתברות: טבלה דו-ממדית והסתברות מותנית
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | 0.45 |
| ב | 40% |
| ג | 0.75 |
| ד | לא. אחוז המתנדבות מבין הבנות הוא 75%, וגם אחוז המתנדבים מבין הבנים הוא 75%. האחוזים שווים, ואף אחד מהם אינו גדול מן השני |
פרק שני: גאומטרייה
שאלה 4 20 נקודות
גאומטרייה אנליטית: משולש ישר זווית, תיכון, זווית ושטח
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | y = 2.5x + 40 |
| ב | C(−10 , 15) |
| ג(1) | EC = √65.25 = 1.5√29 ≈ 8.08 |
| ג(2) | ∢CEB ≈ 53.13° (tan∢CEB = 43) |
| ד | EK = 30√29 ≈ 5.57 |
שאלה 5 20 נקודות
מעגל במערכת צירים: משיק, זווית היקפית ודמיון משולשים
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | A(13 , 0) |
| ב | y = (43)x + 16 |
| ג | AC = 25 |
| ד(1) | ∢ADB היא זווית היקפית הנשענת על הקוטר AB, וזווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה |
| ד(2) | לפי ז.ז.: ∢ABC = 90° (רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה), ∢ADB = 90° (סעיף ד(1)), ו-∢BAC = ∢DAB (AB חוצה את הזווית DAC). לכן △ABC ∼ △ADB |
| ה | פי 2516, כלומר פי 1.5625 |
פרק שלישי: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי
שאלה 6 20 נקודות
פונקציה רציונלית: אסימפטוטה, קיצון, גרף הנגזרת ושטח בעזרת פונקציה קדומה
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | y = 2 |
| ב(1) | (0 , −8), נקודת מינימום |
| ב(2) | יורדת: x < 0. עולה: x > 0 |
| ג | (2 , 0) , (−2 , 0) |
| ד | גרף זוגי (סימטרי לציר ה-y), כולו מתחת לאסימפטוטה y = 2, ואין לו אסימפטוטה אנכית. משמאל הוא יוצא סמוך ל-y = 2 ומתחתיו, יורד, חותך את ציר ה-x ב-(−2 , 0), מגיע למינימום (0 , −8), עולה, חותך ב-(2 , 0) ומתקרב שוב מלמטה ל-y = 2 |
| ה(1) | גרף I. f′ מתאפסת רק ב-x = 0, שלילית משמאל לו וחיובית מימינו, ושואפת ל-0 בשני הקצוות. רק גרף I עובר בראשית עם הסימנים האלה |
| ה(2) | 16 יחידות שטח |
שאלה 7 20 נקודות
פונקציית שורש: תחום, חיתוך, קיצון, סקיצה והזזה אופקית
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | x ≤ 15 |
| ב | (0 , −9√15) ≈ (0 , −34.86) , (3 , 0) , (15 , 0) |
| ג | (11 , 48) מקסימום , (15 , 0) מינימום בקצה התחום |
| ד | הגרף קיים רק עבור x ≤ 15. הוא עולה מלמטה משמאל (f שואפת למינוס אינסוף כש-x שואף למינוס אינסוף), חותך את ציר ה-y ב-(0 , −9√15), חותך את ציר ה-x ב-(3 , 0), מגיע למקסימום (11 , 48), ויורד אל נקודת הקצה (15 , 0) |
| ה(1) | גרף III. g היא הזזה של f שש יחידות שמאלה: g(0) = f(6) = 27 חיובי, החיתוכים עם ציר ה-x הם (−3 , 0) ו-(9 , 0), והמקסימום ב-x = 5 |
| ה(2) | (5 , 48), נקודת מקסימום |
שאלה 8 20 נקודות
פונקציה רציונלית עם פרמטר: משיק ובעיית קיצון
| סעיף | התשובה |
|---|---|
| א | a = 6 |
| ב | y = −1.5x − 3 |
| ג(1) | BC = 6t − 2 + 1.5t + 3 |
| ג(2) | t = 4 (ואז BC = 12) |